《结构动力学》-第八章-连续系统振动及精确解

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第八章连续系统振动及精确解,8-1,波动方程,设张力,T,，单位长度质量密度,，长,L,，取微段,dx,，假设弦的横向挠度,y,很小因而随挠度而变的张力变动极小，可以不予考虑。,1,弦的振动,由牛顿第二定律,微振动条件下，有,故运动微分方程为,边界条件为：,8-1,波动方程,等截面均匀细直杆，单位体积质量密度为,，长,L,，面积,A,，弹模,E,，轴向力,P(x,),。取微段,dx,。,2,杆,的纵向振动,由材料力学，在截面,x,处，有,O,x,x,dx,u,L,P,dm,微段,dx,运动微分方程,:,8-1,波动方程,3,杆,的扭转振动,不作介绍，后面以例子说明,弦的振动、杆,的纵向振动,和杆,的扭转振动,有相同形式的运动微分方程，解的形式也一样。,4,波动方程的解,设统一形式的微分方程：,具有解：,或分离变量：,他们的解都是简谐函数：,波动方程的通解为：,四个积分常数由边界条件和初始条件确定。,例,设张力,T,，单位长度质量密度,，长,L,。,求：固有频率及振型。,解：弦的振动：,边界条件：,第,r,阶振型为：,第,1,阶振型 第,2,阶振型,第,1,阶振型,第,2,阶振型,第,3,阶振型,某特大桥结构竖向弯曲振型图第,1,阶,某特大桥结构竖向弯曲振型图第,2,阶,123m,中承式钢管混凝土拱桥桥面,L/4,位置跳车时各测点竖向加速度响应谱图,L/4,和,L/2,测点,190m,中承式钢管混凝土拱桥桥面,L/4,位置跳车时各测点竖向加速度响应谱图,L/8,、,L/4,、,3L/8,和,L/2,测点,例,已知：,L,，扭矩,T,0,，,t=0,时释放。,求：,t0,时的运动。,解：,扭转振动,运动微分方程为：,T,0,L,o,x,式中：,(x),为扭转角，,为单位体积质量密度，,G,为剪切弹模,。,边界条件：,x,L,处，端点应力（应变）为零，由于,即：,扭转振动固有频率：,一阶固有频率：,一阶振型函数为：,任意阶振型,i,的响应为：,总响应：,初始条件：,(1)t=0,，各点速度为零，即,(2)t=0,，轴的静扭转角，于是有：,各种边界条件和初始条件：,弦,：,杆,：,8-2,梁的弯曲振动,具有对称面的等截面细直梁，,EI,，,(kg/m),，取微段,dx,由材料力学有：,Q,qdx,M,dx,取,q,为惯性分布载荷，有,类似波动方程，有,(1),简支梁情况,(,铰支铰支,),(2),固支梁情况,(,固支固支,),(3),悬臂梁情况,(,固支自由,),(4),自由自由边界条件,(5),固支铰支边界条件,(6),铰支自由边界条件,(7),附加质量、附加弹簧的梁,例,1,简支梁情况,代入得,求解得,例,1,简支梁情况,简支梁第,r,阶固有频率和振型分别为,例,2,悬臂梁情况,代入得,求解得,例,2,悬臂梁情况,因为,C,和,D,不能同时为零，否则,A,和,B,也为零，是零解，不是我们希望的解。,C,和,D,非零解的条件是：矩阵系数行列式为零，由此可以得到：,此式,是求解系统频率的方程，为超越方程。,例,2,悬臂梁情况,固有频率求解可以采用图解法或其他方法，图解法得到的固有频率与,L,的关系为：,1L,2L,3L,4L,5L,6L,1.875,4.694,7.855,10.996,14.137,17.279,8-3,主振型叠加法,梁的横向振动通解为：,具有分布载荷作用的梁横向振动微分方程为：,两边乘以,j,(x)dx,并对全梁积分，得,：,(1),和,(2),式积分相减，得：,由梁的自由横向振动微分方程，有,实际上，对于铰支、固支和自由边界条件，有,当,ij,时，,i,j,，于是有：,当,i,j,时，,i,j,，有：,振动微分方程,(*),式可改写为,(,将式,(1),与,(2),代入,),：,取归一化模态质量,M,i,1,，则,：,可按单自由度系统方法求解。,注意初始条件的确定,：,8-4,具有拉力的梁的横向振动,具有对称面的等截面细直梁，拉力,T,，,EI,，,(kg/m),，取微段,dx,Q,M,dx,T,T,x,y,可以得到两个常微分方程：,对于两端铰支的边界条件，有：,由,(5),与,(7),得：,A,B,0,另外式,(8),可以改写为：,由,(6),与,(9),得：,振型为：,对于两端固定的边界条件，经过推导，有频率方程,式中：,T,吊杆的拉力,(N),，,L,吊杆长,(m),，,吊杆的质量密度,(kg/m),，,吊杆的固有频率,(,rad/s,),，,EI,吊杆的弯曲刚度,(Nm2),。,该式是超越函数方程，不能从测得的频率直接解出吊杆的拉力，但可以采用对分法或迭代法进行求解，此时，给定拉力及其它参数可以求出吊杆的前几阶固有频率，并将计算结果与测量的吊杆前几阶固有频率进行比较，若误差较大，则重新给定拉力或修改其它参数，直到计算结果与测试结果吻合较好为止。,若吊杆弯曲刚度和质量密度不能确切知道又如何？,一般地，桥梁会有多对吊杆拉力需要测量，对这些吊杆拉力测量采用整体误差极小化的方法将可能得到较好的测量结果。,假设需要测量拉力的吊杆数为,N,，由于各杆材料特性及几何特性基本相同，故可设各杆的弯曲刚度和质量密度均相同，要通过该式的求解使,N,根吊杆计算得到的固有频率与测试频率吻合较好，可使下式具有极小值：,这实际上是一个优化问题，可以采用对多峰极值问题求解具有优势的遗传算法,(GA),进行计算,。,另外有抗弯刚度和质量密度不能确切知道的分段等截面两端固定吊杆拉力测定都可以采用遗传算法求解。,