三篇近世代数

*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三篇 近世代数,代数系统是建立在集合论基础上以代数运算为研究对象的学科。本篇共三章，第五章代数系统基础介绍代数系统的一般原理与性质，,第六章群论，主要介绍具有代表性的代数系统群，最后第七章其它代数系统，介绍除群外常见的一些代数系统，如环、域、格与布尔代数等，这三章相互配合构成了代数系统的完整的整体。,1,第八章 代数系统,8.1 代数系统一般概念,1代数系统中的基本概念,（1）代数系统：集合上具有封闭性的运算组成代数系统（S ,）。,（2）子代数：代数系统（S,），（S,，,）满足：,S,S, 如,a , b,S,，a,b = a,b 则称（S,，,）为（S, ）的子代数。,2,8.2 代数系统常见的一些性质,（3）代数系统常见性质,1）结合律：（a,b）,ca,（b,c）,2）交换律：a,bb,a,3）分配律：a,（bc）（a,b）（a c）,4）单位元：a,1a,5）逆元：a,a,1,1,6）零元：a,00,7）生成元,3,8.3 同构与同态,（4）同构：（X，,）与（Y，,）存在一一对应函数g,:,X,Y使得如x,1, x,2,X，则有：g（x,1,x,2,）g（x,1,）,g（x,2,）此时则称（X,）与（Y，,）同构。,（5）同态：（X ,）与（Y，,）存在函数g,:,X,Y使得如x,1, x,2,X，则有：g（x,1,x,2,）g（x,1,）,g（x,2,）此时则称（X，,）与（Y，,）同态。,8.4 常用代数系统,（6）代数系统的构成,4,（一个二元运算,）,两个运算有逆元,两个运算有单位元,代数系统,结合律,半群,单位元、逆元,群,循环群,可换群,变换群,子群,循环半群,单元半群,可换半群,整环,域,商环,理想,有补格,有界格,布尔代数,正规子群、商群,特殊环,特殊子环,两个运算的单位元、逆元,（两个二元运算：, ),两个运算的结合律、交换律、吸收律,格,两个运算的分配律,分配格,单位元，无零因子,（两个二元运算：, ),可换群, 半群, 对分配群,环,交换律,可换环,单位元, 逆元,交换律,单位元,生成元,交换律,生成元,子集上的群,特殊群,特殊群,5,第九章 群论,9.1 一些群的定义,（7）半群代数系统满足交换律,（8）单元半群半群存在单位元,（9）群半群存在单位元与逆元,（10）可换群群满足交换律,（11）变换群集合A上所有的变换构成的集合E（A），对于复合变换,所构成的代数系统（E（A）,）是一个群，称变换群。,（12）循环群群有生成元。,（13）有限群：群（S,）中S为有限集。,（14）子群：群（G，,）上G的子集所构成的群。,6,（15）正规子群：（H，,）是群（G，,）的子群，如对a,G都有：aH = Ha则称（H，,）是（G，,）的正规子群。,（16）陪集：H是G的子群，Haha | h,H, aH = ah | h,H 分别称H在G中的一个右陪集或左陪集。,（,17,）商群：,H,是,G,的正规子群，对,Ha,，,Hb,G/H,，二元运算（,Ha,),(,Hb,),Hab,构成群，则称,H,是,G,的商群。,（18）单元半群性质：, 单元半群的子系统若包含单位元也是单元半群。, 可列个元素的单元半群的运算组合表每行（列）均不相同。, 循环单元半群是可换单元半群。, 可换单元半群的所有等幂元素是一个子单元半群。,7,9.2 一些群的理论与半群性质：, 半群的子代数也是半群。, 循环半群是可换半群。,（19）关于群的基本理论, 群方程可解性：a,x = b,（或,x a = b,）对,x,存在唯一解,；,群的消去律：,a,b = a,c,（或,b a = c a,）必有,b = c；,任一群必与变换群同构；,与一个群同构或满同态的代数系统必为群；, 一个代数系统有限群满足结合律及消去律则必为群；,8,有限群必与置换群同构；,循环群要么与（I,）同构，要么与（Zm，,m,）同构；, 一个群子集H构成群（H,o）的充分必要条件：a,b,H 则a,b,H ,a,H 则a,1,H；,一个群子集H构成子群（H,o）的充分必要条件：a,b,H 则a,b,1,H ；,一个有限群的阶一定被它的子群的阶所等分（拉格朗日定理）；,f,是群（,G, ）与（,G,，）的满同态，,K,是,f,的核，则必有：（,G/k ,）与（,G,，）同构；,9,第十章 环论,10.1 环和域,（20）环：（R，,），对的可换群，对,的半群，,对的分配律；,（21）理想：（D，,），环（R，,）的子环，满足：a,R , b,D，必有：a,b,D , b a,D；,（22）整环：环（R，,）中，运算,有单位元，无零因子；,（23）域：环（P，, ）中，运算,交换律，有单位元，逆元；,10,（24）环的基本理论,环的基本运算性质：,a,0 = 0,a = 0；,a （b）=（a） b = （a,b）,(a),(b)a,b,环中无零因子,环满足消去律；,环中子系统S是子环的充要条件是a,s 则必有a,1,S。,（25）域的基本理论,1）域是整环；,2）有限整环必是域。,11,第十一章 格与布尔代数,11.1 格与布尔代数,（26）格：（P，,）中，两个运算的结合律、吸收律、交换律；,（27）布尔代数：格（B，,）中，两个运算的分配律、单位元、逆元。,12,（28）格的基本理论,1） 一个偏序格必是一个代数格，反之亦然；,2）格的运算性质。,aab , bab （aba , abb）,ac且bc,abc （ac且bc,cab）,aba , abb （aab , bab）,ca且cb,cab （ca且cb,cabc）,13,（29）布尔代数的基本理论, 布尔代数（B， ）满足：（对与,）,交换律,结合律,等幂律,吸收律,分配律,零一律,同一律,互补律,双补律, 德摩,根律,14,