2.2.绝对值不等式的解法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,不等式,2.2,绝对值不等式的解法,（,1,）,实数的绝对值的代数意义：,几何意义：,数轴上实数,a,的对应点到原点的距离。,（,2,）,绝对值的性质：,复习回顾,（,3,）含绝对值不等式的解法：,（,4,）绝对值的运算：,（,5,）,绝对值不等式的解法,(1),含绝对值的不等式,|x|a,的解集,x|-a,x,a,x|xa或x-a,xR|x0,R,新课,(,2)|ax+b|c(c0),和,|ax+b|c(c0),型不等式的解法,|ax+b|c _,-c,ax+b,c,|ax+b|c _.,ax+bc,或,ax+b-c,(1),思考：不等式,|x-c|+|x-b|a,的几何意义是什么？,提示：,不等式,|x-c|+|x-b|a,的几何意义是：数轴上满足到坐标为,c,的点的距离与到坐标为,b,的点的距离之和大于或等于,a,的点的坐标的取值范围,.,(2)|2x-1|3,的解集是,_.,【解析】,即不等式,|2x-1|3,的解集是,x|-1x2.,答案：,x|-1x2,绝对值不等式的解法,【方法点睛】,1.,解绝对值不等式的基本方法有,(1),利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；,(2),当不等式两端均为正时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；,(3),利用绝对值的几何意义，数形结合求解,.,2.,几种绝对值不等式的等价形式,解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式,(,组,),，根据式子的特点可用下列公式进行转化,.,(1)|f(x)|,a(a,0),f(x),a,或,f(x),-a;,(2)|f(x)|,a(a,0),-a,f(x),a;,(3)|f(x)|,g(x),f(x),g(x),或,f(x),-g(x);,(4)|f(x)|,g(x),-g(x),f(x),g(x);,(5)|f(x)|,|g(x)|,f(x),2,g(x),2,.,【例,1,】,(1),不等式,|2x-1|1,的解集为,_,；,(2),不等式,|x,2,-9|x+3,的解集为,_,；,(3)(2011,江西高考,),对于,xR,，不等式,|x+10|-|x-2|8,的解集为,_.,【解析】,(1),转化为不含绝对值的不等式；,(2),利用绝对值,的定义或,|f(x)|a(a0) -af(x)a,去掉绝对值符号或利,用数形结合思想求解；,(3),不等式的左边含有两个绝对值符,号，可以采用“零点分段法”,.,解：,(1),由,|2x-1|1,得,-12x-11,解得,0x1,原不等式的解集为,x|0x1.,(2),方法一：原不等式 或,不等式组 或,3x4.,不等式组,原不等式的解集是,x|2x4,或,x=-3.,方法二：原不等式等价于,原不等式的解集是,x|2x4,或,x=-3.,方法三：设,y,1,=|x,2,-9|,y,2,=x+3(x-3),，,由,|x,2,-9|=x+3,，,解得,x,1,=4,x,2,=-3,x,3,=2.,在同一坐标系下作出,y,1,y,2,的图像,.,从图中可看出使,y,1,y,2,的,x,的取值范围是,x=-3,或,2x4.,原不等式的解集为,x|x=-3,或,2x4.,(3),当,x-10,时，原不等式变为：,-x-10+x-28,即,-128,，不符合要求；,当,-10x2,时，原不等式变为：,x+10+x-28,即,2x0,解得,0x2;,当,x2,时，原不等式变为：,x+10-x+28,即,128,恒成立，,x2.,综上所述，原不等式的解集为,x|x0.,【互动探究】,若将本例,(3),中“,|x+10|-|x-2|8”,改为“,|x+10|+|x-2|20”,则不等式的解集为,_.,【解析】,当,x-10,时，原不等式变为,-x-10+2-x20,，即,-2x-820,，,即,x-14,故,-14x-10;,当,-10x2,时，原不等式变为,x+10+2-x20,即,1220,恒成立；,当,x2,时，原不等式变为,x+10+x-220,，即,2x+820,即,x6.2x6.,综上所述，原不等式的解集为,x|-14x6.,答案：,x|-14x6,【反思,感悟】,用“零点分段法”解,|x-a|+|x-b|c,或,|x-a|+|x-b|c,型不等式的一般步骤为：,(1),令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；,(2),将这些根按从小到大排序并把实数集分为若干个区间；,(3),由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；,(4),取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集,.,练：,(1),不等式,1|x-2|3,的解集为,_,；,(2),不等式,|x+3|-|2x-1| +1,的解集为,_,；,(3)(2011,江苏高考改编,),不等式,x+|2x-1|3,的解集为,_.,【解析】,(1),方法一,:,原不等式等价于不等式组,解得,-1x1,或,3x5,所以原不等式的解集为,x|-1x1,或,3x5.,方法二,:,原不等式可转化为,:,由,得,3x5,，由,得,-1x1,所以原不等式的解集是,x|-1x1,或,3x5.,方法三,:,原不等式的解集就是,1(x-2),2,9,的解集,-1x1,或,3x5.,原不等式的解集是,x|-1x1,或,3x5.,(2),当,x-3,时，原不等式化为,-(x+3)-(1-2x) +1,解得,x10,x-3.,当,-3x,时，原不等式化为,(x+3)-(1-2x) +1,解得,x ,-3x .,当,x,时，原不等式化为,(x+3)-(2x-1)2,x2.,综上可知：原不等式的解集为,x|x2.,(3),原不等式可化为,解得,所以原不等式的解集是,答案：,(1)x|-1x1,或,3a,的解集为,R,，则,a,的取值范围为,_.,(2)(2011,陕西高考,),若不等式,|x+1|+|x-2|a,对任意,xR,恒成立，则,a,的取值范围是,_.,【解析】,(1),求出,|x+1|-|x-3|,的取值范围，只要,a,小于,|x+1|-|x-3|,的最小值即可；,(2),求出,|x+1|+|x-2|,的取值范围，只要,a,不大于,|x+1|+|x-2|,的最小值即可,.,解：,(1),方法一：因为,|x+1|-|x-3|,表示数轴上的点,P(x),与两定点,A(-1),，,B(3),距离的差，即,|x+1|-|x-3|=|PA|-|PB|.,由绝对值的几何意义知，,|PA|-|PB|,的最大值为,|AB|=4,，最小值为,-|AB|=-4,，即,-4|x+1|-|x-3|4.,不等式,|x+1|-|x-3|a,的解集为,R,，,a,的取值范围为,aa,的解集为,R,，,a,的取值范围为,a-4.,(2),当,x-1,时，,|x+1|+|x-2|=-x-1-x+2=-2x+13;,当,-12,时，,|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-13;,综上可得,|x+1|+|x-2|3,所以只要,a3,即实数,a,的取值范围是,(-,3,.,答案：,(1)(-,-4) (2)(-,3,【互动探究】,若本例,(1),中不等式有解，则,a,的取值范围是,_,；,若不等式的解集为,，则,a,的取值范围是,_.,【解析】,由本例,(1),的解析过程可知，,-4|x+1|-|x-3|4.,故若不等式,|x+1|-|x-3|a,有解，只要,a,比,|x+1|-|x-3|,的最大值小即可，即,aa,的解集为,，只要,a,不小于,|x+1|-|x-3|,的最大值即可，即,a4.,答案：,am,的解集是,，则,f(x)m,恒成立,),也是不等式恒成立问题，要注意区别,.,练：已知函数,f(x)=|x-a|.,(1),若不等式,f(x)3,的解集为,x|-1x5,则实数,a,的值为,_,；,(2),在,(1),的条件下，若,f(x)+f(x+5)m,对一切实数,x,恒成立，则实数,m,的取值范围为,_.,【解析】,(1),由,f(x)3,得,|x-a|3,解得,a-3xa+3.,又已知不等式,f(x)3,的解集为,x|-1x5,所以 解得,a=2.,(2),方法一：当,a=2,时，,f(x)=|x-2|.,设,g(x)=f(x)+f(x+5),于是,所以当,x,-3,时，,g(x),5;,当,-3x2,时，,g(x)=5;,当,x,2,时，,g(x),5.,综上可得，,g(x),的最小值为,5.,从而，若,f(x)+f(x+5)m,，即,g(x)m,对一切实数,x,恒成立，则,m,的取值范围为,(-,5.,方法二：当,a=2,时，,f(x)=|x-2|.,设,g(x)=f(x)+f(x+5).,由,|x-2|+|x+3|(x-2)-(x+3)|=5(,当且仅当,-3x2,时等号成立,),得，,g(x),的最小值为,5.,从而，若,f(x)+f(x+5)m,即,g(x)m,对一切实数,x,恒成立，则,m,的取值范围为,(-,，,5.,答案：,(1)2 (2)(-,，,5,