.多边形及其内角和

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,多边形,及其内角和,三角形的定义：,在同一平面内,，,由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。,四边形的定义：,在同一平面内,，,由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的图形。,五边形,六边形,七边形,多边形的定义：,在同一平面内,，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的（封闭）图形。,下定义,多边形按组成它的线段条数分成三角形、四边形、五边形,其中三角形是最简单的多边形。,如果一个多边形由,n,条线段组成，那么这个多边形就叫做,n,边形。,注意：,n,所代表的数字必须是汉字中的数字，如三角形，六边形，十边形等等，但当问题问这个多边形有多少条边时，我们可以用阿拉伯数字说明这个,n,边形有,3,条边，,4,条边等。,根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角,边,顶点,内角,外角,对角线,组成多边形的线段叫做,多边形的边,相邻两边的交点叫做,多边形的顶点,相邻两边的夹角叫做,多边形的内角,多边形的边与它相邻的延长组成的角叫做,多边形的外角,连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多,边形的对角线,想一想,三角形有对角线吗？为什么？,没有，因为三角形只有三个顶点，而这三个顶点是两两相邻的，它没有不相邻的顶点，所以三角形没有对角线。,回想三角形的表示方法，这个多边形应该如何表示？,A,2,首先给每个顶点标上一个大写字母，然后写出这个图形是几边形，最后再以一个字母为起点，沿顺时针或逆时针方向将字母按顺序写出。如四边形,ABCD,，五边形,ABCDE,，,n,边形,A,1,A,2,A,3,A,4,A,5,A,6,A,n,A,3,A,4,A,1,A,n,A,6,A,5,如图所示，观察两个图形，找出相同点和不同点,如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是,凸多边形,如果整个多边形不在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是,凹多边形,另外，根据多边形的内角和是否大于,180,，我们也可以区分这两种多边形。而中学阶段我们一般说的多边形都是凸多边形,。,观察下列图形，它们的边、角有什么特点？,它们的边都相等，角也都相等,各个角都,相等,，各条边都,相等,的多边形叫做,正多边形,。,反过来，由定义可以得，正多边形有什么性质呢？,练一练,1,、填空题,（,1,）连接多边形（ ）的线段，叫做多边形的多角形。,（,2,）多边形的任何（ ）所在的直线，整个多边形都在这条直线的（ ），这样的多边形叫做凸多边形 。,（,3,）各个角（ ），各条边（ ）的多边形，叫做正多边形。,（,4,）一个,n,边形有（ ）条边， （ ）个顶点， （ ）个内角， （ ）个外角。,2,、画出下列多边形的全部对角线,不相邻的两个顶点,一条边,同一侧,都相等,都相等,n,n,n,n,三角形的内角和是,180,，那么四边形的内角和是多少呢？五边形呢？你是如何得到这个结论的？,合作学习,B,A,C,D,E,探究,5,边形内角和,=3,180=540,请你利用分割的方法探索五边形的内角是多少？,E,A,B,C,D,O,方法,2,180,5 360,= 540,180 5=900,？,五边形内角和,540,？,把一个五边形分成几个三角形，还有其他的分法吗？,A,B,C,D,E,F,180,4 180,= 540,方法,3,选择同一种方法分别求出任意六边形、七边形、八边形的内角和等于多少度？,你能写出任意,n,边形的内角和吗？,从五边形的一个顶点出发，可以引（ ）条对角线，他们将五边形分为多少个三角形，五边形的内角和等于,180,（ ）。,从六边形的一个顶点出发，可以引（ ）条对角线，他们将六边形分为多少个三角形，六边形的内角和等于,180,（ ）。,从七边形的一个顶点出发，可以引（ ）条对角线，他们将七边形分为多少个三角形，七边形的内角和等于,180,（ ）。,我们是怎样求多边形内 角和的？,B,A,C,D,G,F,E,就是从多边形的一个顶点出发，能引几条对角线,把一个多边形分成几个三角形。,总结：,n,边形内角和公式,B,A,C,D,G,F,E,n,边形内角和,=(n,2),180,三角形,六边形,四边形,八边形,.,五边形,是解决多边形问题的常用辅助线,对角线,多边形问题 三角形问题,转化,（未知）,（已知）,合作学习,请探索任意一个多边形的内角和与外角和的规律,.,n,边形,三角形,四边形,五边形,六边形,多边形,边数,分成三角形的个数,图形,内角和,计算规律,三角形,四边形,五边形,六边形,七边形,n,边形,3,4,5,6,7,n,1,n-2,2,3,4,5,180,360,540,720,900,(n,2) 180,(,n,2) 180,5,180,4,180,3,180,2,180,1,180,从上表中得到了什么结论？,结论：,n,边形的内角和为：,（,n,2,）,180(n3).,n,边形共有对角线 条,(n3),n,边形从一个顶点出发的对角线有,(n,3),条,(n3),练一练,:,（,2,）已知一个多边形的内角和为,720,o,，则这个多边形是,_,边形,6,（,3,）在五边形,ABCDE,中，若,A=D=90,o,且 ,B:C:E=3:2:4,则,C,的度数为,_,80,o,（,1,）,求,十边形的内角和的,度数,。,解：,(10,2)180=8 180=1440,答,:,十边形的内角和是,1440,过多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成,3,个三角形,求,:,(1),这个多边形的边数,.,(2),这个多边形内角和的度数,.,3,、填空,(,求边数,),1,、已知一个多边形的内角和为,1080,，则它的边数为。,2,、已知一个多边形的每一个内角都是,156,，则它的边数为。,8,15,例：,一个六边形如图，已知,ABDE,，,BCEF,，,CDAF,，求,A,C,E,的度数。,A,B,C,D,E,F,1,2,3,4,解：如图所示，连结,AD,，,ABDE,，,CDAF,（已知）,1,3,，,2,4,（两 直线平行，内错角相等）,1+2,3+4,，,即,FAB,CDE,，同理,B,E,，,C,F,FAB,C,E= 1,2 720=360,FAB,B,C,CDE,E,F,=,（,6,2,）,180= 720,例,1,如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和五边形的外角和等于多少？,1.,任意一个外角和他相邻的内角有什么关系？,2.,五个外角加上他们分别相邻的五个内角和是多少？,3.,这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？,6,E,B,C,D,1,2,3,4,5,A,从多边形的一个顶点,A,点出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点,A.,最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。,由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所转的各个角的和等于一个周角。,即：,多边形的外角和等于,360,多边形,图形,多边形的外角和,三角形,四边形,五边形,六边形,n,边形,3180,o,-,1,180,o,=360,o,4180,o,-,2,180,o,=360,o,5180,o,-,3,180,o,=360,o,6180,o,-,4,180,o,=360,o,n180,o,-,(n-2),180,o,=360,o,合作学习,多边形的外角和,从上表中得到了什么结论？,结论：,任何多边形的外角和为,360,（,1,）八边形的内角和为,_,，外角和为,_,1080,360,o,（,2,）已知一个多边形的每一个外角都是,72,o,，求这个边形的边数为,_,5,A,B,C,D,E,F,FAB+ABC+BCD+CDE,DEF,AFE=,（,6-2,）,180=720,1,2,P,Q,R,如图所示：可向两个方向分别延长,AB,，,CD,，,EF,三条边，构成,PQR,。,解：,DEAB,1=R,同理,2=R,1,2,，,CDE=FAB,同理,AFE,BCD,，,ABC=DEF,FAB,BCD,DEF= 720=360,例：,一个六边形如图，已知,ABDE,，,BCEF,，,CDAF,，求,A,C,E,的度数。,A,B,C,D,E,F,拓展：一个六边形如图，已知,BADE,，,B= ,E,，,C=F,（,1,）求证：,CDAF,（,2,）求,A,C,E,的度数,1,2,3,4,