极限的概念与性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,目录 上页 下页 返回 结束,第一章,二 、函数的极限,三 、函数的极限的性质,一、数列的极限,第二节,极限的概念与性质,自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础。,引言,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正,3072,边形得到圆周率 的近似值为,3.1416,割圆术,割圆术就是极限思想在几何上的应用,微积分是一门以,变量,为研究对象、,应用极限方法研究各类,变化率问题,应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到,以,极限方法,作为研究工具的数学学科：,曲线的切线问题,，,微小量无穷积累,的问题，,和几何学中,就产生了,微分学,；,就产生了,积分学,。,一、数列极限的定义,按照一定规律排列的一列数,数列 可视为定义在自然数集上的函数：,称为一个数列。,称为数列通项，,数列简记为 。,趋向于某个确定的数,x,y,O,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,不趋向于某个确定的数,定义：,设数列,极限存在的数列称为,收敛数列,。,极限不存在的数列称为,发散数列,。,如果通项,记作,当项数 无限增大时，,则称,的极限。,为数列,或,无限趋近于某个常数,例如,趋势不定,收 敛,发 散,若数列,及常数,a,有下列关系 :,当,n,N,时,总有,记作,即,或,则称该数列,的极限为,a,几何解释 :,只有有限项(至多,N,项)在邻域,之外。,数学定义：,英文注音 epsilon 中文注音 伊普西龙,例1.,已知,证明数列,的极限为1.,证明:,欲使,即,只要,因此 , 取,则当,时, 就有,故,例2.,已知,证明,证:,欲使,只要,即,取,则当,时, 就有,故,故也可取,也可由,1,. N,与,有关, 但不唯一.,不一定取最小的,N,.,说明:,取,2,.,利用不等式的放缩.,例3.,设,证明等比数列,证:,欲使,只要,即,亦即,因此 , 取, 则当,n,N,时,就有,故,的极限为0 .,例,4,.,证明：,记,易知,当,时，,取,则当,时，有,由于,故,时，,当,正整数,于是,正整数,所以,刘徽,(约225 295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误 ,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献 .,他的 “ 割圆术 ” 求圆周率,“ 割之弥细 , 所失弥小,割之又割 , 以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣 ”,它包含了“,用已知逼近未知 , 用近似逼近精确,”,的重要,极限思想 .,的方法 :,柯西,(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论, 微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远 .,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面 .,一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,第一章,1、自变量趋于有限值时函数的极限,自变量变化过程的六种形式:,2、左极限、右极限,主要内容 :,二、函数的极限,3、自变量趋于无穷大时函数的极限,定义1 .,在点,的某去心邻域内有定义 ,当,时, 有,则称常数,A,为函数,当,时的极限,或,即,当,时, 有,若,记作,几何解释:,1、自变量趋于有限值时函数的极限,设函数,(,),例1.,证明,证:,故,取,当,时, 必有,因此,(注意,x,=1无定义),例2.,证明: 当,证:,欲使,且,而,可用,因此,只要,时,故取,则当,时,保证 .,必有,2. 左极限与右极限 (单侧极限),左极限 :,当,时, 有,右极限 :,当,时, 有,定理 1.,例3.,给定函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解:,利用定理 1 .,因为,显然,所以,不存在 .,例,4.,求,解:,因为,所以,设,定义2,.,设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,直线,y,=,A,为曲线,的水平渐近线 .,A,为函数,3、自变量趋于无穷大时函数的极限,例5.,证明,证:,取,因此,注:,就有,故,欲使,只要,直线,y,=,A,仍是曲线,y = f,(,x,),的渐近线 .,两种特殊情况 :,当,时, 有,当,时, 有,几何意义 :,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,三、 函数极限的性质,1.,唯一性,类似于数列极限的唯一性（反证法）,2.,局部有界性,(性质适用于函数的所有极限过程),若函数极限存在，则函数极限唯一。,3. 局部保号性,定理2 .,若,且,A, 0 ,证:,已知,即,当,时, 有,当,A, 0 时,取正数,则在对应的邻域,上,( 0),则存在,(,A, 0 ),若取,则在对应的邻域,上,若,则存在,使当,时, 有,推论1.,分析:,推论 2 .,若在,的某去心邻域内, 且,则,思考,:,若定理 2 中的条件改为,是否必有,不能!,如,(反证法, 证明略),4.,函数极限的两边夹定理,定理3.,且,( 仿照数列极限的两边夹定理证明 ),5. 函数极限与数列极限的关系,定理4.,有定义,有,说明:,此定理常用于判断函数极限不存在 .,法1,找一个数列,不存在 .,法2,找两个趋于,的不同数列,及,使,例6.,证明,不存在 .,证:,取两个趋于 0 的数列,及,有,由定理 4 知,不存在 .,思考与练习,1. 若极限,存在,2. 设函数,且,存在, 则,是否一定有,第四节,？,内容小结,1. 函数极限的,或,定义及应用,2. 函数极限的性质.,第四节,作业,习题一,15 (1)，(4), 23 (3),补三,补充.,证明,证:,取,因此,就有,故,欲使,只要,又,故只要,即,