1-最速降线问题

,确定连接两定点 A，B 的曲线，使质点在这曲线上用最短的时间由 A 滑至 B 点（忽略摩擦力和阻力）。,最速降线问题,约翰.伯努利（John Bernoulli 1667-1748）,原来错选了职业，他起先学医，并在1694年获得巴塞尔 大学博士学位，论文是关于肌肉收缩问题的。但他也爱上了微积分，很快就掌握了它，并用它来解决几何学、微分方程和力学上的许多问题。1695年他任荷兰戈罗宁根大学数学物理教授，而在他的哥哥雅可布死后继任巴塞尔大学教授。1696年约翰向全欧洲数学家挑战，提出一个很艰难的问题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”,这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、莱布尼茨和牛顿都得到了解答。,雅可布伯努利（,Jacob Bernoulli 1654-1705,）著名数学家。,约翰.伯努利的哥哥，,他自学了牛顿和莱布尼茨的微积分，并从1687年开始到他去世为止任瑞士巴塞尔大学数学教授。他发表了无穷级数的论文、研究过许多种特殊曲线、发明了极坐标、引入了在tan(,x,)函数的幂级数展开式中伯努利数。,雅可布在学艺上发表了一系列重要的论文，微分方程中的“伯努利方程”就是雅可布提出的。1694年他首先给出直角坐标和极坐标的曲率半径公式。这也是系统地使用极坐标的开始。1690年他提出悬链线问题，后来雅可布又改变了问题的条件，解决复杂的悬链问题，1694年的论文讨论了双纽线的性质。“伯努利双纽线”由此得名。雅可布对于对数螺线有很深入的研究，他发现经过各种变换之后，结果还是对数螺线。,丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli 1700-1782）,起初也像他叔叔约翰.伯努利一样学医，写了一篇关于,肺的作用的论文获得医学学位，并且也像他父亲一样马上放弃了医学而改攻他天生的专长。他在概率论、偏微分方程、物理和流体动力学上都有贡献。而最重要的功绩是在流体动力学上，其中的“伯努利定理”就是他的贡献。他曾经荣获法国科学院奖金次之多。,岁的丹尼尔在彼得堡解决了黎卡提方程的解。并发表了一系列的科学论著。年回到巴塞尔，先后担任巴塞尔大学的植物学、解剖学与物理学教授。以岁高龄离开人世，许多人认为他是第一位真正的数学物理学家。,1.模型分析：,也许有人认为速降线应是连接,A,和,B,的直线段，其,实不然。,牛顿,做过实验：在铅锤平面内，取同样的,两个球，其中一个沿圆弧从,A,滑到,B,，另一个沿直线,从,A,滑到,B，,结果发现沿圆弧的球先到,B,。,伽利略,也,研究过该问题，他认为速降线是圆弧线。,A,o,x,y,B,一个辅助结论,设质点从A,1,经直线,l,到达A,2,，质点速度在,l,的,显然在,l,一侧质点应走直线，因此关键是质点,OC=,x,那么质点由A,1,到A,2,需时间:,A,1,A,2,C,l,O,D,如图，若A,1,A,2,到,l,的垂足分,上侧为,v,1,，下侧为,v,2,，则质点如何运动才最省时？,别,为,O,D,A,1,A,2,到,l,的距离分别,为,a, b,OD,=,c,质点经过,l,于C,何时越过,l,？,惟一驻点满足,也即,这就是光学中的,Snell折射定律,A,1,A,2,C,l,O,D,2. 建立数学模型,分析：如图建坐标系，,AB,分割成小段, 考虑在第k,层,与k+1层质点在曲线上的,下,滑，依能量守恒律，可近似,认为质点在每层内的速度不,变，于是依辅助结论知,由于上式对任何k成立，,故导出,若用与,x,轴平行的直线将,A,B,x,y,c,(常数),A,B,x,y,c,令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲线,上任何一点,其中为该点切线与铅垂线,的夹角。,(常数),据能量守恒原理，质点在一高度处的速度，完全由,其到达该高度处所损失的势能确定，而与所经路线,无关，设质点质量为,，重力加速度为,，质点从,A,下滑至,点时速度为,，则,或,从这里的几何关系得,这些方程分别来自光学、力学、微积分，推导可得,这就是最速降线的微分方程数学模型。,3. 模型求解：,我们要求解上面微分方程，将上式变形为,令,从而，,故,积分后得到,这曲线过原点，故由上面第一式得，,时，,于是，,。这样,而,若令,，则联立上两式得,这是摆线的标准参数方程，这种曲线是半径为,的圆,周上一点沿,轴滚动产生的。见图。,y,x,o,需指出，使上图中摆线第一拱通过,B,点的,值只有一,个，因若让,从0增到,，这一拱弧就逐渐膨大，扫过,整个第一象限，因而若适当选取,，就能使它通过,B,。,4. 结论：,Ref：尤明庆，最速降线求解和摩擦力影响的研究，河南理工大学学报，2005，24（1）,5. 模型评价：,约翰伯努利对速降线问题的解法，非常奇妙，表现出,惊人的想象能力。速降线问题除内在的价值外，还有,巨大的意义。它是变分法的历史根源，变分法是近代,分析的极有用的分支，它深刻揭示出物理世界核心里,隐藏的简单性。,又由弧长微分,得,从而整个下降时间是,的积分，故需取极小值,的积分是,这是泛函的极值问题.,6. 模型的进一步思考：,用变分法同样可以得到速降线的数学模型。,以,表示曲线从,A,点算起到,的弧长，有,即,化简为,和伯努利解法的结果相同。,由变分法理论知，上面极小值的积分方程的解所满足,的欧拉方程为：,令,