材料力学弯曲应力

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第五章 弯曲应力,材料力学,1,5-1,平面,弯曲时梁横截面上的正应力,5-2 梁横截面上的切应力,5-3,梁的正应力和切应力强度条件,5-4,提高,梁强度的措施,第五章 弯曲应力,2,弯曲应力,内力,剪力,F,S,弯矩,M,横截面,既有,F,S,又有,M,称,为,剪切弯曲,（横力弯曲）,5-1 平面,弯曲时梁横截面上的正应力,一、纯弯曲（Pure Bending）,F,F,a,a,A,B,AC、BD,：,AB,：,F,S,0，,M,常数,只有弯矩没有剪力称为,纯弯曲,。,C,D,切应力,t,正应力,s,F,S,x,F,F,M,x,Fa,3,弯曲应力,1.实验现象：,（一）变形几何规律：,二、 纯弯曲时梁横截面上的正应力,4,弯曲应力,c,d,a,b,a,c,b,d,M,M,横向线(,ac、bd,）变形后仍为直线，但有转动；,纵向线变为曲线，且上缩下伸；,横向线与纵向线变形后仍正交。,5,弯曲应力,两个概念：,中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。,中性轴：中性层与横截面的交线。,中性层,纵向对称面,中性轴,6,纵截面上无正应力和切应力,。,横截面上只有正应力。,3,.推论,弯曲应力,平截面假设：横截面变形后仍为垂直于轴线的平面，只是绕中性轴发生转动。,纵向纤维互不挤压假设：梁由许多纵向纤维组成，变形时各纤维层之间没有挤压作用。,2,.假设,7,b,1,O,1,O,a,1,c,1,d,1,4. 几何方程：,弯曲应力,d,q,r,x,y,a,b,c,d,M,M,a,c,b,d,O,O,1,y,y,8,（二）物理关系：,假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态，在弹性范围内。,弯曲应力,（三）静力学关系：,s,s,y,z,x,y,dA,9,弯曲应力, (3),EI,z,杆的抗弯刚度。,纯弯梁的正应力计算公式,M,y,z,x,y,dA, (4),10,（四）最大正应力：,弯曲应力, (5),D,d,D,d,=,a,b,h,M,y,z,x,y,dA,tmax,cmax,11,弯曲应力,三、 平面弯曲时梁横截面上的正应力,M：,所在截面的弯矩；,y,：所求点到中性轴的距离；,I,z,：横截面对中性轴的惯性矩。,L5d,：,误差小于,1%,。,适用条件：等截面直梁 平面弯曲 弹性范围内,中性轴为对称轴,y,1,y,2,C,z,A,1,A,2,M,12,例1,受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：,（1）11截面上1、2两点的正应力；,（2）此截面上的最大正应力；,（3）全梁的最大正应力；,（4）已知,E,=200GPa，求11截面的曲率半径。,弯曲应力,q=,60kN/m,A,B,1m,2m,1,1,x,M,+,M,1,M,max,1,2,120,180,z,y,解：画,M,图求截面弯矩,30,13,弯曲应力,q=,60kN/m,A,B,1m,2m,1,1,1,2,120,z,y,求应力,180,30,x,M,+,M,1,M,max,14,求曲率半径,弯曲应力,q=,60kN/m,A,B,1m,2m,1,1,1,2,120,180,30,x,M,+,M,1,M,max,15,弯曲应力,例2 求图示梁内力图、最大拉应力和最大压应力，并画出危险截面上的应力分布图。（,I,z,10,-5,m,4,）,112.5kN,37.5kN,解：,q,=50kN/m,B,C,A,2 m,D,1 m,25kNm,M,x,14kNm,F,S,x,37.5kN,62.5kN,50kN,160,200,z,30,20,142,16,弯曲应力,160,200,z,30,20,142,C,B,76.8MPa,43.6MPa,137MPa,112.5kN,37.5kN,q,=50kN/m,B,C,A,2 m,D,1 m,25kNm,M,x,14kNm,F,S,x,37.5kN,62.5kN,50kN,17,z,y,b,h,52,梁横截面上的切应力,一、 矩形截面,梁横截面上的切应力,1、两点假设：,切应力与剪力平行；, 距中性轴等距离处，切应力相等。,弯曲应力,d,x,x,横力弯曲：,MF,S,切应力的分布规律与梁的横截面形状有关，因此以梁的横截面形状不同分别加以讨论。,F,S,y,t,18,t,1,t,b,图,c,2、研究方法：分离体平衡。,在梁上取微段如图,b,；,弯曲应力,d,x,x,F,S,(,x,)+d,F,S,(,x,),M,(,x,),M,(,x,)+d,M,(,x,),F,S,(,x,),d,x,F,N1,x,y,z,图,a,图,b, 在微段上取一块如图,c,，,F,N2,19,弯曲应力,由切应力互等：,t,1,t,b,F,N1,x,y,z,F,N2,z,y,b,h,F,S,y,t,20,弯曲应力,F,S,t,方向：与横截面上剪力方向相同；,t,大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度,h,分布为抛物线。,最大切应力为平均切应力的1.5倍。,z,y,b,h,F,S,y,t,21,弯曲应力,二、其它截面梁,横截面上的切应力,1、研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为：,z,z,bI,F,S,S,*,=,t,其中：,F,S,为截面剪力；,S,z,*,为,y,点以外的面积对中性轴之静矩；,I,z,为整个截面对,z,轴之惯性矩；,b,为,y,点处截面宽度。,b,z,y,F,S,y,22,弯曲应力,工字钢截面：,翼缘部分,t,max,腹板上的,t,max,，,只计算腹板上的,t,max,。,铅垂切应力主要由腹板承受（,9597%,），且,t,max,t,min,故工字钢最大切应力,2、几种常见截面的最大弯曲切应力,z,b,腹板的面积,23,圆截面：,薄壁圆环：,弯曲应力,24,5-3,梁的正应力和切应力强度条件,1、危险截面与危险点分析,中性轴为对称轴时，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。,弯曲应力,F,S,t,s,s,s,M,t,25,2、正应力和切应力强度条件,弯曲应力,y,1,y,2,C,z,s,M,F,S,t,A,1,A,2,M,26,铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力。,梁的跨度较短，,M,较小，而,F,S,较大时，要校核切应力。,各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，,要校核切应力。,弯曲应力,3、强度条件应用：,依强度条件可进行三种强度计算：,、校核强度：,校核强度,：,设计截面尺寸：,设计载荷：,4、需要校核切应力强度的几种特殊情况：,27,解：画内力图求危险截面内力,例1,矩形(,b,h,=0.12m0.18m）,截面木梁如图，,=7MPa，,=0. 9 M Pa，试求最大,正应力和最大切应力之比,并校核梁的强度。,弯曲应力,q=,3.6kN/m,x,M,+,A,B,L,=3m,F,S,+,x,28,求最大应力并校核强度,应力之比,弯曲应力,q=,3.6kN/m,F,S,+,x,x,M,+,安全。,29,y,1,y,2,G,A,1,A,2,解：画弯矩图并求危险截面内力,例2,T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的,t,=30MPa，,c,=60 MPa，其截面形心位于,C,点，,y,1,=52mm，,y,2,=88mm，,I,z,=763cm,4,，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？,4,弯曲应力,画危面应力分布图，找危险点,F,1,=,9kN,1m,1m,1m,F,2,=,4kN,A,B,C,D,x,2.5kNm,-,4kNm,M,A,3,A,4,z,30,校核强度,T字头在上面合理。,弯曲应力,y,1,y,2,G,A,1,A,2,A,3,A,4,y,1,y,2,G,A,3,A,4,x,2.5kNm,-,4kNm,M,31,例3 已知图示外伸梁的许用应力,=160MPa，试确定截面尺寸b。,11.25kN,3.75kN,解：求支反力(如上)，作弯矩图(如下)：,M,x,3.75kNm,2.5kNm,F,=10kN,B,C,A,1 m,D,1 m,2 b,b,1 m,q,=5kN/m,弯曲应力,32,例4 梁AD为No10工字钢，BC为圆钢，d=20mm，梁和杆的许用应力,=160MPa ，试求许可均布载荷q。,解：,q/2,M,x,9q/32,q,B,C,A,2 m,D,1 m,按梁的强度条件计算：,按杆的强度条件计算：,F,A,弯曲应力,5q/4,F,S,x,3q/4,q,F,B,33,5-4,提高梁强度的措施,弯曲应力,正应力强度条件：,1、在面积相等的情况下，选择抗弯截面模量大的截面,z,D,z,a,a,34,弯曲应力,z,D,0.8,D,a,1,2,a,1,z,35,工字形截面与框形截面类似。,弯曲应力,0.8,a,2,a,2,1.6,a,2,2,a,2,z,36,弯曲应力,z,165,132,z,99,127,z,60,z,127,60,z,A,:,7698mm,2,7620mm,2,7620mm,2,7698mm,2,7630mm,2,W,z,:,95259mm,3,96200mm,3,161290mm,3,260637mm,3,875000mm,3,W,z,A,:,37,弯曲应力,提高梁强度的措施,38,弯曲应力,钢管和型钢,39,对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：,弯曲应力,2、根据材料特性选择截面形状,s,C,z,40,弯曲应力,提高梁强度的措施,41,弯曲应力,3、减小梁的最大弯矩,x,M,+,x,M,+,F=qL,L,q,L,42,F=qL,x,M,+,F=qL,L/,5,4,L/,5,对称,M,x,qL,2,/,10,弯曲应力,43,弯曲应力,x,M,+,q,L,q,0.2L,0.2L,L,x,M,+,44,4、采用,等强度梁,弯曲应力,等截面梁是按最大弯矩设计,等强度梁是按变截面设计,等强度梁为变截面梁，各横截面上的最大正应力,max,都相等，且等于许用应力。,x,F,h,(,x,),x,F,M,(,x,),M,max,45,4、采用,等强度梁,弯曲应力,如果梁的宽度相同,如果梁的高度相同,x,F,M,(,x,),x,F,h,(,x,),x,b,(,x,),46,弯曲应力,等强度梁,5、选用高强度材料，提高许用应力值,但是，改换材料，其,原料费用,也会随之发生很大的改变！,47,作业：,48,