生活中的优化问题举例

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,生活中的优化问题举例,生活中经常遇到求,利润最大,、,用料最省,、,效率最高,等问题，这些问题通常称为,优化问题,，通过前面的学习，知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。,例,1,：,海报版面尺寸的设计,学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为,128dm,2,，上、下两边各空,2dm,，左、右两边各空,1dm,，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？,图,分析：已知版心的面积，你能否设计出版心的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面积来？,你还有其他解法吗？,因此，,x=16,是函数,S(x),的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为,16dm,，宽为,8dm,时，能使四周空白面积最小。,解法二,：,由解法,(,一,),得,问题,2:,饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗,?,你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些,?,你想从数学上知道它的道理吗,?,是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大,?,规格（,L,）,2,1.25,0.6,价格（元）,5.1,4.5,2.5,例,2,：,饮料瓶大小对饮料公司利润的影响,下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们,的价格如下表所示，则,（,1,）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？,（,2,）对制造商而言，哪一种的利润更大？,例,2,某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是,p,r,2,分，其中,r,是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售,1,ml,的饮料，制造商可获利分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为,6cm,，,(,),瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？,(,）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？,r,(0,，,2),2,(2,，,6,f,(,r,),0,f,(,r,),-,+,减函数,增函数,p,每瓶饮料的利润：,解：由于瓶子的半径为,r,，所以每瓶饮料的利润是,当半径,r,时，,f (r)0,它表示,f(r),单调递增，,即半径越大，利润越高；,当半径,r,时，,f (r)0,它表示,f(r),单调递减,，,即半径越大，利润越低,1.,半径为,cm,时，利润最小，这时,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，,此时利润是负值,半径为,cm,时，利润最大,r,(0,，,2),2,(2,，,6,f,(,r,),0,f,(,r,),-,+,减函数,增函数,p,2,3,1,、当半径为,2,cm,时,利润最小,这时,f,(2)0,2,、当半径为,6,cm,时，利润最大。,从图中可以看出,:,从图中，你还能看出什么吗？,由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：,优化问题,用函数表示的数学问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。,练习,1,：,在边长为,60cm,的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？,解,:,设箱底边长为,x,则箱高,h=(60-x)/2.,箱子容积,V(x)=x,2,h=(60x,2,-x,3,)/2(0x60).,令,解得,x=0(,舍去,),x=40.,且,V(40)=,16000.,由题意可知,当,x,过小,(,接近,0),或过大,(,接近,60),时,箱子的容积很小,因此,16000,是最大值,.,答,:,当,x=40cm,时,箱子容积最大,最大容积是,16000cm,3,.,练习,2:,某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省,?,R,h,解,设圆柱的高为,h,底面半径为,R.,则表面积为,S(R)=2Rh+2R,2,.,又,V=R,2,h(,定值,),即,h=2R.,可以判断,S(R),只有一个极值点,且是最小值点,.,答 罐高与底的直径相等时,所用材料最省,.,x,y,练习,3,如图,在二次函数,f(x)=4x-x,2,的图象与,x,轴所,围成的图形中有一个内接矩形,ABCD,求这 个矩形的最大面积,.,解,:,设,B(x,0)(0x2),则,A(x, 4x-x,2,).,从而,|AB|= 4x-x,2,|BC|=2(2-x).,故矩形,ABCD,的面积,为,:S(x)=|AB|BC|=2x,3,-12x,2,+16x(0x2).,令,得,所以当 时,因此当点,B,为 时,矩形的最大面积是,问题,3,、磁盘的最大存储量问题,(1),你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？,(2),你知道磁盘的结构吗？,(3),如何使一个圆环状的磁,盘存储尽可能多的信息？,R,r,例,3,：现有一张半径为,R,的磁盘，它的存储区是半径介于,r,与,R,的环行区域。,是不是,r,越小，磁盘的存,储量越大？,(2),r,为多少时，磁盘具有最大存储量,（最外面的磁道不存储任何信息）？,解：存储量,=,磁道数,每磁道的比特数,设存储区的半径介于,r,与,R,之间，由于磁道之间的宽度必须大于,m,，且最外面的磁道不存储人何信息，所以,磁道最多可达 又由于每条磁道上的比特数相,同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即,每条磁道上的比特数可达到 所以，磁道总存储量,（,1,）它是一个关于,r,的二次函数，从函数的解析式上可以判断，不是,r,越小，磁盘的存储量越大,.,(2),为求 的最大值，计算,令,解得,因此，当 时，磁道具有最大的存储量，最大,存储量为,导数的应用（,2,）,例,1,：方程根的问题,求证：方程 只有一个根。,证明：令,f,(,x,)=,e,2,x,1,2,x,. ,f,(,x,)=2,e,2,x,2=2(,e,2,x,1),x,0,，,e,2,x,e,0,=1,，,2(,e,2,x,1),0,即,f,(,x,),0,f,(,x,)=,e,2,x,1,2,x,在,(0,，,+),上是增函数,.,f,(0)=,e,0,1,0=0.,当,x,0,时，,f,(,x,),f,(0)=0,，即,e,2,x,1,2,x,0.,1+2,x,e,2,x,2.,当,x,0,时，证明不等式：,1+2,x,e,2,x,.,分析：假设令,f,(,x,)=,e,2,x,1,2,x,.,f,(0)=,e,0,1,0=0,如果能够证明,f,(,x,),在,(0,，,+),上是增函数，那么,f,(,x,),0,，则不等式就可以证明,.,点评：,所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为,0.,提示,:,运用导数判断单调性,根据函数的单调性比较函数值大小,