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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 2.5,*,2.5 泊松方程和拉普拉斯方程,静电场的基本方程,:,线性、均匀、各向同性电介质,积分,无旋,：,有散,微分,本构关系：,9/11/2024,1,第二章 2.5,泊松,方程和拉普拉斯方程：,泊,松,方程：,静电场为无旋场，故可引入一标量电位 来描述之。,而,将,即,（2-5-1）,的泊松方程,9/11/2024,2,第二章 2.5,拉普拉斯方程：,若静电场中无电荷分布时，即,则泊松方程为：,（2-5-2）,的拉普拉斯方程,拉普拉斯算符 ：,标量算符,9/11/2024,3,第二章 2.5,拉普拉斯算符在各坐标系中的表示式：,直角坐标系：,柱坐标系：,球坐标系：,9/11/2024,4,第二章 2.5,求解泊松,方程（或拉普拉斯方程）：,给定电荷分布，求解其方程得,若已知,9/11/2024,5,第二章 2.5,例：若半径为 a 的导体球面的电位为 ，球外无电荷，求空间的电位。,解：显然，导体球的电荷分布在球面上，且呈球对称，故空间的电位也呈球对称，仅是r 的函数。取球坐标系。,因球外无电荷，则空间电位满足拉普拉斯方程,球坐标系中,即,9/11/2024,6,第二章 2.5,而,9/11/2024,7,第二章 2.5,两平行板电极无限大，若其间无电荷分布，则板间电场强度均匀,;,而实际上板间充满密度为 的体电荷，由于体电荷只是 的函数，,故电场强度也只是 的函数。,例：,两无限大平行板电极，板间距离为 ，电压为 ，并充满密度为 的体电荷。求板间电场强度 和极板面上的电荷面密度。如图。,解：,应用高斯通量定理求解。,作一柱形闭合面为,S，,底面积为 ，下底在左极板内，上底在 处，侧柱面与 平行。,0,9/11/2024,8,第二章 2.5,即,又,代入,则,12,导体内的电场强度为零,0,9/11/2024,9,第二章 2.5,作一柱形闭合面为,S，,底面积为 ，下底在左极板内，上底在 极板内，侧柱面与 平行。,闭合面上、下底处的电场强度为零，侧面的法向与电场强度的方向垂直。,故,则,0,9/11/2024,10,第二章 2.5,例：用解泊松方程的方法重求上例的电场强度。,0,解：,泊松方程为,0,则,9/11/2024,11,第二章 2.5,故,9,9/11/2024,12,第二章 2.5,运用泊松方程和（或）拉普拉斯方程可以求解静电场的边值问题。所谓“边值问题”，是指在一定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程，具体解法在第五章介绍。,在某些特殊的情况下可以直接用积分的方法求解，这些特殊情况包括：,、求借电位呈完全对称分布；,、无穷大边界面（如点电荷电场）,除上述情况外均须用其它方法求解。,9/11/2024,13,第二章 2.5,
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