07新 经济地理学 第二章

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章随机变量及其分布,随机试验的结果,随机变量,数量化,微积分等数学工具,随机变量与分布函数,2.1,在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念,.,1,、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）,.,例如，掷一颗骰子面上出现的点数；,七月份郑州的最高温度；,每天从郑州下火车的人数；,昆虫的产卵数；,2,、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果,.,也就是说，把试验结果数值化,.,正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系,.,例,1.,观察一天中进入某商店的顾客人数。,w,k,=,一天中进入,商店,k,个顾客,k,k,=(1,2,),X,例,2.,从一批含有次品的产品中任意抽查一,个，观察产品情况。,0,1,X,随机变量的定义,对于随机试验,E,，,是其样本空间。如果对每一个样本点,w,都对应着一个实数,X,(,w,),，则称,上的实值函数,X,(,w,),为,随机变量,，简记为,X,。,w,R,X(w),X,而表示随机变量所取的值,时,一般采用小写字母,x,y,z,等,.,随机变量通常用大写字母,X,Y,Z,或希腊字母,等表示,随机变量的分类,通常分为两类：,如“取到次品的个数”，,“收到的呼叫数”等,.,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,所有取值可以逐个,一一列举,例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等,.,全部可能取值不仅,无穷多，而且还不能,一一列举，而是充满,一个区间,.,分布函数,设,X,是一个随机变量，称,为,X,的分布函数,.,F(x),也可记为,F,X,(x),.,x,.,问： 在上 式中，,X, x,皆为变量,.,二者有什,么区别？,F(x),是不是概率？,X,是随机变量, x,是参变量,.,F(x),是,r.v X,取值不大于,x,的概率,.,已知,X,的分布函数为,F(x),，,下列各事件概率用,F(x),如何表示？,1-F(x),F,(,x,2,)-,F,(,x,1,),P(,Xx,),P(,x,1,X,x,2,),P(,x,1,X,x,2,),P(,x,1,X,x,2,),F(x)-F(x-0),F(x-0),F,(,x,2,-0,)-,F,(,x,1,),F,(,x,2,)-,F,(,x,1,-0),分布函数的性质,F,(,x+,0),=F,(,x,),1.,单调不减,2.,非负有界,3.,右连续,例,4,.,设随机变量,X,的分布函数为,求常数,a, b,及概率,P,(|,X,|2).,解：根据分布函数的性质有：,离散型随机变量及其分布,2.2,X,x,1,x,2,x,k,P,k,p,1,p,2,p,k,离散型随机变量的概率分布,定义,:,设,x,k,(,k,=1,2,),是离散型随机变量,X,所取的一切可能值,p,k,是,X,取值,x,k,的概率,称,为离散型随机变量,X,的,概率分布,或,分布律,。,分布列,p,k,(,k,=1,2,),满足,:,概率分布的性质,这样，我们就掌握了,X,这个随机变量取值的概率规律,.,从中任取,3,个球,取到的白球数,X,是一个随机变量,X,可能取的值是,0,1,2,取每个值的概率为,例,1,且,解,:,依据概率函数的性质,:,P(,X,=,k,)0,a,0,从中解得,欲使上述函数为概率函数,应有,这里用到了常见的,幂级数展开式,例,2.,设随机变量,X,的概率函数为：,k,=0,1,2, ,试确定常数,a,.,例,5.,某篮球运动员投中篮圈概率是,0.9,，求他两次独立投篮投中次数,X,的概率分布,.,解：,X,可取,0,、,1,、,2,为值,P,(,X,=0)=(0.1)(0.1)=0.01,P,(,X,=1)= 2(0.9)(0.1) =0.18,P,(,X,=2)=(0.9)(0.9)=0.81,且,P,(,X,=0)+,P,(,X,=1)+,P,(,X,=2)=1,例,6.,某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是,p,，求所需射击发数,X,的概率函数,.,解,:,显然，,X,可能取的值是,1,2,，,P,(,X,=1)=,P,(,A,1,)=,p,为计算,P,(,X,=,k,),，,k,= 1,2, ,，,A,k,= ,第,k,发命中,，,k,=1, 2, ,，,设,于是,可见,这就是求所需射击发数,X,的概率函数,.,P,(,X,=1)=,P,(,A,1,)=,p,A,k,= ,第,k,发命中,，,k,=1, 2, ,，,设,于是,若随机变量,X,的概率函数如上式，则称,X,具有几何分布,.,不难验证,:,例,7.,X,P,k,(1),求常数,a,;,(2) P(X1), P(-2X0), P(X,2).,离散型随机变量的,分布函数,当,x,0,时，,X,x, =,， 故,F(x),=0,例,9,，求,F(x).,当,0,x, 1,时，,F(x),=,P,(,X,x,) =,P,(,X,=0) =,F(x) = P,(,X,x,),解,:,当,1,x, 2,时，,F(x),=,P,(,X,=0) +,P,(,X,=1) = + =,当,x,2,时，,F(x),=,P,(,X,=0) +,P,(,X,=1) +,P,(,X,=2) = 1,例,9,，求,F(x).,F(x) = P,(,X,x,),解,:,故,注意右连续,下面我们从图形上来看一下,.,概率函数图,分布函数图,画 分布函,数图,不难看出，,F(x),的图形是阶梯状的图形，在,x,=0,，,1,，,2,处有跳跃，其跃度分别等于,P,(,X,=0) ,P,(,X,=1) ,P,(,X,=2).,1.,它的图形是一条右连续的阶梯型曲线,2.,在随机变量的每一个可能取值点,x=x,k,(,k,=1,2,),该图形都有一个跳跃，,跳跃高度为,p,k,离散型随机变量的,分布函数特点,例,11.,袋中装有,5,件产品,其中有,2,件次,品,其余为正品,现任取,2,件,那么取到,的次品数,X,的分布列及分布函数,.,几种常见的离散型随机变量的分布,0-1,分布,若随机变量,X,只可能取,0,和,1,两个值，其概率分布为,P,(,X=,1),= p,，,P,(,X=,0),=1-p,(0,p,0,则称,X,服从参数为,的,泊松分布,，记作,X,P,(,).,设随机变量,X,n,B,(,n,p,n,),，其中,p,n,是与,n,有关的数，又设,=np,n,是常数，则有,泊松定理,定理的条件,=np,n,意味着当,n,很大时，,p,n,必定很小,.,因此，泊松定理表明，当,n,很大，,p,很小时有以下近似式：,例,15,为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员,.,设共有,300,台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是,0.01.,若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理,.,问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于,0.01?,我们先对题目进行分析：,300,台设备，独立工作，出故障概率都是,0.01.,一台设备故障一人来处理,.,问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于,0.01?,设,X,为,300,台设备同时发生故障的台数，,300,台设备，独立工作，每台出故障概率,p,=0.01 .,可看作,n,=300,的贝努里概型,.,X,B,(,n,p,),，,n,=300,p,=0.01,可见，,300,台设备，独立工作，出故障概率都是,0.01 .,一台设备故障一人来处理,.,问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于,0.01?,设,X,为,300,台设备同时发生故障的台数，,X,B,(,n,p,),，,n,=300,p,=0.01,设需配备,N,个维修人员，,所求的是满足,P,(,X,N,) ,N,) ,N,),n,大,p,小,np,=3,用,=,np,=3,的泊松近似,下面给出正式求解过程：,即至少需配备,8,个维修人员,.,查书末的泊松分布表得,即,N,8,我们求满足,的最小的,N,.,例,.,若一年中某类保险者里面每个人死亡的,概率为,0.002,现有,2000,个这类人参加人,寿保险。参加者交纳,24,元保险金，而死,亡时保险公司付给其家属,5000,元赔偿,费。计算“保险公司亏本”和“保险公司,盈利不少于,10000,元”的概率。,解：,X,:,一年内死亡的人数,X,B,(2000,0.002),亏本,5000X48000X9,盈利不少于,10000,元,48000-5000X,10000X,7,用泊松定理近似计算！,=0.0081,=0.9489,例,17.,设生三胞胎的概率为,0.0001,，求在,10000,次生育中恰有,2,次三胞胎的概率。,解：,X,:,生三胞胎的次数,X,B,(10000,0.0001),由泊松定理，,n,重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布,.,我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件,.,如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等,例,18.,有一汽车站有大量汽车通过,设每,辆汽车在一天某段时间出事故的概率,为,0.0001,在某天该段时间内有,1000,辆,汽车通过,求事故数,X,不小于,2,的概率,.,几何,分布,在独立试验序列中，若一次贝努利试验中某事件,A,发生的概率为,P,(,A,)=,p,，只要事件,A,不发生,试验就不断地重复下去，直到事件,A,发生，试验才停止。设随机变量,X,为直到事件,A,发生为止所需的试验次数，,X,的概率分布为,则称,X,服从参数为,p,的,几何分布,，记作,X,G,(,p,).,例,19.,某射手连续向一目标射击，直到命,中为止，已知他每发命中的概率是,0.4,，求：,(1),所需射击发数,X,的概率分布,.,(2),至少需要,n,次才能射中目标的概率。,X,G,(0.4),超几何,分布,设,N,个元素分为两类,有,M,个属于第一类,N,-,M,个属于第二类,.,现在从中不重复抽取,n,个,其中包含的第一类元素的个数,X,的分布律为,其中,n,N,M,N,l,=,min,n,M,n,N,M,均为正整数,则称,X,服从参数为,N,M,n,的,超几何分布,，记作,X,H,(,N,M,n,).,例,20.,某班有学生,20,名，其中有,5,名女生，,今从班上任选,4,名学生去参观展览，,求被选到的女同学人数,X,的分布律。,X,H,(20,5,4),连续型随机变量及其分布,2.3,概率密度,设随机变量,X,的分布函数为,F,(,x,) ,如果存在非负函数,f(x),使得对任意的实数,x,都有,则称,X,为,连续型随机变量,f(x),称为,X,的概率密度函数,简称为,概率密度,或,分布密度,。,概率密度的性质,f,(,x,),x,o,o,f,(,x,),x,a b,连续型,r.v,取任一指定值的概率为,0.,即：,a,为任一指定值,这是因为,需要指出的是,:,由此得,，,对连续型,r.v X,有,概率分布的性质,由,P,(,X,=,a,)=0,可推知,而,X=a,并非不可能事件,并非必然事件,称,A,为几乎不可能事件，,B,为几乎必然事件,.,可见，,由,P,(,A,)=0,不能推出,由,P,(,B,)=1,不能推出,B=S,概率分布的性质,密度函数,f (x),在某点处,x,0,的高度，并不反映,X,取值的概率,.,在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度,.,例,1.,若,X,的概率密度为,例,2,.,设连续型随机变量,X,的概率密度为,求系数,k,及分布函数,F(x),并计算,P,(1,X,3.5).,例,3,.,设连续型随机变量,X,的概率密度为,求系数,k,及分布函数,F(x),并计算,P,(0.5,X,0,为常数,则称,X,服从参数为,的,指数分布,记作,X,E,.,例,7.,某电子元件的使用寿命,X,是一个连续,型随机变量，其概率密度为,一台电子仪器内装有,5,个这种类型的元件，任一元件坏仪器即停止工作，求,仪器能正常使用,1000,小时以上的概率。,例,8.,某电子元件的使用寿命,X,是一个连续,型随机变量，其概率密度为,(1),确定常数,C;,(2),寿命超过,100,小时的概率；,(3),已知该元件已正常使用,200,小时，求,它至少还能正常使用,100,小时的概率。,若随机变量,X,对任意的,s0,t0,有,则称,X,的分布具有,无记忆性,.,指数分布具有无记忆性,泊松分布具有无记忆性,指数分布和泊松分布有着特殊的联系,例,9.,某机场在任何长为,t,的时间内飞机来到,的数目,X,服从参数为,t,的泊松分布，,求跑道的,“,等待时间,”,即相继两架飞机,到来的时间间隔,Y,的概率分布。,几种,常见的连续型随机变量的分布,正态,分布,若随机变量,X,的概率密度为,其中,和,都是常数,0,，则称,X,服从参数为,和,2,的,正态分布,.,记作,X,N,(,2,),关于,x,=,对称,在,x,=,处有拐点,以,x,轴为渐近线,决定了图形的中心位置，,决定了图形中峰的陡峭程度,.,X,N,(,2,),我们遇到过的年降雨量问题，我们用上海,99,年年降雨量的数据画出了频率直方图。,从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。,下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。,红线是拟合的正态密度曲线,可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。,人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。,除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布,.,=0,=1,时,的正态分布称为,标准正态分布,.,其密度函数和分布函数常用,和,表示：,标准正态,分布,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布,.,正态,分布,的概率计算,1.,若,X,N,(0,1),2.,若,X,N,(,2,),正态,分布,的概率计算,例,10.,设,X,N,(0,1),求,:,例,11.,设,X,N,(2,4),求,:,例,12.,设,X,N,(,2,),求,:,3,原则,例,14.,设测量某一目标的距离时发生的误差,X,(,米,),的概率密度为,求三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过,30,米的概率。,判断正误,设,X,N,(3,4),求,分位点,设,X,N,(0,1),对于给定的,0,1,存在,u,满足,即,则称,u,为,X,关于,的,上侧分位点,.,例,15.,公共汽车车门的高度是按男子与车,门顶头碰头机会在,0.01,以下来设计,的,.,设男子身高,X,N,(,170,36,),问车,门高度应如何确定,?,分位点,设,X,N,(0,1),对于给定的,0,1,存在,u,/2,满足,则称,u,/2,为,X,关于,的,双侧分位点,.,伽玛分布,随机变量函数的分布,2.4,一、问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数,更感兴趣,.,求截面面积,A,=,的分布,.,例如，已知圆轴截面直径,d,的分布，,一、问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数,更感兴趣,.,已知,t=t,0,时刻噪声电压,V,的分布，,求功率,W=V,2,/R,(,R,为电阻）的分布等,.,设随机变量,X,的分布已知，,Y=g (X),(,设,g,是连续函数），如何由,X,的分布求出,Y,的分布？,下面进行讨论,.,这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.,随机变量,X,的分布,随机变量,Y,的分布,?,Y=g(X),二、离散型随机变量,函数的分布,解： 当,X,取值,1,，,2,，,5,时，,Y,取对应值,5,，,7,，,13,，,例,1,设,X,求,Y,= 2,X,+ 3,的概率函数,.,而且,X,取某值与,Y,取其对应值是两个同时发生,的事件,，两者具有相同的概率,.,故,如果,g(x,k,),中有一些是相同的，把它们作适当,并项即可,.,一般，若,X,是离散型,r.v,，,X,的概率函数为,X,则,Y=g(X),如：,X,则,Y=X,2,的概率函数为：,Y,离散型随机变量,函数的,分布,例,2.,已知,X,的分布列为,a.,求,Y,=3,X,-1,的分布列；,X,-2,-1,0,1,23,P,k,0.10.150.30.20.10.15,b.,求,Z,=,X,2,的分布列,.,如果,y,k,=g(x,k,),中有一些是相同的，把它们作适当并项即可,.,一般，若,X,是离散型,r.v,，,X,的分布列为,Y,y,1,y,2 ,y,n,P,k,p,1,p,2,p,n,X,x,1,x,2,x,n,P,k,p,1,p,2,p,n,若,y,k,=g(x,k,),的值互不相等,Y=g(X),的分布列为,三、连续型随机变量函数的分布,例,3,设,X,的概率密度,.,三、连续型随机变量函数的分布,解：设,Y,的分布函数为,F,Y,(,y,),，,例,4,设,X,求,Y,=2,X,+8,的概率密度,.,F,Y,(,y,),=P,Y y, =,P,(2,X,+8,y,),=,P,X, =,F,X,( ),于是,Y,的密度函数,故,注意到,0 ,x, 4,时，,即,8 ,y,0,时,注意到,Y=X,2,0,，故当,y,0,时，,解： 设,Y,和,X,的分布函数分别为 和,，,若,则,Y=X,2,的概率密度为：,从上述两例中可以看到，在求,P,(,Y,y,),的过程中，关键的一步是设法,从,g,(,X,) ,y,中解出,X,从而得到与,g,(,X,) ,y,等价的,X,的不等式,.,例如，用 代替,2,X,+8 ,y,X,用 代替,X,2,y,这样做是为了利用已知的,X,的分布，从而求出相应的概率,.,这是求,r.v,的函数的分布的一种常用方法,.,设随机变量,X,的概率密度为,f,X,(,x,),又设,y=g,(,x,),严格单调且可导,则,Y,=,g,(,X,),是一个连续型随机变量,其概率密度为,定理,其中,(,),是,y=g,(,x,),的值域,.,公式法,例,6.,设,X,N,(,2,),求,:,例,7,设随机变量,X,的概率密度为,求,Y=,sin,X,的概率密度,.,当,y,0,时,当,y,1,时,当,时,故,解：注意到,=,P,(0,X,arcsin,y,)+P( - arcsin,y,X,）,解：当,0,y,1,时,例,8,设随机变量,X,的概率密度为,求,Y=,sin,X,的概率密度,.,当,0,y,1,G,(,y,)=1;,对,y,0 ,G,(,y,)=0;,由于,对,0,y,1,G,(,y,)=,P,(,Y,y,),=,P,(,F,(,X,),y,),=,P,(,X, (,y,),=,F,( (,y,)=,y,即,Y,的分布函数是,求导得,Y,的密度函数,可见,Y,服从,0,，,1,上的均匀分布,.,本例的结论在计算机模拟中有重要的应用,.,例,10,设随机变量,X,在,(0,1),上服从均匀分布，求,Y,=-2ln,X,的概率密度.,解：,在区间,(0,1),上,函数,ln,x,0,于是,y,在区间,(0,1),上单调下降，有反函数,由前述定理得,注意取,绝对值,已知,X,在,(0,1),上服从均匀分布，,代入,的表达式中,得,即,Y,服从参数为,1/2,的指数分布,.,演讲完毕，谢谢观看！,