三系统能控性

,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第三节 系统的能控性,Wednesday, September 11, 2024,1,7.3,系统的能控性,在线性系统的定性分析中，系统的能控、能观测性分析是一个很重要的内容。它们是系统的两个基本属性。,能控性和能观测性描述了输入 对状态 的控制能力和对状态的反映能力。我们知道系统的动态性能受闭环零、极点的支配。用闭环输入反馈难以任意配置零、极点，只能由状态反馈来实现。能任意支配状态和观测状态就显得很重要了。这就是研究系统能控性和能观测性的目的。,Wednesday, September 11, 2024,2,一、能控性定义：,系统能控性直观概念：,例,7-3-1,：系统的结构图如下：,显然，只能控制 而不能影响 ，我们称状态变量 是可控的，而 是不可控的。只要系统中有一个状态变量是不可控的，则该系统是不可控的。,Wednesday, September 11, 2024,3,例,7-3-2,：系统传递函数为： ，,其信号流图如下,可见，输入 到所有的状态变量都有一条通道相连，所以系统状态完全可控。,Wednesday, September 11, 2024,4,能控性定义：,线性定常连续系统的状态方程为： ，如果存在一个无约束的控制 ，能在有限的时间,t,内，把系统从任意状态 转移到任意其他的状态 ，则称系统状态完全能控，简称系统能控。,对于简单的系统，可以根据能控性的定义或方块图（信号流图）来判断系统的可控性（见例,7-3-1,和例,7-3-2,）。但是对于较复杂的系统，用上述方法可能会出现错误，需要借助一些定理来判断。,Wednesday, September 11, 2024,5,二、能控性判据：,1,、能控性判据,：线性定常连续系统 中，状态完全能控的充分必要条件是能控性矩阵,满秩。 即,若输入 ，则：,当 为单输入（标量）时， 为 方阵。此时系统能控的充要条件是： 为非奇异阵。,讨论,：,当 为多输入时（矢量）时， 为 维矩阵，求秩困难。可用下列方法解决：,Wednesday, September 11, 2024,6,例,7-3-3,：,上式为线性定常连续的单输入系统，我们称之为可控标准型。,所以 非奇异，不论 取何值，系统都是状态能控的。,Wednesday, September 11, 2024,7,例,7-3-4,：系统的动态方程为： 确定能控性条件。,解,：信号流图如下：,从信号流图,中可以看出， 能控， 能控的条件是 。所以系统完全可控的条件是 。,若用能控性判据,判断：,若要 非奇异，只要求 即可。,Wednesday, September 11, 2024,8,2.,能控性判据,：,能控性判据,只能判定系统是否可控，而不能说明哪些状态变量可控，哪些状态变量不可控。可控性判据,要解决这个问题。,设系统的状态方程为：,当 有互异特征根时 时，必存在非奇异阵 ，作,线性变换 有：,式中，,Wednesday, September 11, 2024,9,从上式看出：若 阵中某行元素全为零，则此行对应的状态变量不可控。如果有若干行元素全为零，则有若干个状态变量不可控。如果 中没有元素全为零的行，则 可控。,可控时， 可控吗？,结论,：非奇异线性变换不改变系统的能控性。,Wednesday, September 11, 2024,10,说明,线性变换后，系统的能控性矩阵为：,因为， 均满秩，所以 满秩，,故 能控。,判据,：,设线性连续定常系统 的特征值 互异，则系统状态完全能控的充要条件是：经非奇异线性变换后的对角标准型 中的 阵不包含元素全为零的行。其中， 。,Wednesday, September 11, 2024,11,当 有重特征根时，必可化为约当阵。作线性变换,判据,设系统具有重特征值，其中,，则系统状态能控的充要条件是：经非奇异线性变换后的约当标准型中，与每个约当块的最后一行相对应的 阵的行，其元素不全为零。,Wednesday, September 11, 2024,12,说明,把状态方程化成约当标准型，把,n,个状态变量按照特征值分成,k,组，各组之间没有耦合关系。要保证系统能控，必须使各组的状态变量都受输入 的控制。在每一个约当块中对应的状态变量是互相耦合的。其耦合关系如下（以 为例）：,假设：,它对应的状态变量为 ，则：,只要 ，则 与 有关，不论 是否为零 都与 有关，所以 可控。,表示约当块最大部分的状态变量受,u,的控制，则相当于该约当块的一组状态变量都受,u,的控制。,Wednesday, September 11, 2024,13,例,7-3-5,：状态方程为： 试判定其稳定性。,解,：由 得,:,对应的特征向量为：,对角化转换阵为：,中无全为零的行，所以系统可控。,Wednesday, September 11, 2024,14,小结,能控性定义,能控性判据,1,能控性判据,2,Wednesday, September 11, 2024,15,