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,1,第九章 拉普拉斯变换,9.2 Laplace,变换的性质,9.2 Laplace,变换的性质,一、线性性质与相似性质,二、,延迟性质与位移性质,三、,微分性质,四、积分性质,五、周期函数的像函数,六、卷积与卷积定理,9.2 Laplace 变换的性质一、线性性质与相似性质,对于涉及到的一些运算,(,如,求导,、,积分,、,极限,及,求和,等,),的次序交换问题，均不另作说明。,所涉及到的函数的,Laplace,在下面给出的基本性质中，,且,变换均假定存在，它们的,增长指数,均假定为,c,。,9.2 Laplace,变换的性质,对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等) 的次,证明,(略),性质,一、线性性质与相似性质,1. 线性性质,P216,P216,证明 (略) 性质 一、线性性质与相似性质,解,解,解,解,令,证明,性质,一、线性性质与相似性质,2. 相似性质,(尺度性质),P217,令 证明 性质 一、线性性质与相似性质,二、,延迟性质与位移性质,1. 延迟性质,则对任一非负实数 有,设当,t, 0 时,性质,令,证明,P222,P222,二、延迟性质与位移性质1. 延迟性质 则对任一非负,二、,延迟性质与位移性质,1. 延迟性质,则对任一非负实数 有,设当,t, 0 时,性质,可见，在利用本性质,求逆变换时,应为：,因此，本性质也可以,直接表述,为：,注意,在延迟性质中专门强调了当,t, 0 时 这一,约定,。,二、延迟性质与位移性质1. 延迟性质 则对任一非负,已知,解,方法一,方法二,两种方法为什么会得到不同的结果？,根据,延迟性质,有,方法二 先平移再充零,P222 例9.12,方法一 先充零再平移,已知解 方法一 方法二 两种方法为,根据,延迟性质,有,设 求,例,解,由于,P223 例9.13 修改,根据延迟性质有 设,证明,(略),例如,性质,2. 位移性质,P223,二、,延迟性质与位移性质,证明 (略) 例如 性质 2. 位移性质,三、,微分性质,性质,证明,由,因此当 时，有,有,即得,1. 导数的象函数,P217,P217,三、微分性质性质 证明 由 因此当,三、,微分性质,1. 导数的象函数,性质,其中， 应理解为,一般地，有,Laplace,变换的这一性质非常重要，可用来求解微分,方程(组)的初值问题。,9.4 将专门介绍,）,（,三、微分性质1. 导数的象函数 性质 其中，,解,利用导数的象函数性质来求解本题,以及 有,由,故有,P218 例9.7,解 利用导数的象函数性质来求解本题 以及,三、,微分性质,2. 象函数的导数,性质,一般地，有,由 有,证明,同理可得,P218,三、微分性质2. 象函数的导数 性质 一般地,根据,象函数的导数,性质有,解,已知,P219 例9.8,根据象函数的导数性质有 解 已知 P,解,根据,线性性质,以及,象函数的导数,性质有,已知,P219 例9.9,解 根据线性性质以及象函数的导数性质有 已知,根据,位移性质,有,解,已知,再由,象函数的导数,性质有,根据位移性质有 解 已知 再由象函数的导,四、积分性质,1. 积分的象函数,性质,证明,令,由,微分性质,有,则 且,即得,P219,P219,四、积分性质1. 积分的象函数 性质 证明,四、积分性质,1. 积分的象函数,性质,一般地，有,四、积分性质1. 积分的象函数 性质 一般地，有,再由,积分性质,得,根据,微分性质,有,解,已知,再由积分性质得 根据微分性质有 解 已知,一般地，有,四、积分性质,2. 象函数的积分,性质,证明,(略),P220,一般地，有 四、积分性质2. 象函数的积分 性质,根据,象函数的积分,性质有,已知,解,即,在上式中，如果令,s,=,0，则有,启示,在,Laplace,变换及其性质中，如果取,s,为某些特定的值，,就可以用来求一些函数的广义积分。,利用拉氏变换,计算广义积分,P220 例9.10,根据象函数的积分性质有 已知 解 即,部分,基本性质汇总,线性性质,相似性质,延迟性质,部分基本性质汇总线性性质 相似性质 延迟性质,微分性质,积分性质,部分,基本性质汇总,位移性质,微分性质积分性质 部分基本性质汇总位移性质,证明,记为,其中，,令,即得,性质,五、周期函数的像函数,P223,证明 记为 其中， 令 即得 性质,函数 的周期为,解,故有,P224 例9.14,函数 的周期为,六、卷积与卷积定理,1. 卷积,当 时，,如果函数满足：,按照上一章中卷积的定义，两个函数的卷积是指,则有,显然，由上式给出的卷积的仍然满足交换律、结合律,以及分配律等性质。,P224,六、卷积与卷积定理1. 卷积 当 时,解,P224 例9.15,解 P224 例9.15,六、卷积与卷积定理,2. 卷积定理,定理,证明,左边,=,D,(跳过?),六、卷积与卷积定理2. 卷积定理 定理证明 左边,定理,六、卷积与卷积定理,2. 卷积定理,证明,左边,=,令,记为,其中,左边,=,=,右边。,定理 六、卷积与卷积定理2. 卷积定理 证明,故有,解,由于,P225 例9.16,故有 解 由于 P225 例9.16,轻松一下,轻松一下,利用 Laplace 变换计算广义积分,附：,在,Laplace,变换及其性质中，如果取,s,为某些,特定,的值，,就可以用来求一些函数的广义积分。,注意在,使用这些公式时必须谨慎，必要时需要事先考察,一下,s,的取值范围以及广义积分的存在性。,P221 注,利用 Laplace 变换计算广义积分附： 在 Laplac,由,解,得,利用 Laplace 变换计算广义积分,附：,P221 例9.11,(,1,),由 解 得 利用 Laplace 变换计算,已知,解,由,积分性质,有,即得,(返回),利用 Laplace 变换计算广义积分,附：,P221 例9.11,(,2,),已知 解 由积分性质有 即得 (返回,
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