实验设计与数据处理--课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,ppt课件,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,*,实验设计与数据处理,1,ppt课件,实验设计与数据处理1ppt课件,本门课程在现代科学中的作用,实验,人类为了认识自然与改造自然，需要不断地对自然界的各种现象进行研究，各个学科所研究的科学领域不同，但各个学科有一个共同点,即：,各个领域的研究都离不开实验。,没有实验就没有现代科学,！,为了要更深刻地认识大千世界和造福人类社会，还必须对实验中的各种“量”进行分析和确认，既要区分量的性质，又要确定其量值，即：要得出实验的结果。,测量是定量分析和定量得出实验结果的重要手段。,如何科学地来对测量进行定义？,2,ppt课件,本门课程在现代科学中的作用实验没有实验就没有现代科学！,测量,(Measurement),：,“是以,确定量值,为目的的一组操作”。,-,测量不确定度评定与表示,（,JJF1059,1999,）中,3.1,条的定义,;,“The objective of,measurement,is to,determine the value,of the measurand.”,- “,G,uide to the Expression of,U,ncertainty in,M,easurement”,（,GUM,）中,B.2.5,条,3,ppt课件,测量 (Measurement)： “The objec,俄国科学家门捷列夫说过：,“,没有测量，就没有科学。,”,（,“,科学始于测量,。,”,）,得到了测量值，是不是就等于已有了测量结果？,4,ppt课件,俄国科学家门捷列夫说过：得到了测量值，是不是就等于已有了测量,为什么得到测量值，并不等于就已有了测量结果？,一、因为误差始终存在于一切观测实验之中，任何测量都不可避免地存在着测量误差。所以，,仅仅局限于取得测量值是无意义的,，必须同时对测量值可能含有的误差的大小或范围做出估计，这样的测量结果才完整而有意义。,二、同时还必须,正确地给出测量结果（含误差）的可信任度。,而从理论上对误差进行系统的研究，以便能够正确地评价并正确地给出 “测量结果及其可信任度”,，,这就是本课程研究的重要内容。,5,ppt课件,为什么得到测量值，并不等于就已有了测量结果？ 一,例,1,瑞利（,Rayleigh,，又译雷莱）发现惰性气体,在测定氮的密度时，从大气中分离的氮与用化学方法制取的氮二者密度有时会相差,1/2000,，由于正确估计了误差，导致他发现惰性气体。,科学史上的例子：,1.,科学发明与实验数据处理的关系,6,ppt课件,例1 瑞利（Rayleigh，又译雷莱）发现惰性气体科学史,瑞利（,Rayleigh,，又译雷莱）发现惰性气体（,氮,）,（科学发明与实验数据处理的关系）,具体实验数据,（,瑞利测定的氮气的密度数据）：,1,、化学方法制得的氮，其平均密度和实验标准偏差分别为,2.29971,和,0.00041,；,2,、从大气中分离的氮，其平均密度和实验标准偏差分别为,2.31022,和,0.00019,；,所幸的是：瑞利是懂误差理论与实验数据处理的。,7,ppt课件,瑞利（Rayleigh，又译雷莱）发现惰性气体（氮）所幸的是,3.,科学实验测量结果的可置信度,例,2,爱因斯坦广义相对论,爱因斯坦,1916,年发表他的广义相对论时指出，光线行进至太阳附近时弯曲角度预计,1.8,此前，,1911,年用经典方法预计,0.9,1919,年有人成功进行测量（日食时才可测）最佳估计,2,。,上述测量结果还同时给出：最佳估计,2 “,以,95,置信水平,落在,1.7,和,2.3,之间。,这给予爱因斯坦广义相对论有力的支持。,8,ppt课件,3.科学实验测量结果的可置信度例2 爱因斯坦广义相对论,例,3,牛顿引力论文推迟,20,年发表,由于在计算中使用了较大误差的地球半径值，使得他测得的月球加速度的值和理论计算值相差约,10,，因而不得不推迟,20,年才发表他的引力论文。,3.,科学与测量的关系,9,ppt课件,例3 牛顿引力论文推迟20年发表 3.科学与测量的关系9pp,搞理工的不懂误差理论不行。,与其糊涂一辈子，不如早做明理人。,例1：,学术期刊论文的撰写,例,2,：,科研项目成果鉴定、验收、评审,例,3,：,国际、国内仪器、器材的购买合同等,10,ppt课件,搞理工的不懂误差理论不行。例1：学术期刊论文的撰写例2：科研,教学安排及要求,第,12,19,周讲课，每周,4,学时,考试：开卷考试,作业： 会留一些课后习题供大家思考,要求：随机点名次，计入平时成绩,11,ppt课件,教学安排及要求11ppt课件,如何学习这门课：,对教师：,指导思想,争取课内解决；,对同学：,理解学完这门课后，在今后我们 理工科科研工作中的益处。保证来上课，提高课堂听课效率。,12,ppt课件,如何学习这门课：对教师：指导思想争取课内解决；12ppt,教学目标：,1,、清楚理解和辨析有关实验数据处理的一系列术语、定义、概念和含义；,2,、在撰写论文及进行试验数据处理时，能正确、全面地完成某一实验过程的实验数据的分析和评定，并能完整、正确地给出最后的实验测量结果表达；,3,、在参加、看到和接触到其它研究者对涉及到实验数据处理的内容有模糊或错误的观点时，能以一个受过正规学习者的身份，给出“言之有据”的指导和评判。,13,ppt课件,教学目标： 1、清楚理解和辨析有关实验数据处理的,第一章 绪 论,1.1,研究误差的意义,1.2,误差的基本概念,误差的定义及表示法,误差的分类,1.3,精度,1.4,有效数字与数据运算,本章内容：,14,ppt课件,第一章 绪 论1.1 研究误差的意义本章内容：14p,重点及难点：,1,、误差定义及表达形式,2,、测量误差按误差性质的分类处理,3,、有效数字定义及选取,15,ppt课件,重点及难点：1、误差定义及表达形式15ppt课件,因为误差始终存在于一切观测实验之中，所以，仅仅局限于取得测量值是无意义的，必须同时对测量值可能含有的误差的大小或范围做出估计，这就需要研究误差理论。,第一节研究误差的意义,研究误差的意义：,1,、正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，从根本上，消除或减小误差；,2,、正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，,通过计算得到更接近真值的数据；,3,、正确组织实验过程，合理设计、选用仪器或测量方法，根据目标确定最佳系统,16,ppt课件,因为误差始终存在于一切观测实验之中，所以，仅仅局限于,误差分析（,error analysis,） ：对原始数据的可靠性进行客观的评定,误差（,error,） ：试验中获得的试验值与它的客观真实值在数值上的不一致,试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实验过程中,客观真实值,真值,17,ppt课件,误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠,1.1 真值与平均值,1.1.1,真值（,true value,）,真值：在某一时刻和某一状态下，某量的,客观值,或,实际值,真值一般是未知的,相对的意义上来说，真值又是已知的,平面三角形三内角之和恒为,180,国家标准样品的标称值,国际上公认的计量值,高精度仪器所测之值,多次试验值的平均值,18,ppt课件,1.1 真值与平均值 1.1.1 真值（true val,1.1.2 平均值（mean）,（,1,）算术平均值（,arithmetic mean,）,等精度试验值,适合：,试验值服从正态分布,19,ppt课件,1.1.2 平均值（mean） （1）算术平均值（arit,（2）加权平均值(weighted mean),适合不同试验值的精度或可靠性不一致时,w,i,权重,加权和,20,ppt课件,（2）加权平均值(weighted mean)适合不同试验值,（3）对数平均值（logarithmic mean）,说明：,若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值,对数平均值算术平均值,如果,1/2,x,1,/,x,2,2,时，可用算术平均值代替,设两个数：,x,1,0,，,x,2,0,，则,21,ppt课件,（3）对数平均值（logarithmic mean）说明：,（4）几何平均值（geometric mean）,当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称时，宜采用几何平均值。,几何平均值,算术平均值,设有,n,个正试验值：,x,1,，,x,2,，,，,x,n,，则,22,ppt课件,（4）几何平均值（geometric mean）当一组试验值,（5）调和平均值（harmonic mean）,常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合,调和平均值,几何平均值,算术平均值,设有,n,个正试验值：,x,1,，,x,2,，,，,x,n,，则：,23,ppt课件,（5）调和平均值（harmonic mean）常用在涉及到与,第二节 误差的基本概念,一、误差的定义及表示法,1,、,可测量的,量,：,现象、物体或物质的一种属性,对它们可以做定性区别与定量确定。,2,、,测量,误差,：,测得值,与,被测量的真值,之间的差,。,误差测得值真值,真值,：观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。,24,ppt课件,第二节 误差的基本概念一、误差的定义及表示法1、可测量,分类,：,理论值,约定真值,三角形内角之和恒为180,国际千克基准,1,Kg,约定真值,(,Conventional True Value）,是指对于给定用途具有适当不确定度的、赋予特定量的值。这个术语在计量学中常用。,当今保存在国际计量局的铂铱合金千克原器的最小不确定度为0.004,mg,误差是针对真值而言的，真值一般都是指约定真值。,指定值、最佳估计值、约定值或参考值,亦称,注意,:,25,ppt课件,分类：三角形内角之和恒为180国际千克基准约定真值(Con,误差,绝对,误差,相对,误差,粗大,误差,系统,误差,随机,误差,表示形式,性质特点,误差的分类：,26,ppt课件,误差 绝对相对粗大系统随机表示形式性质特点误差的分类：26p,(,一,),绝对误差,（,Absolute Error）,测得值,被测量的真值，常用约定真值代替,绝对误差,特点：,1),绝对误差是一个具有确定的大小、符号及单位的量。,2),给出了被测量的量纲，其单位与测得值相同。,L,L,L,0,绝对误差,测得值,真值,绝对误差与误差的绝对值的区别？,问题：,27,ppt课件,(一)绝对误差（Absolute Error） 测得值 被,修正值,(,Correction),:,用代数法与未修正的测量结果,相加,，以,补偿,系统误差的值。,修正值,真值,测得值,特点,：,1),与误差大小近似相等，但方向相反。,2),修正值本身还有误差。,误差,书中定义：为了,消除,系统误差用代数法而加到测量结果上的值。正确？,问题,：,28,ppt课件,修正值(Correction) :用代数法与未修正的测量结果,体检时身高的测量使用身高测量器，体检前医生用更准确的尺子对身高测量器进行校正，发现身高测量器的,180cm,标高处，实际尺寸为,181cm,。,例题,请问：,1,）,180cm,标高处的误差是多少？,2,）,180cm,标高处的修正值是多少？,3,）现一位同学使用身高测量器量出的身高是,180cm,，其实际身高应是多少？,4,）若另一位同学使用身高测量器量出的身高是,170cm,，其实际身高应是多少？,解：,1,）,180,标高处的误差是：,L,L- L,0,由于真值不可确定，实际上只能用约定真值,。约定真值,L,0,181,cm,故,L,180,181= -1 cm,29,ppt课件,体检时身高的测量使用身高测量器，体检前医生用更准确的尺子,2,）,180,标高处的修正值是多少？,修正值,c,L,0,L,181,180,1 cm,3,）若身高测量器量出身高是,180cm,，其实际身高？,实际身高修正后的测量值测量值修正值,180,1,181cm,4,）若身高测量器量出身高是,170cm,，其实际身高为？,回答：不知道此测量点修正后的测量值是多少！,因为,180 cm,处的修正值和,170 cm,处的修正值不同。,注意：,修正值是针对于各自的测量点而言的，每个测量点,有自己相对应的修正值。,30,ppt课件,2）180标高处的修正值是多少？ 修正值,在实际应用场合，有时用绝对误差表述不太直观。,例如：测得一尺寸，,L,1,=100mm,误差,L,1,0.1mm,测得另一尺寸，,L,2,3m,误差,L,2,=0.6mm,两次测量，哪次测量精度更高些？,问题：,这种比较场合，使用什么样的误差表示形式更好些？,31,ppt课件,在实际应用场合，有时用绝对误差表述不太直观。问题： 31pp,(,二,),相对误差,(relative error),测量绝对误差与被测量的真值的比称为相对误差。 （注：由于真值不能确定，实际上用约定真值，即测值的最佳估计值）。,1),无单位（无名数），通常以或,10,-d,表示,2),通常可比较不同测量的质量如何。,特点,：,32,ppt课件,(二)相对误差(relative error)1)无单位（无,式中,:,引用值,x,m,通常指,全量程,或,量程上限,示值误差,x,m,是该量程范围内某一刻度点的示值的,绝对误差,。,问题：,引用误差和相对误差有什么区别？,（三）,引用误差,(fiducial error),33,ppt课件,式中: 引用值 xm 通常指全量程或量程上限问题,我国电工仪表、压力表的准确度等级（,Accuracy Class）,就是按照引用误差进行分级的。如,0.1, 0.2, 0.5, 1.0 ,1.5,等引用误差级别。,当一个仪表的等级,s,选定后，用此表测量某一被测量时，所产生的最大绝对误差为,最大相对误差为,绝对误差的最大值与该仪表的标称范围（或量程）上限,x,m,成正比,选定仪表后，被测量的值越接近于标称范围（或量程）上限，测量的相对误差越小，测量越准确,（公式2）,（公式1）,34,ppt课件,我国电工仪表、压力表的准确度等级（Accuracy,例题：,某被测电压为100伏左右，现用1.0级、量程为150伏电压表来进行测量，问：1）该电压表的引用误差是多少？2）用该电压表测量电压时的最大测量误差是多少？3）用该电压表测量100伏的电压时的最大测量误差是多少？4）用该电压表测量50伏的电压时的最大测量误差是多少？5）用该电压表测量50伏的电压时的相对误差是多少？6）用该电压表测量100伏的电压时的相对误差是多少？,解：,1,）该电压表的引用误差是：,1,2,）用该电压表测量电压时的最大测量误差是：,35,ppt课件,例题：某被测电压为100伏左右，现用1.0级、量程为150伏,3,）用该电压表测量,100,伏电压时的最大测量误差是：,4,）用该电压表测量,50,伏的电压时的最大测量误差是：,5,）用该电压表测量,50,伏的电压时的相对误差是：,6,）用该电压表测量,100,伏的电压时的相对误差是：,1.5V,。,1.5V,。,36,ppt课件,3）用该电压表测量100伏电压时的最大测量误差是： 4,例题,：某被测电压为,100,伏左右，现有,0.5,级、量程为,300,伏和,1.0,级、量程为,150,伏两块电压表，问选用哪一块合适？,解：当用,0.5,级、量程为,300,伏的电压表测量时，有,当用,1.0,级、量程为,100,伏的电表测量时，有,结论：,(,1),一样准确。,(2),而仪表等级越高，成本越高。,问题,:,为什么使用引用误差不同的仪表会有,一样准确,的结果？,37,ppt课件,例题：某被测电压为100伏左右，现有0.5级、量程为300伏,(1),不应单纯追求测量仪表准确度越高越好，而应根据被测量的大小，兼顾仪表的,级别,和标称范围（或,量程,）上限合理进行选择。,(2),最好选择被测量的值大于均匀刻度测量仪表量程上限的,三分之二,的测量仪表。,仪表选择原则,:,38,ppt课件,(1)不应单纯追求测量仪表准确度越高越好，而应根据被测量的大,（四） 算术平均误差 (average discrepancy),定义式：,可以反映一组试验数据的误差大小,试验值,与算术平均值,之间的偏差,39,ppt课件,（四） 算术平均误差 (average discrepanc,（五）标准误差 (standard error),当试验次数,n,无穷大时，总体标准差：,试验次数为有限次时，样本标准差：,表示试验值的精密度，标准差，试验数据精密度,40,ppt课件,（五）标准误差 (standard error)当试验次数n,按照测量误差的特点、性质和规律，以及对测量结果的影响方式，可将其分为系统误差，随机误差和粗大误差三类。,三、误差的分类,1.,系统误差,定义,:,在同一条件下多次测量同一量值时，其绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，其值按一定规律变化的误差，称为系统误差。,系统误差按其出现的规律又可分为 ：,（,1,）不变系统误差：即误差的大小和符号为固定值。,（,2,）变化系统误差：即误差的大小和符号为规律的变化值。,例如：温度变化引起的误差；,圆度盘安装偏心带来的测角误差。,41,ppt课件,按照测量误差的特点、性质和规律，以及对测量结果的影响方,按对误差掌握程度，系统误差可分为,（,1,）已定系统误差：误差绝对值和符号已经明确的系统误差。,举例：直尺的刻度值误差,（,2,）未定系统误差：误差绝对值和符号未能确定的系统误差，但通常估计出误差范围。,特点：,系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的,它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的平均值而减小,只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进行校正，或设法消除。,42,ppt课件,按对误差掌握程度，系统误差可分为 （1）已定系统误差：误差绝,（,1,）定义：,在同一条件下，多次测量同一量值时，其绝对值和符号以不可预定的方式变化着的误差称为随机误差，又称为偶然误差。,（,2,）产生的原因：,偶然因素,（,3,）特点：具有统计规律,小误差比大误差出现机会多,正、负误差出现的次数近似相等,当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零,可以通过增加试验次数减小随机误差,随机误差不可完全避免的,产生原因,:,实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏等。,2.,随机误差（,Random Error）,43,ppt课件,（1）定义：在同一条件下，多次测量同一量值时，其绝对值和符,3.,粗大误差（,Gross Error）,定义,:,指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。,产生原因,:,某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。,测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等）,测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）。,由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除。,44,ppt课件,3.粗大误差（Gross Error） 定义:指明显,第三节 精 度,它反映测量结果中系统误差的影响。,正确度,（,Correctness）,它反映测量结果中随机误差的影响程度,。,精密度,（,Precision）,精确度,（,Accuracy ）,它反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，简称精度。,精确度（精度）在数值上一般多用相对误差来表示，但不用百分数。如某一测量结果的相对误差为0.001%，则其精度为10,-5,。,45,ppt课件,第三节 精 度它反映测量结果中系统误差的影响。正确度（,精密度（precision）,（,1,）含义：,反映了随机误差大小的程度,在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度,例：甲：,11.45,，,11.46,，,11.45,，,11.44,乙：,11.39,，,11.45,，,11.48,，,11.50,（,2,）说明：,可以通过增加试验次数而达到提高数据精密度的目的,试验数据的精密度是建立在数据用途基础之上的,试验过程足够精密，则只需少量几次试验就能满足要求,46,ppt课件,精密度（precision） （1）含义：46ppt课件,（,3,）精密度判断,极差（,range,）,标准差（,standard error,）,R,，精密度,标准差，精密度,47,ppt课件,（3）精密度判断 极差（range）标准差（standa,方差（variance）,标准差的平方：,样本方差（,s,2,）,总体方差（,2,）,方差，精密度,48,ppt课件,方差（variance） 标准差的平方：48ppt,精确度（accuracy）,（,1,）含义：,反映了系统误差和随机误差的综合,表示了试验结果与真值的一致程度,（,2,）三者关系,无系统误差的试验,精密度 ：,A,B,C,正确度：,A,B,C,精确度：,A,B,C,49,ppt课件,精确度（accuracy） （1）含义：精密度 ：ABC,有系统误差的试验,精密度 ：,A, ,B, ,C,精确度：,A,B,C, ，,A, ,B,，,C,50,ppt课件,有系统误差的试验 精密度 ：A B C 50p,三者之间的关系,:,图,1.1,打靶结果图,51,ppt课件,三者之间的关系: 图1.1 打,第三节 有效数字与数据运算,问题的提出：,测量结果含有误差,近似数。近似数的位数取到哪一位合适？,小数点后位数愈多精度愈高吗？,对于常数，例,=3.1415926,计算时取几位？,45.6mm,，,0.045mm,在数据运算中谁的精度高？,加、减、乘、除中有效数字如何取舍？,52,ppt课件,第三节 有效数字与数据运算问题的提出：52ppt课件,例子：比较,2,个方程组,系数仅差,0.02,，结果相差极大,53,ppt课件,例子：比较2个方程组系数仅差0.02，结果相差极大53pp,含有误差的任何数，如果其绝对误差界,( ),是最末尾数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不管是零或非零的数字，都叫有效数字。,测量结果保留位数的原则,1,：,最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字是可靠的。,测量结果保留位数的原则,2,：,在进行重要的测量时，测量结果和测量误差可比上述原则再多取一位数字作为参考。,一、有效数字,54,ppt课件,含有误差的任何数，如果其绝对误差界(,例,1,4.7,0.0047,0.00470,4.70000,例,2,4700,4.710,3,4.7010,3,4.70010,3,2,位,2,位,3,位,6,位,4,位,2,位,3,位,4,位,55,ppt课件,例1例2 2,在测量结果中，最末一位有效数字该取到哪一位（取多少位有效数字），是由,测量不确定度,决定的。,最末一位有效数字应与测量不确定度是,同一量级,（对于一般的测量）,或多取一位,数字作为参考（对于重要的测量）。,例,1,用千分尺测量，其不确定度（精度）,0.01mm,若测出长度：,L=20.531mm,则测量结果只应保留小数点后第,2,位：,L,20.53mm,56,ppt课件,在测量结果中，最末一位有效数字该取到哪一位（取多少位,二、数字舍入规则,计算和测量过程中，对很多位的近似数进行取舍时，应按照下述原则进行凑整：,若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末位数加,1,。,若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末位数减,1,。,若舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶数，即当末位为偶数时则末位不变，当末位是奇数时则末位加,1,。,57,ppt课件,二、数字舍入规则 计算和测量过程中，对很多位,简单记为,“,四舍六入，五奇进偶舍,” 或称 “,逢五凑偶,”,优点：,不是见,5,就入，使得舍入误差成为随机误差，在大量运算时，有一半机会舍掉，一半机会进上，其舍入误差成为随机误差，避免了舍入误差的累积。,58,ppt课件,简单记为优点：58ppt课件,也可简单记为“,四舍六入，奇进偶舍,” 或 “,逢五凑偶,”,59,ppt课件,也可简单记为“四舍六入，奇进偶舍” 或 “逢五凑偶”59,60,三、数据运算规则,在近似数运算中，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有参与运算的数据，在有效数字后应多保留一位数字作为参考数字（或安全数字）。,（,1,）加减,以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数字，最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。例：,2643.0+987.7+4.187+0.2354=?,2643.0+987.7+4.187+0.2354,2643.0+987.7+4.19 +0.24,=3635.133635.1,60,ppt课件,60三、数据运算规则（1）加减 2643.0+987.7+,61,（,2,）乘除,各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各 数据要比有效位数最少的数据位数多取一位数字。,最后结果应以有效位数最少的数据的数据位数相同。,例：,15.134.12 = ?,15.134.12 = 62.3356 62.34,（,3,）平方或开方,可按乘除处理,（,4,）其他 （略）,说明,：在计算机（器）广泛采用的今天，在计算过程中间结果可以多取有效数据位数，但最后结果要遵循上述有关规则。,61,ppt课件,61（2）乘除（3）平方或开方 说明：在计算机（,