概率统计 Chapter 5 5-1

第五章 大数定律和中心极限定理,第一节,大数定律,第二节,中心极限定理,The Law of Large Numbers and the Central Limit Theorem,第一节 大数定律,对任给,0,，,当,n,充分大时，,很小,.,即无论给定多么小的正数,，,事件,是可能发生的，但是当,n,充分大时，出现这种偏差的可能性很小,.,因此，当,n,充分大时，我们有很大的把握保证,X,n,很接近于,a,.,The Law of Large Numbers,Note:,X,n,依概率收敛于,a,的直观解释：,Note: 证明之前，我们先回忆一下Chebyshev不等式吧：,Note: Chebyshev大数定律应用非常广泛，许多大数定,律均可看作其特殊情况如下的Bernoulli大数,定律，而且方差不存在时结论也成立如辛,钦大数定律：,Note:,(1),Bernoulli,大数定律,1713,年面世，它以严格的数,学形式表达了频率的稳定性,.,即当,n,充分大时,事件发生,的频率与概率有较大偏差的可能性很小，亦即,Note: 1. Lindeberg极限定理说明：无论随机变量序列,Xn服从什么分布，只要满足此定理的条件，Yn,的极限分布就是N(0,1)分布.即n充分大时，有,2,.,Y,n,的分布趋近于正态分布的速度与,X,n,本身分布有关，,X,n,与正态分布的差异越大，速度越慢,.,一般来说，,n,30,时应用此定理的效果较好,.,3,.,将此定理应用到,n,重,Bernoulli,试验，有下述定理,:,Note: 1. 此定理说明：二项分布的极限分布是正态分布.,独立地掷,10,颗骰子，求掷出的点数之和在,30,到,40,点之间的概率,某单位有260部 ，每部 约有4%的时间使用外线通话.设每部 是否使用外线通话是相互独立的，问该单位总机至少要安装多少条外线，才能以95%以上的概率保证每部 需要使用外线通话时可以打通？,设至少需要安装,n,条外线，由题知,故由中心极限定理有,续例2 ,本章小结,一、知识小结,二、典型习题,知识小结,一,.,大数定律,意义：,深刻地揭示了随机事件的概率与频率之间的关系，因此是概率论的重要理论根底. 大数定律从大量测量值的平均值出发，讨论并反映了算术平均值及频率的稳定性.,虽然条件各不相同，但结论是一致的：从理论上肯定了用算术平均值代替均值，以频率代替概率的合理性,.,既验证了概率论中一些假设的合理性，又为数理统计中用样本推断总体提供了理论依据,.,知识小结,二,.,中心极限定理,意义：,正态分布是概率论中重要分布之一，是现实生活和科学技术中使用最多的一种分布，也是数理统计的重要假设. 许多随机变量本身并不属于正态分布，但它们共同作用下形成的随机变量的极限分布是正态分布. 中心极限定理说明了在什么条件下，原本不属于正态分布的一些随机变量的总和渐进服从正态分布.,三,.,大数定律与中心极限定理的异同,同：,都是通过极限理论来研究概率问题，研究对象都是随机,变量序列,.,异：,大数定,律,是研究随机变量序列,X,n,依概率收敛的极限问题,;,中心极限定理是研究随机变量序列,X,n,依分布收敛的极限定理,.,一,.,要求会做的习题,习题册,+,课后习题,课后习题：,P132: ex.2, 3-7,Note,：,应用中心极限定理的关键是，由所给条件构造一个独立同分布的随机变量序列，使其具有有限的期望和方差，然后将其前,n,项的和标准化，即可应用中心极限定理,.,典型习题,二,.,典型习题讲解,例1：(P132 Ex.6 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1 (元)，1.2 (元),1.5 (元)各个值的概率分别为0.3，0.2，0.5. 假设售出300只蛋糕，求:(1) 收入至少为400元的概率；,(2) 出售价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率.,典型习题,续例1 ,典型习题,