到曲面S的面积计算公式课件

返回,后页,前页,一、曲面的面积,设,D,为可求面积的平面有界区域,在,D,上,具有连续的一阶偏导数，现讨论由方程,所表示的曲面,S,的面积,.,(1),对区域,D,作分割,T,，把,D,分成,n,个小区域,.,这个分割相应地将曲面,S,也分成,n,个,小曲面片,(2),在每个,上任取一点,作曲面在这一点的切,一、曲面的面积 设 D 为可求面积的平面有界区域, 在,近,用切平面,代替,小,曲面片,从,而当,充分小时,有,并在,上取出一小块,使得,与,在,平面,这里,分别,平面上的投影都是,(,见图,21-38,).,在点 附,近用切平面代替小 曲面片从而当 充分小时, 有,(3),当,时,定义和式,的极限,(,若存在,),现在按照上述曲面面积的概念,来建立曲面面积的,计算公式,.,为此首先计算,的面积,.,由于切平面,的法向量就,是曲,面,S,在点,处的法向量,n,记它与,z,作为,的面积,.,的面积,.,表示,轴,的夹角为,则,(3) 当 时, 定义和式的极限 (若存在) 现在按照上,注意到和数,是连续函数,在有界闭域,D,注意到和数 是连续函数,上的积分和,于是当,时,上式左边趋于,而右边,趋于,这就得,或另一形式,:,到曲面,S,的面积计算公式,:,上的积分和, 于是当 时, 上式左边趋于 而右边趋于,解,据曲面面积公式,其中,D,是,曲面方程,例,1,求圆锥,在圆柱体,内,那一部分的面积,.,故,是,解 据曲面面积公式,其中 D 是 曲面方程 例1,表示，其中,在,D,上具有连续的,一阶偏导数,且,若空间曲面,S,由参数方程,参数曲面的面积公式,表示，其中 在 D 上具有连续的 一阶偏导数,且,则曲面,S,在点,的法,线方向为,记,与,轴夹角的余弦则为,则曲面 S 在点 的法线方向为 记 与,其中,当,时,对公式,(2),作变换,:,其中 当时, 对公式 (2) 作变换:,则有,由,(,4,),便得参数曲面,(,3,),的面积公式：,则有 由(4),便得参数曲面(3)的面积公式：,例,2,求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积,（图,21-39,中阴影部分,).,解,设球面的参数方程为,:,其中,R,是,球面半径,.,这里是求当,时球面上的面积,.,由于,例2 求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积 （图21-3,所以,由公式,(,5,),即得所求曲面的面积,:,注,在讨论曲线的弧长时,我们曾用弧内接折线长度,所以 由公式(5)即得所求曲面的面积: 注 在讨论曲线的,地用曲面的内接多边形面积的极限来定义曲面面积,呢,?,施瓦茨曾举出一个反例说明这样的定义方法是,不可行的，对此读者可参见有关的数学分析教程,（如菲赫金哥尔茨,微积分学教程,中译本第三卷,第二分册,).,的面积公式，下面用二重积分给予严格证明,.,*,例,3,设平面光滑曲线的方程为,的极限来定义,(,当各段的长趋于零时,),但能否类似,在上册的定积分应用中，曾用微元法给出过旋转面,地用曲面的内接多边形面积的极限来定义曲面面积 呢? 施瓦茨曾,求证此曲线绕,轴旋转一周得到的旋转面的面积为,证,由于上半旋转面的方程为,因此,求证此曲线绕 轴旋转一周得到的旋转面的面积为 证 由于上,不妨设,则,不妨设 则,二、重 心,设密度函数为,的空间物体,V,，,在,V,上连续,.,为求得,V,的重心坐标,先对,V,作分割,T,是小块,的质量可用,近似代替,若,把每一块看作质量集中在,的质点时,整个,物体就可用这,n,个质点的质点系来近似代替,.,由于,质点系的重心坐标公式为,在属于,T,的每一小块,上任取一点,于,二、重 心 设密度函数为的空间物体 V，在 V 上连,到曲面S的面积计算公式课件,的重心坐标,:,当物体,V,的密度均匀分布时,即,为常数时，则有,当,自然地可把它们的极限定义作为,V,的重心坐标: 当物体 V 的密度均匀分布时,同样可以得到,密度函数为,的平面薄板,D,的,重心坐标,:,当,为常数时，则有,同样可以得到, 密度函数为的平面薄板 D 的 重心坐标:,例,4,求密度均匀的上半椭球体的重心,.,解,设椭球体由,表示,.,借助对,又由,为常数,所以,称性知道,例4 求密度均匀的上半椭球体的重心. 解,由,5,例,5,已知,故得,即求得上半椭球体的重心坐标为,由5 例5 已知 故得 即求得上半椭球体的重心坐标,三、转 动 惯 量,A,的质量,r,是,A,与,l,的距离,.,现在讨论空间物体,V,的转动惯量问题,我们仍然采,用前面的办法,把,V,看作由,n,个质点组成的质点系，,然后用取极限的方法求得,V,的转动惯量,.,设,为,V,的密度函数,它在,V,上连,续,.,照例,对,V,作分割,T,在属于,T,的每一小块,上任取一点,质点,A,对于轴,l,的转动惯量为,其中,m,是,三、转 动 惯 量 A 的质量, r 是 A 与 l 的,质点系,对于,x,轴的转动惯量是,令,上述和式的极限就是,V,对于,x,轴的转,以,近似替代,的质量,.,当以质点系,近似替代,V,时,动惯量,:,质点系对于x 轴的转动惯量是 令 上述和,类似可得,V,对于,y,轴与,z,轴的转动惯量分别为,同理,物体,V,对于坐标平面的转动惯量分别为,类似可得 V 对于 y 轴与 z 轴的转动惯量分别为 同,同样地,平面薄板,D,对于坐标轴的转动惯量为,其中,为,D,中点,到,l,的距离,.,平面薄板,D,对于轴,l,的转动惯量为,同样地,平面薄板 D 对于坐标轴的转动惯量为 其中为 D,例,5,求密度均匀的圆环,D,对于垂直于圆环面中心,轴的转动惯量,(,图,21-40 ),.,解,设圆环,D,为,密度为,则,D,中任一点,与,z,轴的距离平方,于是转动惯量为,为,例5 求密度均匀的圆环 D 对于垂直于圆环面中心 轴的转动惯,例,6,求均匀圆盘,D,对其直径的转动惯量,(,图,21-41,).,解,设圆盘,D,为,密度为,求对于,y,轴的转,动惯量,.,由于,D,内任一点,与,y,轴的距离为,故,其中,为圆环的质量,.,例6 求均匀圆盘 D 对其直径的转动惯量(图21-41).解,其中,m,为圆盘的质量,.,例,7,设某球体的密度与各点到球心的距离成正比，,试求它对于切平面的转动惯量,.,解,设球体由不等式,表示,;,密度函数,为,k,为比例常数,;,取切平面方程为,则球体对于此平面,的转动惯量为,其中 m 为圆盘的质量. 例7 设,经详细计算,可得,经详细计算,可得,四、引 力,求密度为,的立体,V,对立体外单位质点,A,的引力,.,设,A,的坐标为,V,中点的坐标用,表,示,现用微元法来求,V,对,A,的引力,.,V,中质量微元对,A,的引力在坐标轴上的投影为,四、引 力 求密度为 的立体 V 对立体外单位质点,于是,力,F,在三个坐标轴上的投影,分别为,其中,k,为引力系数，,于是, 力 F 在三个坐标轴上的投影分别为,例,8,设球体,V,具有均匀的密度,试求,V,对球外一,点,A,的引力,(,引力系数为,k,),.,显然有,解,设球体为,球外一点,A,的坐标为,所以,例8 设球体 V 具有均匀的密度试求V 对球外一 点 A,其中,其中,