二面角求法课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,二面角的求法,从一条直线出发的两个半,一,、,二面角的定义,平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做,二面角的棱,。,这两个半平面叫做,二面角的面,。,二面角,二面角的平面角必须满足,：,3,）,角的边都要垂直于二面角的棱,1,）,角的顶点在棱上,2,）,角的两边分别在两个面内,注意：,二面角的范围,：,l,O,A,B,二,、,二面角平面角的定义,在二面角,-l-,的棱,l,上任取一点,O,，以点,O,为垂足，在半平面,和,内分别作垂直于棱,l,的射线,OA,、,OB,则,AOB,叫做二面角 的平面角。,二面角,1、传统法,p,A,B,p,A,B,O,A,B,p,定义法,三垂线定理法,垂面法,三,、,二面角的求法,传统法求二面角,步骤：,二面角的平面角的作法：,二面角,作图,证,明,计算,l,将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。,如图，设二面角 的大小为 ，其中,D,C,B,A,方向向量法：,2、向量法求二面角,二面角,l,l,法向量法,二面角,注意：,求出了两法向量的夹角后，应结合图形与题意判断求出的是二面角的大小还是它的补角的大小，从而确定二面角的大小。,法向量法求二面角的,步骤：,1.,建立适当空间直角坐标系，写出相关点的坐标,2.,求出二面角两个半平面的法向量,3.,求出两个法向量的夹角,4.,判断二面角的平面角与两个法向量夹角的关,系，是相等还是互补,例,1.,如图，,已知正四面体,A-BCD,（各条棱都相等）,求二面角,C-AB-D,的余弦值大小,A,B,C,解：,M,O,A,B,P,C,过,O,点作,OE,AB,于,E,点,，,连,PE,O,为,AC,中点,，,ABC=90,在,Rt,POE,中，,OE,，,PO,所求的二面角,P-AB-C,的正切值为,例,2,如图，三棱锥,P-ABC,的顶点,P,在底面,ABC,上的射影是底面,Rt,ABC,斜边,AC,的中点,O,，若,PB=AB=1,，,BC=,，求二面角,P-AB-C,的正切值,。,由三垂线定理可知,AB,PE,PEO,就是二面角,P-AB-C,的平面角,在,Rt,PBE,中,，,BE,，,PB=,1,，,PE,E,解：,E,O,P,二面角,OEBC,且,OE BC=,C,1,B,A,C,A,1,B,1,例,3,已知正三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,的各条棱长均为,a,，,D,为,CC,1,中点，求：平面,A,1,BD,与平面,ABC,所成二面角的大小。,分析：,面,A,BD,与面,ABC,在图中只有一个公共点，由公理保证，它们必有一条经过点的公共直线，即二面角的棱。,思路：,延长,A,1,D,，,AC,，交于,E,点，连结,BE,，则,BE,是面,A,1,BD,与面,ABC,所成二面角的棱。,易证,BE,面,A,1,B,，可知,A,1,BA,是所求二面角的平面角， 从而得出二面角的大小是,45,。,E,F,过,C,点作,CF,于点连接则,CFD,就是二面角的,平面角。,CF=CD,则,CFD= 45,解法,1,（传统法）,C,1,B,A,C,A,1,B,1,解法,2,（向量法）,设平面,C,1,B,A,C,A,1,B,1,O,注意,:,法向量法的关键就是建立适当的空间直角坐标系，,以便较容易得到关键点的坐标，从而实现计算的优化。,例,4,（,2010,陕西卷）如图，在四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,是矩形，侧棱,PA,底面,ABCD,，,BC= E,、,F,分别是,AD,和,PC,的中点，求平面,BEF,与平面,BAP,所成锐二面角的大小。,D,B,C,A,P,设平面,解：,F,E,练 习,二面角,正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,1,，,P,是,AD,的中点,求二面角,A,BD,1,P,的大小,.,D,A,C,B,D,1,A,1,C,1,B,1,P,解法,1,（传统法）,D,A,C,B,D,1,A,1,C,1,B,1,F,E,P,过,P,点作,PE AD,1,于,E,点，过,E,点作,EFBD,1,于,F,点，连结,EF,。,AB,面,AA,1,D,1,D,AB,PE,PE,ABD1,由三垂线定理可知,BD,1,PF, PFE,就是二面角,A-BD,1,-P,的平面角,积变换,D,A,C,B,D,1,A,1,C,1,B,1,P,解法,2,（法向量法）,设平面,设平面,小,结,二面角,二面角,二面角,1.,求二面角有两种方法：传统法、向量法。两种方法千秋,2.,传统法求二面角的一般步骤是：一作（找），二证，三计算。作（找）出所求的角是计算的基础。二面角的平面角多采用定义法或线面垂直法等方法来寻找,.,最后，一般通过解三角形求出角的大小。,3.,向量法的关键就是建立适当的空间直角坐标系，以便较容,易得到关键点的坐标，从而实现计算的优化。,二面角,课后作业,1.,如图所示，,第,1,题,2.,如图，在三棱锥,A,BCD,中，侧面,ABD,、,ACD,是全等的直角三角形，,AD,是公共的斜边，且,AD,，,BD,CD,1,，另一个侧面是正三角形，求二面角,B,AC,D,余弦值的大小,.,A,C,M,B,D,N,