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,*,第一章 函数的极限与连续,第三节 函数的连续性,第一章 函数的极限与连续,第一节 函数及其性质,第二节 极限,第三节 函数的连续性,分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,1,第一章 函数的极限与连续 第一节 函数及其性质第二节,在讨论函数极限时, 我们说函数在一点的,函数值,与,极限值,是两个不同的问题,.,它们的关系有,函数值不存在，极限存在；,函数值,极限值都存在,但不相等；,函数值等于极限值.,2,在讨论函数极限时, 我们说函数在一点的 函数值与极,增量：,终值与初值的差,自变量在,x,0,处的增量：,函数,y,在点,x,0,处相应的增量：,一、 函数的连续性,（一）函数,y=f,(,x,),在点 处的连续性,1.增量,3,增量：终值与初值的差 自变量在x0处的增量：函数y在点x0处,x,虽然称为增量，但是其值可正可负.,例如,，,当,x,x,0,时,，,x =,x,-,x,0,x,0,时,，,x =,x,-,x,0, 0,一般地,：,x,0,4,x虽然称为增量，但是其值可正可负.例如，当 x x0,定义1.3. 1,设函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,的某邻域内有定义，如果当自变量,x,在,x,0,处的增量,x,趋于零时，相应的函数增量,y=f,(,x,0,+,x,),-,f,(,x,0,),也趋于零，即,则称函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,连续,，也称点,x,0,为函数,y,=,f,(,x,)的,连续点,5,定义1.3. 1 设函数y=f (x),说明,：,2.,函数在一点连续实质就是:当自变量变化不大时, 函数值变化也不大.,1.,函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,连续的几何意义表示函数图形在,x,0,不断开.,0,6,说明：2. 函数在一点连续实质就是:当自变量变化不大时, 函,定义1.3.2,设函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,的某邻域内有定义，如果,x,x,0,时，,相应的函数值,f,(,x,),f,(,x,0,),，即,例如：,则称函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,连续,，也称点,x,0,为函数,y,=,f,(,x,)的,连续点,故 在,x,0,连续，,在点1处连续.,7,定义1.3.2 设函数y=f (x)在,3.,函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,连续必须,同时满足,以下,三个条件：,(1),函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,的某个邻域内有定义，,函数在,一点的,的连续性同极限一样，都是函数的局部性质。,(2),极限,(3),函数在,x,0,处极限值等于函数值，即,存在；,即,y,=,f,(,x,0,) 存在;,8,3. 函数y=f (x)在点x0连续必须同时满足以下三个条,例1,讨论函数,f,(,x,)=,x,+1在,x,=2处的连续性,f,(,x,),在,x,=2,及其近旁有定义且,f,(2)=3;,f,(,x,),在,x,=,x,0,及其近旁点是否有定义？若有定义，,f,(,x,0,)=？,？,所以，,函数,f,(,x,) =,x,+1在,x,=2处连续.,解,9,例1 讨论函数 f (x)=x+1在x=2处的连续性f,例2,讨论函数,f,(,x,),在,x,= 0,及其近旁有定义且,f,(0)=0;,不存在,因此函数,f,(,x,),在,x,= 0 处不连续.,解,在,x,= 0处的连续性,10,例2 讨论函数f (x)在x = 0及其近旁有定义且 f(,例3,讨论函数,f,(,x,),在,x,=1,及其近旁有定义且,f,(1)=0,不存在.,因此函数,f,(,x,),在,x,= 1 处不连续.,解,在,x,= 1 处的连续性,11,例3 讨论函数f (x)在x=1及其近旁有定义且f (1,定义1.3. 3,设函数,y,=,f,(,x,),在(,x,0,-,x,0,有定义，,称,y,=,f,(,x,) 在,x,0,处,左连续,.,2. 函数,y,=,f,(,x,),在,x,0,处的左、右连续,设,函数,y,=,f,(,x,),在,x,0,x,0,+,),有定义，,且,称,y,=,f,(,x,) 在,x,0,处,右连续,.,且,12,定义1.3. 3 设函数y=f (x)在(x0,定理1.3. 1,函数 在点 处连续的充要条件是函数 在点 处既,左连续,又,右连续,.,由于,得:,13,定理1.3. 1 函数,例4,讨论函数,f,(,x,),在,x,=,/2,及其近旁有定义且,f,(,/2,) =1.,因此函数,f,(,x,),在,x,=,/2,处,左连续.,因此函数,f,(,x,),在,x,=,/2,处,右连续.,因此函数,f,(,x,),在,x,=,/2,处,连续.,解,在,x,=,/2,处的连续性,14,例4 讨论函数 f (x) 在x = /2 及其近旁有,定义1.3. 4,如果函数,y=f,(,x,)在开区间(,a,b,)内的每,（二）函数,y,=,f,(,x,) 在区间,a,b,上的连续性,那么称函数,y=f,(,x,)在,闭区间,a,b,上连续,或者说,(4),在右端点,b,处左连续,即,如果,y=f,(,x,) 满足,(1),在闭区间,a,b,上有定义;,(3),在左端点,a,处右连续,即,(2),在开区间(,a,b,)内连续;,一点都连续,称函数,y=f,(,x,)在,开区间(,a,b,)内连续,.,y=f,(,x,)是,闭区间,a,b,上连续函数.,15,定义1.3. 4 如果函数y=f(x)在开区间(a,b),若,函数,y,=,f,(,x,),在它定义域内的每一点都连续,则称,y,=,f,(,x,) 为,连续函数.,基本初等函数在其定义域内都连续,连续函数的图象是一条连续不间断的曲线,16,若函数y=f(x)在它定义域内的每一点都连续,则,二、 初等函数的连续性,定理1.3. 2,（连续函数的四则运算）,注意：,和、差、积的情况可以推广到有限多个函数的情形,f,(,x,),g,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),f,(,x,)/,g,(,x,),在点,x,0,处也连续,若函数,f,(,x,),g,(,x,),在点,x,0,处连续，则函数,17,二、 初等函数的连续性 定理1.3.,定理1.3. 3,（,复合函数的连续性）,设有复合函数,y,=,f,(,x,), ，若,(,x,),在点,x,0,连续，且,(,x,0,)=,u,0,而函数,f,(,u,)在,u,=,u,0,连续，则复合函数,y,=,f,(,x,),在,x,=,x,0,也连续,例如，,内连续 ,内连续 ,内连续 .,18,定理1.3. 3 （复合函数的连续性） 例如,推论,若 lim,(,x,) =,u,0,，函数,y,=,f,(,u,) 在,(1),可作变量代换,u,=,(,x,) 求复合函数的极限, 即,令,u,=,(,x,),点,u,0,处连续，则有:,(2),极限运算与函数运算可以交换次序，即,这表明,:,复合函数 满足推论条件时:,19,推论 若 lim (x) =,解,例如,，求,设,时,处连续.,由于,或:,20,解例如，求设 时,处连续.由于或:20,定理1.3. 4,初等函数在其,定义区间,内是连续的,注: 定义区间是指包含在定义域内的区间!,21,定理1.3. 4 初等函数在其定义区间内是连续的注:,例5,计算,因为arcsin(ln,x,) 是初等函数，且,x,=,e,是它的定义区间内的一点，由定理1.3.3，有:,解,22,例5 计算 因为arcsin(lnx) 是初等函数,例6,计算,解,23,例6 计算解23,三、函数的间断点,定义1.3.5,如果函数,y,=,f,(,x,)在点,x,0,的某去心邻域内有定义，在点,x,0,处不连续，则称,y,=,f,(,x,)在点,x,0,处,间断, 并称点,x,0,为函数,y,=,f,(,x,)的,不连续点或间断点,（一）间断点的概念,24,三、函数的间断点 定义1.3.5 如果,进一步说明,设函数,f,(,x,)在,点,x,0,的某去心邻域内有定义,，则下列情形之一函数,f,(,x,)在点,x,0,不连续.,(1),在,x,0,处没有定义；,(3),虽在,x,0,处有定义，且 存在，但,(2),虽在,x,0,有定义，但 不存在;,这样的点,x,0,称为函数,f,(,x,)的,间断点,.,25,进一步说明 设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有,无穷间断点：,在第二类间断点中，左、右极限,第一类间断点：,可去间断点：,跳跃间断点：,函数,f,(,x,)在间断点,x,0,处的左、右,函数,f,(,x,)在间断点,x,0,处的,第二类间断点：,（二）间断点的分类,左、右极限都存在.,极限至少有一个不存在.,至少有一个为无穷大的点.,26,无穷间断点：在第二类间断点中，左、右极限 第一类间断,例7,函数,函数在,x,=1处是否有定义？,有定义，且,f,(1) =,-,1 .,是否存在？,存在，且,是否成立？,显然,所以,x,=1是,f,(,x,)的第一类间断点,且是可去间断点,考察,x,=1处.,27,例7 函数函数在x=1处是否有定义？有定义，且 f(1),说 明：,所谓可去间断点是指：可以通过,改变或补充,f,(,x,0,) 的定义,使得 从而使函数,f,(,x,),在,x,0,处连续.,例如：上例中改变定义, 令,f,(1) =2, 则,则,f,(,x,)在,x,=1处就连续了.,28,说 明： 所谓可去间断点是指：可以通过改变或补,例7,函数,函数在,x,=0 处是否有定义？,有定义，且,f,(0)=1 .,是否存在？,所以 不存在,考察,x,= 0,处.,所以,x,= 0 是,f,(,x,) 的,第一类间断点, 且是 跳跃间断点,29,例7 函数函数在x =0 处是否有定义？有定义，且 f(0,例9,函数 考察,x,= 0处.,函数在,x,=0处是否有定义？,无定义,是否存在？,所以,x,= 0 是,f,(,x,) 的,第二类间断点, 且是 无穷间断点,30,例9 函数 考察 x,例10,函数,称,x,= 0是,f,(,x,)的,震荡间断点,所以,x,= 0是为,f,(,x,) 的第二类间断点,都不存在.,解,考察,x,= 0处.,时,f,(,x,)的值在,-,1,到1之间反复震荡,这时亦,31,例10 函数称x = 0是f(x)的震荡间断点所以 x,例11,讨论函数,f,(,x,)是初等函数，它在其定义区间内连续，,显然,f,(,x,) 在点,x,=,-,1,x,= 0 处没有定义, 故,f,(,x,)在区间(,-,-,1,) , (,-,1,0), (0,+,) 内连续, 在点,x,=,-,1，,x,= 0 处间断,解,因此我们只要找出,f,(,x,)没有定义的那些点,如果有间断点，指出间断点类型,的连续性，,32,例11 讨论函数f (x)是初等函数，它在其定义区间内连续,在点,x,=,-,1,处：,x,=,-,1是为,f,(,x,)的第一类可去间断点,在点,x,= 0,处：,x,= 0 是为,f,(,x,) 的第二类间断点,33,在点x =-1处：x = -1是为f (x)的第一类可去间断,例12,讨论函数,因为,x,=1是连续区间0,2内的一点，且1,-,x,在点,x,= 0处，因为,所以,是初等函数，,解,间断点，且是第一类间断点,在,x,= 0,与,x,=,处的连续性,不存在，,因此,x,=1是,f,(,x,)的连续点；,因此,x,= 0 是,f,(,x,)的,34,例12 讨论函数 因为x=1是连续区间0,2内的一,讨论函数,f,(,x,),的连续性时，,(1),若,f,(,x,),是初等函数，则由“,初等函数在其定义区间内连续,”的基本结论，只要找出,f,(,x,),没有定义的点以及定义域内的孤立点,，这些点就是,f,(,x,),的间断点,连续性及间断点内容小结:,(2),若,f,(,x,),是分段函数，则在分界点处往往要从左、右极限入手讨论极限、函数值等，根据函数的点连续性定义去判断；在非分界点处，根据该点所在子区间上函数的表达式，按初等函数进行讨论,35,讨论函数f (x)的连续性时，(1)若f (x,第一类：,可去：,跳跃：,第二类,：,常见的有无穷间断、,震荡间断，,间断点分类:,存在；,36,第一类：可去：跳跃：第二类：常见的有无穷间断、间断点分类:存,看图判断间断点的类型：,37,看图判断间断点的类型：37,四、闭区间上连续函数的性质,定理1.3.5,(有界性与最大值与最小值定理),若函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上连续，则函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上有界且一定能取得它的最大值和最小值,即在,a,b,上至少存在点,1,和,2,，使得对于,a,b,上的一切,x,值，有,f,(,1,),f,(,x,),f,(,2,)，这样的函数值,f,(,2,) 和,f,(,1,)分别叫做函数,f,(,x,) 在区间,a,b,上的最大值和最小值.,（一）有界性与最大值最小值定理,38,四、闭区间上连续函数的性质 定理1.3.5(有,如图:,39,如图:39,y,=tan,x,在区间,(,-,/2, /2,);,注意条件,:,(1),闭区间,；,(2),连续函数,.,如果两个条件不全满足,结论未必成立.,考察以下两例:,40,y=tanx在区间 (-/2, /2);注意条件:,定理1.3.6,(介值定理),若函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,连续, 且,f,(,a,),f,(,b,) ,则对介于,f,(,a,)与,f,(,b,)之间的任意实数,c,，在(,a,b,)内至少存在一点,，使,f,(,) =,c,（,a,b,）成立,（二）介值定理与根的存在定理,41,定理1.3.6 (介值定理) 若函数,f,(,x,),从,f,(,a,),连续地变到,f,(,b,),时，它不可能不经过,c,值,如图:,42,f(x)从f(a)连续地变到f(b)时，它不可能不经过c值如,定理1.3.7,(根的存在定理),如果函数,f,(,x,)在闭区间 ,a,b,上连续，且,f,(,a,),f,(,b,) 0 ，则方程,f,(,x,)=0 在(,a,b,)内至少存在一个实根,，即在区间(,a,b,)内至少有一点,，使,f,(,) =0 ,说明,：连续曲线,y,=,f,(,x,)的端点在,x,轴的两侧时，曲线与,x,轴至少相交一次。,43,定理1.3.7 (根的存在定理) 如,如图:,44,如图:44,例13,证明方程,x,4,-,4,x,+2 = 0 在区间(1,2)内至少有一个实根,设 则,由根的存在定理可知，至少存在一点,(1,2),，使得,f,(,) =0,这表明所给方程在(1,2)内至少有一个实根,f,(,x,),在闭区间1,2上连续;,f,(1) =,-,1 0.,解,45,例13 证明方程 x4 -4x +2 = 0 在区间(1,.函数在某点处的连续性是用极限来定义的,.函数在某点处连续与函数在某点处的极限是有区别的,极限存在是连续的必要条件.,.闭区间上连续函数的性质(有界、最值、介值).,连续性是函数的重要属性之一所谓连续,从几何直观上来看,函数的图形是一条连续不断的曲线从数学定义上看,函数的连续与函数的极限是紧密相关的,四、本节内容小结,46,.函数在某点处的连续性是用极限来定义的 .函数在某点处,课后作业,47,课后作业47,
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