数值分析中的(插值法)课件

,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,理 学 院,Anhui University of Science and Technology,DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS,2.,103,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,8,三次样条插值,2,Lagrange,插值,1,引言,7,分段低次插值,6,Hermite,插值,5,差分与等距节点插值公式,4,均差与,Newton,插值公式,3,逐次线性插值法,(,自学,),9,评述,第二章 插 值 法,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编8 三次样,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,上的函数值，即已知函数表,例：,设在实际问题中，某些变量之间的函数关系是存在的，但通常不能用式子表示，只能由实验、观测得到,在一系列离散点,第一节 引 言,一、一个实例,那么如何计算 ？,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编上的函数值，,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,设,y= f,(,x,),是区间,a , b,上的一个实函数,x,i,(,i,=0, 1, . ,n,),是,a,b,上,n,+1,个互异实数,称为,节点,。已知,y=f,(,x,),在点,x,i,的值,y,i,=,f,(,x,i,) (,i,=0,1,.,n,),求一简单函数,P,(,x,),，,满足,P,(,x,i,)=,y,i,(,i=,0,1, ., n,),( 2.1,1 ),二、插值问题的一般性提法,即简单函数,P,(,x,),的曲线要经过,上已知的,n,+,1,个点,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,同时在其它点 上估计误差为,Y,X,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编同时在其它点,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,若,p,(,x,),是次数不超过,n,的代数多项式,即,（,2.1,2,）,则称,p,(,x,),为插值多项式，相应的插值法称为,多项式插值,。若,p,(,x,),为分段多项式，就是分段插值。若,p,(,x,),为三角多项式，就是三角插值,还有有理插值等。本章主要讨论多项式插值与分段插值。,注：插值法还有其他许多用途，如函数的近似表示；曲线曲面拟合；导出其它数值方法的依据（导出数值积分、数值微分、微分方程数值解）等。,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,若满足条件的 存在，又如何构造？,三、多项式插值问题中需要研究的问题,满足插值条件的多项式 是否存在？唯一？,用 近似代替 的误差估计？,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编若满足条件的,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,定理,1,设节点,x,i,(,i,=0,1, ,n,),互异,则,满足插值条件,P,n,(,x,i,)=,y,i,的次数不超过,n,的多项式存在且唯一。,下面先研究第一个问题,定理,1,不仅解决了问题,1,，其证明过程也给出了问题,2,求插值多项式的一种方法。但一般不用这种方法，因为范得蒙矩阵一般是病态的。即使求解过程是精确的，多项式求值的误差也是,可观的。,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 定理,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,拉格朗日插值多项式的优缺点,截断误差,拉格朗日插值多项式,数值实例,第二节 拉格朗日插值,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 拉格朗日插,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,一、拉格朗日插值多项式,其中,1.,两个互异节点,(,x,0,y,0,),(,x,1,y,1,),且满足：,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 一、拉格朗,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,2.,三个节点,(,x,0,y,0,),(,x,1,y,1,),，,(,x,3,y,3,),其中：,令,满足：,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编2.三个节点,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,3.,有,n,+1,个互异节点,(,x,0,y,0,),(,x,1,y,1,),(,x,n,y,n,),显然：,设：,我们称,n,次多项式,L,n,(,x,),为,拉格朗日插值多项式,，,L,i,(,x,),为,插值基函数。,显然满足,(2.2,1),取,插值条件,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 3.,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,注：,（,1,）,插值基函数,l,i,(,x,) (,i,=0,1, ,n,),仅由插值节点,x,i,(,i,=0,1, ,n,),确定,与被插函数,f,(,x,),无关,.,（,3,）对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无关。,（,2,）以,x,i,(,i,=0,1,n,),为插值节点,函数,f,(,x,),1,作插值多项式,则由插值多项式的唯一性立即得到基函数的一个性质,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 注：（1）,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,关于截断误差,R,n,(,x,)=,f,(,x,) -,L,n,(,x,),有下面定理,。,定理,2,设,f,(,x,),在区间,a ,b,上存在,n+,1,阶导数,x,i,a,b, (,i,=0,1, ,n,),为,n,+1,个互异节点,则对任何,x,a ,b,有,且与,x,有关,),二、截断误差（插值余项）,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,证 由插值条件和,n,+1,(,x,),的定义,当,x=x,k,时,式子显然成立。且,x,0,x,1,x,n,都是函数,n,+1,(,x,),的零点,也是,R,n,(,x,),的零点，从而,R,n,(,x,),可表示为,其中,K,(,x,),是待定函数,。,对于任意固定的,x,a,b,x,x,k,构造自变量,t,的辅助函数,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,由式,n,+1,(,x,k,)=0,和式,L,n,(,x,k,)=,y,k,(,k=,0,1,n,),以及,可知：,x,0,x,1,x,n,和,x,是,(,t,),在区间,a,b,上的,n+,2,个互异零点,因此根据罗尔,(Rolle),定理,至少存在一点,=,(,x,),(,a,b,),使,即,所以,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 由,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,注,：,1.,余项表达式只有在高阶导数存在时才能使用。,2.,在（,a,，,b,）内的具体位置通常不能给出。,3.,一般说来，外插比内插效果差。,4.,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编注： 4.,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,例,已知,sin,0.32=0.314567,sin,0.34=0.333487,sin,0.36=0.352274,用,Lagrange,插值计算,sin,0.3367,的值，并估计截断误差。,解：,f,(,x,)=,sinx,取,三、数值实例,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 例 已知,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,于是有,可以发现，结果与有六位有效数字的,sin x,表完全一致。,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 于是,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,截断误差为,其中,故有,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 截断,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,记,插值点,sin0.3367,实际误差,备注,(,x,0,y,0,), (,x,1,y,1,), (,x,2,y,2,),0.330374,0.000000,内插比外插效果好,Matlab,eg2_1,(,x,0,y,0,), (,x,1,y,1,),0.330365,0.000009,(,x,1,y,1,), (,x,2,y,2,),0.330387,0.000013,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编记插值点si,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,四、,Lagrange,插值公式优缺点,优点：结构清晰、紧凑，适用于作理论分 析；,缺点：当节点个数有所变动，整个插值公式发生变化，在实际应用时不方便。,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编四、Lagr,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,第四节均差与牛顿插值公式,差商及其基本性质,牛顿插值多项式,牛顿插值多项式与,拉格朗日插值多项式的比较,数值实例,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编第四节均差,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,一、差商及其基本性质,英,1642-1727,定义,1,称,为,f,(,x,),在,x,0,、,x,1,点的一阶差商,.,一阶差商的差商,称为函数,f,(,x,),在,x,0,、,x,1,、,x,2,点的二阶差商。,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编一、差商及其,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,一般地，,n,-1,阶差商的差商,称为,f,(,x,),在,x,0,x,1, ,x,n,点的,n,阶差商。,差商的计算步骤与结果可列成差商表如下,:,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编一般地，n-,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,x,k,f,(,x,i,),一阶差商,二阶差商,三阶差商,.,x,0,x,1,x,2,x,3,.,f,(,x,0,),f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,3,),.,f, x,0, x,1,f,x,1, x,2,f,x,2, x,3,.,f,x,0, x,1, x,2,f,x,1, x,2, x,3,.,f,x,0, x,1, x,2, x,3,.,.,表,4,1,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编xkf(xi,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,这一性质表明差商与节点的排列次序无关，即,f,x,0, x,1, x,2,., x,n,=,f,x,1, x,0, x,2, ., x,n,=,=,f,x,1, x,2, ., x,n,x,0,称之为差商的对称性。,性质,1,差商可以表示为函数值的线性组合，即,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编这一性质表明,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,性质,2,若,f,(,x,),在,a,b,上存在,n,阶导数,且节点,x,0,x,1,x,n,a,b, ,则至少存在一点,a,b,满足下式,例,1,f,(,x,)=,-,6,x,8,+7x,5,-,10,求,f,1,2, ,9,及,f,1,2, ,10.,解,f,(8),(,x,)=,-,68 !,f,1,2, ,9=,-,6,，,f,(9),(,x,)=0,f,1,2, ,10=0.,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编性质2,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,二、牛顿插值多项式,设,x,是,a,，,b,上一点，由各阶差商定义得,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编二、牛顿插值,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,依次把后式代入前式，最后得,其中：最后一项中,差商部分含有,x,为余项部分,记作,R,n,(,x,),；而前,n,+1,项中,差商部分都不含有,x,因而前,n,+1,项是关于,x,的,n,次多项式,记作,N,n,(,x,),。,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编依次把后式代,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,可见,N,n,(,x,),为次数不超过,n,的多项式,且易知,R,n,(,x,i,)= 0,即,N,n,(,x,i,)=,y,i, (,i,=0,1, ,n,),满足插值条件,称,N,n,(,x,),为,牛顿均差插值多项式,。,由插值多项式的唯一性知,:,L,n,(,x,),N,n,(,x,),即：,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,余项公式,1.,牛顿插值多项式的递推形式,注,：,2.,牛顿插值多项式可记为,其中,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编余项公式1.,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,三、拉,格朗日插值与牛顿插值的比较,（,1,）与 均是,n,次多项式,且均满足插值条件,:,由插值多项式的唯一性, ,因而两个公式的余项是相等的,即,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编三、拉格朗日,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,则可知,n,阶差商与导数的关系如下（性质,2,）：,（,2,）当插值多项式从,n,-1,次增加到,n,次时,拉格朗日型插值必须重新计算所有的所有的插值基,函数,;,而对于牛顿型插值,只需用表格再计算一个,n,阶差商,然后加上一项即可。节省计算量，便于编程。,（,3,）牛顿型插值余项公式对是由离散点给出,或导数不存在时均适用。因此更具一般性。,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编则可知n 阶,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,五、数值实例,例,1,根据下表建立不超过三次的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。,x,0,1,2,4,f,(,x,),1,9,23,3,例,2,教材,P,24,例,2.3,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编五、数值实例,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,一阶差商,二阶差商,三阶差商,四阶差商,五阶差商,0.40,0.41075,0.55,0.57815,1.11600,0.65,0.69675,1.18600,0.28000,0.80,0.88811,1.27573,0.35893,0.19733,0.90,1.02652,1.38410,0.43348,0.21300,0.03134,1.05,1.25382,1.51533,0.52493,0.22863,0.03126,-0.00012,x,i,f,(,x,i,),数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编一阶差商二阶,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,解 从均差表看到四阶均差近似常数。故取四次牛顿插值多项式,N,4,(x),做近似即可,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,第五节 差分与等距节点插值公式,差分及其性质,等距节点的,Newton,向前插值公式,等距节点的,Newton,向后插值公式,数值实例,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编第五节 差,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,一、差分及其性质,设插值节点为等距节点：,如右图所示,h,称为步长，函数 在节点处的函数值记为,1,x,2,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编一、差分及其,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,一阶向前差分：,（一） 差分的概念,二阶向前差分：,注,：,称为向前差分算子，表示向后差分算子。各阶差分可用下表表示。,n,阶向前差分：,同理可定义二阶、,n,阶向后差分,一阶向后差分：,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编一阶向前差分,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,函数,值,一阶,差分,二阶,差分,三阶,差分,四阶,差分,.,f,(,x,0,),f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,3,),f,(,x,4,),.,f,0,f,1,f,2,f,3,.,2,f,0,2,f,1,2,f,2,.,3,f,0,3,f,1,.,4,f,0,.,.,(,f,1,),(,f,2,),(,f,3,),(,f,4,),(,2,f,2,),(,2,f,3,),(,2,f,4,),(,3,f,3,),(,3,f,4,),(,4,f,4,),.,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编函数一阶二阶,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,除差分算子外，常用的算子符号还有：,不变算子,I,: ;,移位算子,E,：,由上面各种算子的定义可得算子间的关系：,由,可得,同理可得,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 除差,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,（二）差分的性质,（步长均为,h,）,性质,1,:,各阶差分均可用函数值表示。,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编（二）差分的,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,性质,3,:,各种差分之间可以互化。如,性质,4,性质,2,:,可用各阶差分表示函数值。,如：,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编性质3:,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,称为,牛顿前插公式。,插值节点为,x,i,=,x,0,+,ih,(,i,=0,1, ,n,),如果要计算,x,0,附近点,x,处的函数值,f,(,x,),可令,x,=,x,0,+,th,(0,t,1),代入牛顿插值公式,可得,二、,Newton,向前插值公式,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编称为牛顿前插,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,其余项为,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编其余项为,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,及其余项,三、,Newton,向后插值公式,类似地,若计算,x,n,附近的函数值,f,(,x,),可令,x,=,x,n,+,th,(- 1,t,0),，可得,牛顿后插公式,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编及其余项三、,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,例,设,y,=,f,(,x,)=e,x,x,i,=1, 1.5, 2, 2.5, 3,用三次牛顿插值多项式求,f,(1.2).,相应的函数值及差分表如下,:,四、数值实例,解 用牛顿前插公式,由,1.2=1+0.5,t,得,t,=0.4,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编例,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,x,i,f,(,x,i,),一阶差分,二阶差分,三阶差分,四阶差分,1,1.5,2,2.5,3,2.71828,4.48169,7.38906,12.18249,20.08554,1.76341,2.90347,4.79343,7.90305,1.14396,1.88606,3.10962,0.74210,1.22356,0.48146,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编xif (x,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,Hermite,插值问题的提出,三次,Hermite,插值,2,n,+1,次,Hermite,插值多项式,Hermite,插值余项,数值实例,第六节 埃尔米特,(,Hermite,),插值,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 Hermi,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,一、,Hermite,插值问题的提出,由于理论与实践的需要，在构造插值函数,时，不但要求在节点上函数值相等，而且还要求,它的（高阶）导数值也相等（即要求在节点上具,有一定的光滑度），使得插值函数与被插函数贴,近程度更好，满足这种要求的插值多项式就是,Hermite,插值多项式，有时也称为具有重节点插,值或切触插值。,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编一、 Her,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,二、 三次,Hermite,插值,问题：求作三次多项式 ，使之满足：,称之为两点三次,Hermite,插值问题，称满足,插值条件（,2.6.1,）的 为三次,Hermite,插,值多项式。下面采用构造基函数的方法来确定多,项式。,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编二、 三次,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,设,则,若 满足,则,H,3,(,x,),即为所求。,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 设,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,由于,由（,2.6.3,）可设,再由（,2.6.2,）可求得,(2.6.2),(2.6.3),数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编由于(2.6,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,同理可得,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编同理可得,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,故,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编故,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,三、,2,n,+1,次,Hermite,插值多项式,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编三、2n+1,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,由,点,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编由点,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,四、,H,ermite,插值余项,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编四、Herm,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,例,1,已知,f,(,x,)=,x,1/2,及其一阶导数的数据见下表，用埃尔米特插值公式计算,125,1/2,的近似值，并估计其截断误差。,五、数值实例,x,121,144,f,(,x,),11,12,f,(,x,),1/22,1/24,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,解,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编解,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,得,由,可求得,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编得由可求得,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,x,x,0,x,1,x,2,p,(,x,),f,(,x,0,),f,(,x,1,),f,(,x,2,),p,(,x,),f,(,x,1,),数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 xx0x,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,多项式插值的问题,分段线性插值,分段三次埃尔米特插值,小 结,第七节 分段低次插值,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编多项式插值的,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,一、多项式插值的问题,前面介绍了构造插值公式的方法，并分析了,它们的余项 。在实际应用插值函数作近似,计算时，总希望插值公式余项的绝对值小一些，,即使得误差尽量小一些。,从 表达式看，似乎提高插值多项式的,次数便可达到目的，但实际上并非如此。,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编一、多项式插,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,例,给定函数,取其等距节点 ，,构造的,Lagrange,插值多项式为,实际上，当 时， 只能在 内收敛，而在这个区间以外是发散的。这种畸形现象通常叫做,Runge,现象。,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编例,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,n,越大，,端点附近抖动,越大，称为,Runge,现象,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编n 越大，,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,在插值过程中有两种误差：,1,）由插值函数 替代被插函数 所引起的,截断误差；,2,）节点数据的误差。这种误差在插值过程中是否会,被扩散或放大呢？这就是插值过程的稳定性问题。对,任意的插值节点，当 时， 不一定收敛,到 。事实上，当,n,变大时，插值过程对于节点,的数据误差非常敏感，也就是说高次插值具有数值不,稳定性。,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编在插值过程中,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,二、 分段线性插值,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编二、 分段线,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,因此，在插值区间,a,，,b,上有,可以证明：,P,(,x,),在,a,，,b,上一致收敛于,f,(,x,),在区间,x,i,，,x,i,+1,上的余项估计式为：,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编因此，在插值,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,例,已知函数,在区间,上取等距插值节点（如下表）,求区间,上分段线性插值函数，并利用它求出 的近似值,0,1,2,3,4,5,1,0.5,0.2,0.1,0.05882,0.03846,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,于是,解,在每个小区间,上,，,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编于是解,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,三、 分段三次,Hermite,插值,x,i,，,x,i,+1,作埃尔米特插值，得,在每个子区间,(,i,),数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编三、 分段三,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,显然，,H,3,(,x,),满足插值条件,H,3,(,x,i,)=,y,i,，,阶导数连续,。,，且在节点,处一,分段三次埃尔米特插值在区间,x,i,，,x,i,+1,上的余,项估计式为,(,i,),(,i,),(,i,),数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,因此，在插值区间,a,，,b,上有,可以证明：,3,(x,),在,a,b,上一致收敛于,f,(,x,),数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编因此，在插值,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,四、小结,分段插值简便易行，收敛性能得到保证，只要节点间的间距充分小，就能保证它的误差要求。,分段插值具有局部性质。如果修改某个数据，插值曲线仅在与该数据有关的相邻两个区间内受到影响。而前面讲的代数插值确会影响整个区间。,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编四、小结分段,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,问题的提出,三次样条函数,三弯矩方程,三转角方程,（自学）,数值实例,第八节 三次样条插值,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编问题的提出三,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,一、问题的提出,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编一、问题的提,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,二、三次样条函数,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编二、三次样条,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,设,在,x,i,，,x,i,+1,上是一次多项式且,三、三弯矩方程,设,在,x,i,，,x,i,+1,上是一次多项式且,x,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,h,x,x,M,h,y,h,x,x,M,h,y,M,h,x,x,M,i,h,x,-,-,+,-,-,+,-,+,-,+,+,+,+,+,),6,(,),6,(,6,),(,6,),(,1,2,1,1,2,1,3,1,S(x)=,x,x,i,x,i+1, (,i,=0,1, ,n,-1),3,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,所以,(,i,=1,2,.,n,-1),因为,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编所以(i=1,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,-,(,i,=1,2,.,n,-1),因为,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编-(i=1,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,即,1,、,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编即1、,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,所以有,从中解出,M,i,(,i,=0,1,.,n,),代入,S(x),的表达式即可。,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编所以有从中解,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,2,、,M,0,、,M,n,已知,（即满足边界条件）,从中解出,M,i,(,i,=1,2,.,n-,1),代入,S(x),的表达式即可。,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编2、M0、M,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,3,、满足边界条件,，,得,由,整理得,其中,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编3、满足边界,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,注意到：,M,0,=,M,n,故有：,解出,M,i,(,i,=1,.,n,),代入,S,(x),的表达式,即可,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编注意到：故有,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,四、数值实例,例,已知 的函数值为,0,0,0,0,0,3,2,1,试分别求函数 满足下列边界条件的三次样条插值函数：,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编四、数值实例,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,解,(1),边界条件为,故得方程组,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编解(1),数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,利用公式,x,x,i,x,i+1,并注意到边界条件,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编利用公式x,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,（,2,）边界条件为 则 由,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 （2）,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,得,故得方程组,解得,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编得故得方程组,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,注意到 求得三次样条函数如下：,x,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,h,x,x,M,h,y,h,x,x,M,h,y,M,h,x,x,M,i,h,x,-,-,+,-,-,+,-,+,-,+,+,+,+,+,),6,(,),6,(,6,),(,6,),(,1,2,1,1,2,1,3,1,S(x)=,xx,i,x,i+1, (i=0,1, n-1),3,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编注意到,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,评 述,本章按插值函数的特征，分别介绍了多项式插值、分段多项式插值和三次样条插值。,插值函数是数值分析的基本工具，是函数逼近、数值积分、数值微分和微分方程解的基础。,Lagrange,插值多项式虽然计算量大，但表示式简单明确，便于理论推导，理论上较重要。,Newton,插值多项式便于逐步增加节点，并且计算过程中能估计误差。带导数的插值多项式适合于已知导数值的情形。所有插值多项式次数不宜太高，否则误差,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编评 述,数值分析第二章插值法,李庆扬王能超易大义编,可能很大。分段低次插值具有良好的稳定性和良好的收敛性，因此便于应用。三次样条插值也是分段插值多项式，且进一步保证了光滑性，它在实际应用中是很重要的。至于,B,样条和一般样条函数本书未涉及，如有需要可参看专门文献。,关于插值误差估计，论述了微分形式和均差形式。对于充分光滑的被插值函数，采用微分形式的误差估计可以给出实用的误差界。均差形式的误差估计虽不能给出实用的误差界，但在数值积分和数值微分的推导中将有重要应用。,数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编可能很大。分,