高等数学 极限

,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,1.2 极限,一、数列的极限,二、数列极限的性质,三、函数的极限,四、无穷大与无穷小,一、,数列的极限,例如,1,.定义1,形如 的一列数称为,数列,，,数列中的每一个数叫做数列的项,，,第,n,项,a,n,叫做,数列,的一般项或,通项,.,说明,：,(2)几何上，,数列,看做,数轴上一个,动点,，依次取数轴上,的点,(1),数列是以自然数为定义域的函数,问题的提出,割圆术,我国古代数学家刘徽在?九章算术注?利用圆内接正多边形计算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何上的应用.,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，那么与圆合体而无所失.,2.,数列,极限的定义,正六边形的面积,正十二边形的面积,正,边,形的面积,说明：,当,n,的取值无限增大时，面积,A,n,无限接近一个确定的常数,S,.,数列的极限,用圆内接多边形的面积去逼近圆的面积,:,圆的面积,再如数列,定义2,设,a,n,是一数列，,a,是一常数.,反之，如果数列an的极限不存在，那么称数列an发散.,在上例中，,问题：,例如，,由于,当,n,越来越大时，,越来越小，从而,a,n,越来越接近于,0,.,例如，给定,只要,n,100即可,.,即,从,101,项开始都能使,给定,只要,n,10000即可,.,即,从,10,00,1,项开始都能使,一般地，不论给定的正数 多么的小，,总存在一个正整,数,N,使得当,n,N,时，不等式,都成立,.,这就是数列,根据这一特点得到数列极限的精确定义,.,定义,3,总存在,正整,数,N,，,使得,当,n,N,时,，,不等式,都成立,那,么,称常数,a,是数列,a,n,的极限,.,记作,说明：,具有任意性，确定性,，,N,存在性,与 有关;,(3),数列的极限与前面的有限项无关,.,(4),定义简写,几何解释,：,从,N+,1,项开始，有,例,1,证明,由极限的定义知,例2,证明,由极限的定义知,例3,证明,由极限的定义知,说明：,因,从而,同理,因,故存在,N,1,使当,n,N,1,时,证,明,(,反证法,),假设,故存在,N,2,使当,n,N,2,时,有,从而,定理1(极限的,唯一性,),收敛的数列极限,唯一,.,二、,数列极限的性质,矛盾,因此收敛数列的极限必唯一,.,那么当nN 时,同时,满足的不等式,定理2(,收敛数列一定有界,),证,明,设,取,从而有,则,当,时,有,收敛数列必有界.,取,那么有,由此证明收敛数列必有界,.,说明,:,此性质反过来不一定成立,.,例如,定理,3,(,收敛数列,的,保号性,),证明,就,a, 0,的情形,由数列极限的定义，,推论,:,若数列从某项起,(,用反证法证明,),若,则,定理4(夹逼准那么),证,明,由条件,(2),当,时,当,时,令,结合,条件,(1),，得,即,故,则当,时,从而,例4 证明,证明,由夹逼准那么得,定理5(单调有界准那么),单调增加,数列,：,单调,减少数列：,单调有界,数列必有极限,.,单调,增加,有上界,数列必有极限,；,单调,减少,有下界,数列必有极限,.,单调递增数列和单调递减数列统称为,单调数列.,说明：,例,5,证明数列的有界性,.,解,那么,由归纳法知，对所有的,下面证明数列具有单调性,.,那么,由归纳法知，对所有的,由单调有界准那么知，,设为,a.,由于收敛数列保号性知,故所求数列的极限是,子数列：,在数列,a,n,中任意抽取无限多项并保持这些项在,原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数,列,a,n,的子数列,例如，,数列,a,n,：,1，-1，1，-1，,， (-1),n,+1,，,的一子数列为,a,2,n,：-1，-1，-1，(-1),2,n,-,1,， ,另一子列,a,2,n,-,1,：,1，1，1，(-1),2,n,， ,如果数列,a,n,收敛于,a,，,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是,a,定理6(收敛数列与其子数列间的关系),(1)假设数列有两个子数列收敛于不同的极限,那么原数列,发散,.,说明,:,定理6用来证明数列发散：,(2)假设数列有一个子列极限不存在，那么那么原数列发散.,例如,，,发散,!,不相等,自变量趋于有限值时函数的极限,自变量变化过程的六种形式,:,自变量趋于无穷大时函数的极限,三、函数的极限,函数的极限,单击任意点开始观察,1.,自变量,x,时,函数,的极限,引例,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,观察完毕,演示实验的观察,:,当,x,无限增大,时,函数值,f,(,x,),无限接近于一个确定的常数,A,称,A,为,f,(,x,),当,x,+,时的极限,.,设,f,(,x,),当,x,大于某一正数,时有定义，,函数,f,(,x,),在,x,+,时极限,的直观定义：,定义4,引例中，,表明,函数,f,(,x,),无限接近,A,.,xX：说明是在 x+ 的过程中实现的.,定义5,f,(,x,),当,x,大于某一正数时有定义,A,为常数,.,恒有,|,f,(,x,) -,A,|X,时，,类比于数列极限的定义,，,推得当,时函数极限,的,精确定义,：,对定义5的简单表达：,类比当 时函数的极限定义，当 时函数,f,(,x,),的极限定义：,定义6,f,(,x,),当,x,大于某一正数时有定义,A,为常数,.,恒有,|,f,(,x,) -,A,|,成立，则称,A,是,函数,f,(,x,),在,时,的,极限,.,对,任意给定的正数,，,总存在,正数,X,，当,x-,X,时，,简单表达：,结合定义,5,和定义,6,，推得,定义7,f,(,x,),当,x,大于某一正数时有定义,A,为常数,.,恒有,|,f,(,x,) -,A,|,X,时，,简单表达：,结论：,例,6,证明,由于,由极限的定义知,几何解释,：,称,直线,y,=,A,为曲线,的,水平渐近线,几何上，曲线,y=f,(,x,),的图形位于 和,两直线之间.,引例,函数,在,处的极限为,函数,在,处的极限为,y,A,x,xx,0,时函数,f,(,x,),的极限是否存在,与,f,(,x,),在,x,0,处是否有定义,无关,.,2.,自变量,x,x,0,时,f,(,x,),的极限,结论,：,设,f,(,x,),在点,x,0,的某一,去心邻域内,有定义，,记作：,上例中,定义,7,定义8,简单表述：,设,f,(,x,),在点,x,0,的某一去心邻域内有定义,，,存在,正数,d,当,0,|,x,-x,0,|,d,成立，那么称A为函数 f (x) 当 x x0 时的极限.,对于,任意给定的正数,e,|,f,(,x,),-,A,| 0,不等式,的,x,总有,使对一切满足,总存在,则称函数,当,时为,无穷大,说明：,1.,无穷大不是数,不可与很大的数混为一谈,.,2.,函数为无穷大,必定无界,.,但反之不真,!,例如,函数,因为,无界,例如，,由于,从图形上看，,一般地，,的,铅直渐近线,.,在上例中，,3,.,无穷小的性质,性质1(无穷小与函数极限的关系),其中,为,时的无穷小量,.,证明,当,时,有,那么 为,时的无穷小量,.,若,为无穷大,且,则,为无穷大,.,为无穷小,;,则,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论,.,性质,2,在自变量的同一变化过程中,说明,:,若,为无穷,小,例如,性质,3,有限个无穷小的和是无穷小,.,性质,4,有界函数与无穷小的乘积是无穷小,.,例,10,求极限,解,由于,是有界函数,推论,1,常数与无穷小的乘积是无穷小,.,推论2,有限个无穷小的乘积是无穷小.,内容小结,1. 数列极限的 “ N 定义及应用,2.,收敛数列的性质,:,唯一性,;,有界性,;,保号性,;,任一子数列收敛于同一极限,3.,函数极限的,或,定义及应用,4.,函数极限的性质:,保号性定理,与左右极限等价定理,5.无穷小的性质,