第十二章-弯曲变形(下)课件

*,工程力学 第十二章 弯曲变形,*,工程力学 第十二章 弯曲变形,1,12-4,计算梁位移的叠加法,12-5,简单静不定梁,12-6,梁的刚度条件与合理刚度设计,第十二章 弯曲变形,1 12-4 计算梁位移的叠加法第十二章 弯曲变,2,一、 载荷叠加法,M,(,x,),为载荷,(,F,q,M,e,),的线性齐次函数,12-4,计算梁位移的叠加法,线性微分方程,思考：,F,q,M,e,分别作用产生的梁变形与同时作用产生的总的梁变形是否相等？,A,F,q,x,w,2一、 载荷叠加法M(x)为载荷(F, q, Me)的线,3,w,与载荷成线性关系,积分后，,w,和,w,仍然是载荷,(,F,q,M,e,),的线性齐次函数,M,(,x,),为载荷,(,F,q,M,e,),的线性齐次函数,梁在上述载荷同时作用下的变形，等于各个载荷单独作用下的变形的代数和,:,w=w,F,+w,q,+w,M,e,线性微分方程,2,、,梁的变形很小；,(,不影响其它载荷的作用效果,),1,、,应力不超过比例极限；,(,线弹性,),载荷叠加法的适用范围：,3w 与载荷成线性关系积分后，w和w 仍然是载荷(F,4,载荷叠加法的应用,例：,如图悬臂梁，弯曲刚度,EI,是,常数。求截面,A,的挠度,w,A,和转角,A,。,载荷由集中力,F,，均布力,q,和力偶,M,0,构成，分别查表（附录,D,），然后将各个载荷在,A,端引起的位移叠加。,A,F,q,Q,分析方法：,注意：,请熟记附录,D,中,1,，,3,，,4,，,6,，,8,，,9,各梁的挠度和转角,4载荷叠加法的应用例：如图悬臂梁，弯曲刚度EI是常数。求截面,5,查表（附录,D,）,A,A,F,A,F,q,( ),F,q,叠加：,A,q,载荷,5查表（附录D）AAFAFq( )Fq叠加：Aq载荷,6,逐段变形效应叠加法：,静定,梁或刚架的任一横截面的总位移，等于各梁段单独变形,(,其余梁段刚化,),在该截面引起的位移的代数和或矢量和。,A,B,C,A,B,C,二、逐段变形效应叠加法,(,逐段刚化法,),：,思考：,如图外伸梁，求截面,C,挠度和转角。如何采用叠加法进行求解？,蒋持平,严鹏,.,计算梁与刚架位移两类叠加法的适用范围,.,力学与实践, 2003, 25(6): 62-64,蒋持平,严鹏,.,逐段变形效应叠加法的能量法证明及其推广,.,力学与实践, 2004, 26(4): 66-67,A,B,C,6逐段变形效应叠加法：ABCABC二、逐段变形效应叠加法(逐,7,A,B,C,例,:,求图示外伸梁截面,C,的挠度和转角。,A,B,C,A,B,C,仅考虑,BC,段变形,(,刚化,AB,可视,BC,为悬臂梁,),仅考虑,AB,段变形,(,刚化,BC,，将均布力向,B,点简化,),总挠度和转角：,解,:,qa,qa,2,/2,7ABC例: 求图示外伸梁截面C的挠度和转角。ABCABC仅,8,例：,如图阶梯悬臂梁，弹性模量,E,为,常数,，,惯性矩,I,2,=2,I,1,，求截面,C,挠度,w,C,和转角,C,。,刚化,AB,段：,1. BC,段变形效应,（刚化,AB,段）,2. AB,段变形效应,（刚化,BC,段）,A,B,C,F,解：,B,截面转角和挠度,F,A,B,C,A,B,C,8例：如图阶梯悬臂梁，弹性模量E为 常数，惯性矩 I2=2I,9,BC,段刚化：,A,B,C,3. C,截面总转角和挠度,2. AB,段变形效应,（刚化,BC,段）,引起的,C,截面转角和挠度,F,A,B,C,9BC段刚化：ABC3. C截面总转角和挠度 2. AB段,10,12-5,简单静不定梁,静不定度与多余约束,多余约束,多于维持平衡所必须的约束,多余支反力,与多余约束相应的支反力或支力偶矩,静不定度,支反力（力偶）数有效平衡方程数,静不定度多余约束数,5-3=2,度静不定,6-3 = 3,度静不定,1012-5 简单静不定梁 静不定度与多余约束多余约束,11,相当系统：,受力与原静不定梁相同的静定梁,相当系统：,相当系统,q,A,B,A,B,F,B,q,思考：,如何确定未知约束反力,F,B,的大小呢？,变形协调条件：,w,B,=0,F,B,静不定问题分析例一：,11相当系统：受力与原静不定梁相同的静定梁相当系统： 相当系,12,静不定问题分析例二：,A,B,C,F,F,平面问题有三个平衡方程,F,有四个未知力，一度静不定,A,B,C,F,F,B,w,B,= 0,2.,解除约束，建立静定相当系统,可以以支座,A,、,B,、,C,任意一个的铅垂约束作为多余约束。,3.,列出变形协调条件,如果解除约束,B,，变形协调条件为,:,1.,分析静不定度：,4.,结合平衡方程求出未知约束力,12静不定问题分析例二：ABCFF 平面问题有三个平衡方程F,13,小结：梁弯曲静不定问题的分析步骤,步骤,：,1,、判断静不定度（确定多余约束数）；,2,、选取并解除多余约束，建立静定相当系统；,3,、列出多余约束处的变形协调条件；,4,、结合平衡方程，求多余支反力。,相当系统选取不唯一，一般选择求解最简单的一种,13小结：梁弯曲静不定问题的分析步骤 步骤：相当系统选取,14,例：,如图两端固支梁，求支反力,1.,静不定度：,6-3=3,2.,选取相当系统：,右中、下图都合适,小变形,，轴向变形和轴向力,F,Ax,，,F,Bx,可忽略，只有两个多余未知约束力,F,Ax,F,Bx,F,By,F,Ay,M,B,M,A,q,A,B,A,B,M,A,M,B,(2),q,A,B,F,B,M,B,(1),3.,建立变形协调条件,解：,选取相当系统（,1,）：,14例：如图两端固支梁，求支反力1. 静不定度：6-3=32,15,4.,联立求解,q,A,B,F,B,M,B,对称性的应用：,利用对称性直接求出,F,A,=,F,B,=,ql,/2,，它可取代方程（,1,）、（,2,）之一。,解得：,154. 联立求解qABFBMB对称性的应用：利用对称性直,16,变形协调条件,w,B,=0,A,B,C,l,l,/2,q,解：,1.,确定结构的静不定度：,2.,给出静定相当系统：,A,B,C,l,l,/2,q,F,B,解除,B,处约束，代之以未知约束力,F,B,例：,如图三支座圆截面梁，长,l=,5,m,直径,d=,30 cm,材料弹性模量,E=,4 GPa,，其上作用均布力,q,485,N/m,。试求支座的支反力。,一度静不定,16变形协调条件 wB=0ABCll/2q解：2.给出静定,17,由变形协调条件，令,查附录,D,8,：均布力,q,引起的,B,截面挠度：,查附录,D,6,：集中力,F,B,引起的,B,点挠度：,A,B,C,F,B,A,B,C,q,3.,载荷叠加法求解,F,B,和,q,作用下,B,截面的挠度：,由平衡方程得到约束,A,和,C,的支反力：,得到,17由变形协调条件，令 查附录D8：均布力q 引起的B截面,18,12-6,梁的刚度条件与合理刚度设计,一、梁的刚度条件,d,许用挠度,q,许用转角,一般用途轴：,d, = (5/100003/10000),l,重要轴：,d, = (2/100001/10000),l,起重机大梁：,d, = (1/7001/1000),l,土建工程中的梁：,d, = (2/100001/10000),l,安装齿轮或滑动轴承处：,q,=0.001rad,由设计规范或手册查得的许用值为：,1812-6 梁的刚度条件与合理刚度设计一、梁的刚度条件,19,对比强度问题： 或,二、梁的合理刚度设计,与梁的合理强度设计相似点：,让材料远离截面中性轴，例如采用工字形与盒形薄壁截面,梁变形（挠度或转角）计算公式：,同样依赖于弯矩,M,与截面性质,I,1,。合理选择截面形状,(,增加惯性矩,),决定梁变形的因素：,受力和支持条件、材料性质以及截面性质,I,19对比强度问题： 或二、梁的合理刚度设计与,20,2,。合理选取材料选择弹性模量,E,大的材料,影响刚度的材料性质：弹性模量,E,影响强度的材料性质：极限应力,u,3,。适当减小梁的跨度,减小跨度更有利于刚度的合理设计,202。合理选取材料选择弹性模量E大的材料影响刚度的材料性,21,4,。合理安排约束和,加载方式,(,调整、减少,M,(,x,),5,。增加约束，制作成静不定梁,214。合理安排约束和加载方式(调整、减少M(x)5。增加,22,强度是局部量，刚度是整体量（积分）,梁的合理刚度设计,与梁的合理强度设计的不同点：,开槽显著影响强度，但对刚度影响甚微,开槽,千里之堤，毁于蚁穴,强度对局部缺陷很敏感,22强度是局部量，刚度是整体量（积分）梁的合理刚度设计与梁的,23,作业：,12-10, 12-12(b), 12-16(b), 12-19,23作业：,24,思考：,合理设计截面来提高梁的强度时，一定会提高梁的刚度吗？或者说，梁截面的抗弯截面系数增大时，惯性矩一定增大吗？请举例说明。,答案：,不一定。,例如：如图所示正方形截面，两种不同的放置方式：,24思考：合理设计截面来提高梁的强度时，一定会提高梁的刚度吗,25,例：,如图矩形截面悬臂梁，自由端承受集中力,F,作用，该载荷与对称轴,y,的夹角为,，,求挠曲轴方程与自由端形心,C,的位移。,y,C,z,F,问题分析：,载荷沿两对称轴分解：,分解为对两个称弯曲问题,2.,求解各分载荷作用下的挠曲轴方程与,C,点位移,3.,合成为总的挠曲轴方程与总的,C,点位移,解,：,(,1),载荷分解,矩形截面梁的非对称弯曲问题,F,z,F,y,25例：如图矩形截面悬臂梁，自由端承受集中力 F 作用，该载,26,方位角：,结论：,当,I,y,I,z,时，,，弯曲变形不发生在外力作用面内,(2,),分力挠曲轴方程与端点位移,形心,C,位移：,y,C,z,F,C,w,C,26方位角：结论：当 Iy Iz 时， ，弯曲变,27,F,A,B,C,E,F,A,B,C,E,F,刚化,EF,A,B,C,E,F,刚化,AE,和,BF,对称性的应用,F,/2,C,F,B,A,B,C,E,F,F,/2,F,/2,逐段变形效应叠加法,例：,如图阶梯简支梁，弹性模量,E,为,常数，惯性矩,I,2,=2,I,1,，求截面,C,挠度,w,C,和截面,B,转角,B,。,27FABCEFABCEF刚化EF ABCEF刚化AE和B,28,思考：,如图所示两悬臂梁,AC,、,DE,与直杆,BD,铰接，各梁和杆的,EI,及,EA,均已知，求各约束处的约束力。,A,B,q,C,D,E,问题的关键什么？,BD,杆的内力,如何求,BD,杆的内力？,F,R,F,R,C,A,B,q,F,R,D,F,R,E,ABC,梁为一度静不定结构，,BD,杆内力相当于支反力,如何确定变形协调条件？,B,点位移按上图计算,A,B,F,R,qa,qa,2,/2,28思考：如图所示两悬臂梁AC、DE与直杆BD铰接，各梁和杆,29,例：,如图等截面钢架，,A,端作用集中力,F,，弯曲刚度,EI,和扭转刚度,GI,p,均为常数，求,A,截面挠度,w,A,A,B,C,F,A,B,C,BC,刚化,F,B,C,A,F,Fa,AB,刚化,加,a.BC,弯曲刚度刚化,b.BC,扭转刚度刚化,w,3,2. BC,扭转,(AB,刚化，,BC,弯曲刚度刚化,),3. BC,弯曲,(AB,刚化，,BC,扭转刚度刚化,),1. AB,弯曲,(BC,刚化）,29例：如图等截面钢架，A端作用集中力 F ，弯曲刚度EI和,谢谢,谢谢,