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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1、,掌握二面角的定义法,;,2、,掌握二面角的三垂线法,;,3、,掌握二面角的垂面法;,4、,掌握二面角的射影面积法,;,5、掌握二面角的向量法。,学习目标:,1、掌握二面角的定义法;学习目标:,1,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.,二面角的定义:,复 习:,2、二面角的表示方法,A,B,二面角,AB ,l,二面角,l, ,二面角,CAB D,A,B,C,D,A,B,C,E,F,D,二面角,CAB E,1、定义,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,2,二面角的平面角:,A,B,P,l,二面角的平面角必须满足,:,3),角的两边都要垂直于二面角的棱,1),角的顶点在棱上,2),角的两边分别在两个面内,二面角的平面角的范围:,0,180,二面角的大小用它的平面角的大小来度量,以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,A,1,B,1,P,1,注意:,(与顶点位置无关),APB=,A,1,P,1,B,1,二面角的平面角: ABP ,3,一、几何法:,1、定义法:,以二面角的棱a上任意一点O为端点,在两个面内分别作垂直于a 的两条射线OA,OB,则AOB就是此二面角的平面角,。,a,O,A,B,在一个平面 内选一点A向另一平面 作垂线AB,垂足为B,再过点B向棱a作垂线BO,垂足 为O,连结AO,则AOB就是二面角的平面角。,3、垂面法:,过二面角内一点A作AB 于B,作AC 于C,面ABC交棱a于点O,则BOC就是二面角的平面角。,a,A,B,C,O,2、三垂线法:,A,B,O,a,一、几何法:1、定义法:以二面角的棱a上任意一点O为端点,在,4,P,A,B,C,D,过E作EDPC于D,,则BDE就是此二面角的平面角,。,连结BD,,,过B作BEAC于E,,,E,ABC为正, BE=,在RtPAC中,E为AC中点,,则DE=,在,RtDEB中,tan BDE=, BDE=arctan,例1:已知正三角形ABC,PA面ABC,且PA=AB=a, 求二面角A-PC-B的大小。,三垂线法:,PABCD过E作EDPC于D, 则BDE就是此二面角,5,几点说明,:,定义法是选择一个平面内的一点(一般为这个面的一个顶点)向棱作垂线,再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中,所以不好计算,不是我们首选的方法,。,三垂线法是从一个平面内选一点(一般为这个面的一个顶点)向另一个面作垂线,再由垂足向棱作垂线,连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中,计算简便,所以我们常用此法。,垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线,因为这一点不好选择,所以此法一般不用,。,以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角,。,射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式,然后指出平面的垂线,射影关系,再用公式,这种方法虽然避免了找平面角,但计算较繁,所以不常用,。,几点说明:定义法是选择一个平面内的一点(一般为这个面的一个,6,练习1:正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中, E为棱AA,1,的中点,求平面EB,1,C和平面ABCD所成的二面角。,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,E,练习1:正方体ABCD-A1B1C1D1中,,7,E,F,G,A,B,D,C,A,1,B,1,D,1,C,1,H,F,G,B,C,D,A,H,练习2:在正方体AC,1,中,E,F分别是中点,求截面A,1,ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小。,EFGABDCA1B1D1C1HFGBCDAH练习2:在正方,8,E,F,G,A,B,D,C,A,1,B,1,D,1,C,1,F,G,B,C,D,A,F,E,A,1,C,练习2:在正方体AC,1,中,E,F分别是中点,求截面A,1,ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小。,EFGABDCA1B1D1C1FGBCDAFEA1C练习2:,9,练习3:三棱锥P-ABC中,PA 平面ABC,PA=3,AC=4,PB=PC=BC(1)求二面角P-BC-A的大小; (2)求二面角A-PC-B的大小。,P,A,B,C,D,E,练习3:三棱锥P-ABC中,PA 平面ABC,PA=3,A,10,1、方向向量法:,二、向量法:,l,A,B,C,D,将二面角转化为二面角的两个面,的方向向量(在二面角的面内垂直于二面角的棱且指向该面方向的向量)所成的角。,1、方向向量法:二、向量法:lABCD将二面角转化为二面角的,11,x,y,z,解,:,建立如图所示的空间直角坐标系D,xyz,,,不妨设正方体的棱长为2,BD的中点为O,则,B(2,2,0),A,1,(2,0,2),C,1,(0,2,2),O(1,1,0), A,1,OBD,C,1,OBD, 即为二面角A,1,-BDC,1,的平面角。,二面角A,1,BDC,1,的大小为,xyz解:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,不妨设正方,12,求二面角的大小,先求出两个半平面的法向量的夹角,然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。,m,n,如图:二面角的大小等于,-,2、平面法向量法:,求二面角的大小,先求出两个半平面的法向量的夹角,然后根据二面,13,2、平面法向量法:,求二面角的大小,先求出两个半平面的法向量的夹角,然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。,m,n,如图:二面角的大小等于,2、平面法向量法:求二面角的大小,先求出两个半平面的法向量的,14,例4:在底面是直角梯形的四棱锥,SABCD,中,,ABC=,90,,SA,面,ABCD,,,AD=,SA=AB=BC=,1,,求面,SCD,与面,SBA,所成的二面角的大小.,x,y,z,解:以A为原点,如图 建立空间直角坐标系。,例4:在底面是直角梯形的四棱锥SABCDxyz解:以A为原,15,因为二面角为锐角 。,因为二面角为锐角 。,16,x,y,z,xyz,17,二面角的求法(精华版)课件,18,二面角的求法(精华版)课件,19,小 结,1、二面角的定义 2、二面角的平面角的定义,3、二面角的平面角的求解:,找(或作)出平面角,定义法棱的垂面法,三垂线定理法向量法,求解,解三角形或用向量的夹角公式,小 结1、二面角的定义,20,
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