第一章-极限与连续课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,下页,返回,上页,第一章 极限与连续,微积分部分,1.1,函数,1.2,极限的概念,1.3,无穷小量与无穷大量,1.4,极限的运算法则,1.5,两个重要极限,1.6,函数的连续性,1.7,常用的经济函数,第一章 极限与连续,1.1 函数第一章 极限与连续,1,1.1 函 数,一、函数的概念,1,. 区间与邻域,(1),区间,: 包括有: 开区间、闭区间和半开半闭区间.,开区间,闭区间,左开右闭区间,左闭右开区间,1.1 函 数一、函数的,2,区间也可以按其长度分为: 有限区间和无限区间.,(2),邻域,定义,1.1 设 为一实数, 为一正实数,即 则称集合,为 点的,邻域,.,若 和 均为有限的常数, 则区间,均为有限区间,无限区间有,区间也可以按其长度分为: 有限区间和无限区间.,3,点 的 邻域, 在几何上表示的是以 为园心, 以 为半径的开区间 其区间长度为,见下图所示,注意: 一般 邻域内的点是指在 点附近的点,故应将 理解为比较小的正数.,2. 函数的定义,点 的 邻域, 在几何上表示的是以 为,4,定义,1.2: 设 和 分别为两个实数集合, 为一对应关系, 如果对于 中的每一个元素 按照对应关系 在集合 中均有唯一的一个实数 与之对应,即 则称变量 为变量 的函数,记作 其中 称为因变量, 称为自变量, 称为对应法则, 称为该函数的定义域.,关于该定义应注意,当函数的定义域和对应法则确定了以后,该函数便被唯一的确定了,因此称,函数的定义域和对应法则为确定函数关系的两大要素.,定义1.2: 设 和 分别为两个,5,例,1 判断下列各组函数是否相同,解,(1),不同. 因为 的定义域是,而 的定义域为 .显然它们的定义域,不同.,(2),相同. 因为它们的定义域均为全体实数相同, 且对应法则也相同,例1 判断下列各组函数是否相同,6,3. 函数的定义域,函数的定义域, 是使函数有意义的自变量的取值的范围,.,求函数的定义域时应注意,(1),应考虑自变量与因变量有无实际意义;,(2),如果一个函数是若干项的代数和, 则分别求出每一项的取值范围后, 取其交集合即可定义域;,(3),对于分段函数来说, 其定义域就是各区间的并集合;,3. 函数的定义域 函数的定义域, 是使,7,解,(1) 要使该函数有意义, 须有,解之得,故该函数的定义域为,故该函数的定义域为,例,2 求下列函数的定义域,(2),要使该函数有意义, 须有,解之得,解 (1) 要使该函数有意义, 须有,8,(,2) 图象法(图形法). 如函数,的图象为,(3) 列表法(表格法),4. 函数的表示法,(1) 解析法(公式法). 如函数,注意:有些函数是多个,(,两个或两个以上,),解析式表示一个函数, 数学上称这种,函数为,分段函数.,二、函数的几种特征,(2) 图象法(图形法). 如函数的图象为 (3) 列表法,9,1 奇偶性,:,设函数 在区间 上有定义, 如果对于任意 , 都有 ,则称该函数为奇函数 ; 若对于任意 ,都有,则称该函数为偶函数,.,例,3 判断下列函数的奇偶性,解,(1),因为,1 奇偶性: 设函数,10,(3),因为 的定义域为,所以函数 无奇偶性,是非奇非偶函数,.,所以函数 是奇函数.,(2)因为,虽然,所以 是偶函数,(3) 因为,11,注: 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称.,(4),因为 所以函数,是偶函数.,2. 单调性,设函数 在 上有定义,对任意,如果 ,则必有 ,则称函数,在 上单调递增;如果 ,则必有 , 则称函数 在 上单调递减.,注: 单调递增的函数其图象从左到右是上升的,注: 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象,12,而单调递减的函数其图象从左到右是下降的.见下图,y,y,x,x,o,o,例如 函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减; 而函数,在定义域 上均单调递增,. 其图象如下:,单调递增,单调递减,y,x,o,y,x,o,单调性递增开始演示,!,演示,单调性递减开始演示,单调性演示结束,!,而单调递减的函数其图象从左到右是下降的.见下图yyxxoo,13,3.周期性,注意:,(1),说函数递增还是递减时, 应明确指出在哪一个区间上. 因同一个函数在不同的区间上单调性可能不同.如函数,(2),当一个函数在其定义域 上均单调递增(或递减)时, 才称该函数为单调函数. 如 是单调函数.,设函数 在 上有定义, 如果存在常数 使得对于 中的任意 , 都有 则称该函数为周期函数, 且称 为该函数的周期.,如函数,均是周期函数, 其周期分别为,3.周期性 注意: (1) 说函数递增还是,14,4.有界性,设函数 在 上有定义, 如果存在正数 ,使得对于任意 ,都有 恒成立. 则称该函数在区间 上有界. 否则, 称该函数 在区间 上无界.,如函数 在区间 上有界, 因在该区间上恒有 成立; 在区间 上无界.而函数 在其定义域 R有界.,4.有界性 如函数,15,注意:,(1),说一个函数是否有界, 一般要指出区间.因同一个函数,在某区间上可能有界,而在另一个区间上可能会无界.,(2),若一个函数在其定义域上有界时,可以不说区间, 这时称函数是有界函数.,三,、,反函数,1.反函数的定义,B,定义1.3,设函数 的定义域为集合A, 其值域为B, 如果对于B中的每一个元素 , 在集合A中都有唯一确定的 与之对应, 则说在集合B上定义了一个函数,则说在集合B上定义了一个函数, 称该函数为 的反函数, 记作,注意: (1)说一个函数是否有界, 一般要,16,注1: 易见反函数 的定义域B即是原来函数 的值域, 而其值域即是原来函数的定义域.,注2: 为了合呼我们的习惯, 常把 中的 换为 , 把 换为 , 从而的得 . 由于并不改变其定义域和对应法则, 所以它们是相同的函数.,注3: 函数 与 互为反函数,2.反函数的性质,注1: 易见反函数,17,(1),单调函数必有反函数, 且其反函数的单调性与原来函数的单调性一致.,(2),函数 与其反函数 的图象关于直线 对称.,3.反函数的求法,例4 求 的反函数,反函数的求法分三步:,从 中解出 ;,判断 中的 与 是否一一对应;,若一个 对应唯一一个 , 则将其 换为 , 换为 ,即得函数 的反函数.,(1) 单调函数必有反函数, 且其反函数的,18,解,从 中解出 ,得,显然, 每一个 均对应唯一的一个 , 所以更换变量得其反函数为,四,、,基本初等函数,1.常函数,2.幂函数,3.指数函数,4.对数函数,5.三角函数,6.反三角函数,解 从,19,1.常函数 2.幂函数,y,x,o,x,o,y,3.指数函数 4.对数函数,o,y,x,o,y,x,基本初等函数图象如下,1.常函数 2.,20,5.三角函数,x,y,y,x,5.三角函数x yyx,21,6.反三角函数,因为 在其定义域内不单调,因此在整个定义域内没有反函数.为了求其反函数,我们需要缩小定义范围,所定义的新区间应满足以下三个条件:,在所定义的区间上必须单调;,所定义的区间应尽可能的大一些;,所定义的区间要包含坐标原点在内(或尽可能靠近坐标原点).,于是,选择区间 最合适,y,因为上式不太合呼大家的习惯,所以常做变量的更换,得,由反函数的图象对称性可做出其图象为:,6.反三角函数因为,22,五,、,初等函数,注1: 条件 非常重要, 只有满足了该条件后,两个函数才可复合, 否则就不是复合函数,.,称 为简单函数.,定义: 设 是 的函数 , 且其定义域为 ,而 又是 的函数 , 其值域为 , 如果满足 , 则 必是 的函数 , 称该函数为复合函数,其中 称为中间变量,1.复合函数,五、初等函数 注1: 条,23,例如 就可以复合, 因为前一个函数的定义域为 , 而后一个函数的值域为 , 其交集合非空, 所以 是复合函数. 而 与,就不能复合, 因为第一个函数的定义域为,而第二个函数的值域为 , 显然其交集合为空集,不满足复合的条件.,注2: 中间变量可以有多个.,如 复合后为,中间变量就有4个,例如 就,24,注3: 将简单函数变为复合函数的过程称为复合过程, 而把复合函数变为简单函数的过程称为拆分过程.,复合时应从后往前逐个回代, 而拆分时应由外往内逐个拆开.,2.初等函数,由基本初等函数经过有限次复合,以及四则运算以后, 且能够用一个式子表达的函数统称为初等函数.,如函数,注3: 将简单函数变为复合函数的过程称为复合过程,25,等等均是初等函数.,而,均不是初等函数,等等均是初等函数. 而均不是初等函数,26,1.2,极限的概念,一,、,数列的极限,1.数列,就称为一个数列, 记作 , 其中每一个数称为数列的一个项, 第一项称为首项, 第 项称为通项(或一般项,),定义: 无穷多个按照某种规律排列起来的一列数,如:,(1),(2),(3),(4),1.2,27,关于数列概念应注意以下几点,例如 数列 实际上就是,函数 的函数值,(2),数列一般有三种表示方式,一般形式. 如,函数形式. 如 数列,简化形式. 如 数列,(1),数列实际上是定义在自然数集合上的函数,将其函数值按自然数依次增大的顺序排列起来所得到的.因此数列也常常记作 或,关于数列概念应注意以下几,28,2.数列的极限,让我们一起先观看一段演示,演示,演示结束,随着圆内接正多边形边数的不断增加,其圆内接正多边形的面积愈来愈趋向于圆的面积,即数列 以圆面积 为极限,结论,2.数列的极限让我们一起先观看一段演示演示演示结束随着圆内接,29,先看数列,变化趋势演示,1 2 3 4 5 6 7 8,注意小球的变化,为了进一步了解数列的极限,下面我们再观察几个数列随着 的不断增大, 它能否趋向于一个常数.,演示,先看数列变化趋势演示 1 2,30,2.数列的极限,数列的极限就是数列的变化趋势, 为此, 先观察几个数列随着 的不断增大, 它能否趋向于一个常数.,先看数列,变化趋势演示,1 2 3 4 5 6 7 8,注意小球的变化,正在演示,2.数列的极限 数列的极限就是数列的变化趋,31,1 2 3 4 5 6 7 8,从以上演示可见: 小红球随着 的不断增大, 越来越靠近横轴, 因此数列 趋向于零.,演 示 结 束,1 2 3,32,1 2 3 4 5 6 7 8,再观察数列 的变化趋势,注意小球的变化,演示,1 2,33,1 2 3 4 5 6 7 8,再观察数列 的变化趋势,正在演示,注意小球的变化,1 2,34,1 2 3 4 5 6 7 8,可见数列 的变化趋势如下,从该数列的演示易见, 随着 的不断增大, 小球越来越接近于直线 , 所以数列 趋向于1.,演 示 结 束,1 2,35,再观察数列 的变化趋势,注意小球的变化,1 2 3 4 5 6 7,演示,再观察数列,36,再观察数列 的变化趋势,注意小球的变化,1 2 3 4 5 6 7,正在演示,再观察数列,37,再观察数列 的变化趋势,1 2 3 4 5 6 7,易见小球在上下摆动中, 其摆动的幅度始终不变,因此,该数列不趋于任何常数,演 示 结 束,再观察数列,38,最后,观察一下数列,的变化趋势,.,12 10 8 6 4 2,1 2 3 4 5 6 7,注意小球的变化,演示,最后,观察一下数列的变化趋势.1,39,最后,观察一下数列,的变化趋势,.,12 10 8 6 4 2,1 2 3 4 5 6 7,正在演示,最后,观察一下数列的变化趋势.1,40,最后,观察一下数列,的变化趋势,.,12 10 8 6 4 2,1 2 3 4 5 6 7,显见小球随着,的不断增大愈来愈向上移动, 永无止径,因此, 数,列 随着,的增大, 趋向于无穷大,.,演示结束,最后,观察一下数列的变化趋势.1,41,综上可见, 有的数列随着 的不断增大, 会逐渐趋向于某一个常数, 而有些数列则不会趋向于一个常数,如数列 均收敛, 且,定义 如果数列 当 趋向于无穷大时, 能够趋向于某一个常数A , 则说该数列收敛, 此时称A为数列 的极限, 记作,若该数列不能够趋向于一个常数, 则说该数列发散(或说不收敛).,),(,),(,),(,lim,=,n,A,n,f,A,n,f,n,或,综上可见, 有的数列随着,42,而数列 和数列 均发散.,二,、,函数的极限,单击 开始演示,让我们观察一下函数 当自变量 的绝,对值 无限增大时, 其函数值的变化情况.,x,y,1,=,1.当 时函数的极限,而数列 和数,43,正在演示,让我们观察一下函数 当自变量 的绝,对值 无限增大时, 其函数值的变化情况.,而数列 和数列 均发散.,二,、,函数的极限,1.当 时函数的极限,x,y,1,=,正在演示 让我们观察一下函,44,易见,随着 的无限增大, 小红球愈来愈靠近于 轴, 即其函数值逐渐趋于零.,演示结束,让我们观察一下函数 当自变量 的绝,对值 无限增大时, 其函数值的变化情况.,而数列 和数列 均发散.,二,、,函数的极限,1.当 时函数的极限,x,y,1,=,易见,随着 的无限增大,45,从该例可见:当 趋于无穷大时, 趋于常数0, 此时我们称0是函数 当 趋于无穷大时的极限,.,x,1,一般,定义: 如果存在常数A, 使得当 无限增大时,函数 趋向于A, 则称A为函数 当 趋于无穷大时的极限,记作 或,注意:,几何上为,演示,演示结束,从该例可见:当 趋于无穷大时,46,如,2.当 时函数的极限,时的变化趋势,先观察函数 和函数 当,演示,如 2.当 时函数的极限,47,正在演示,如,2.当 时函数的极限,先观察函数 和函数 当,时的变化趋势,正在演示 如,48,正在演示,时的变化趋势,如,2.当 时函数的极限,先观察函数 和函数 当,正在演示 时的变化趋势,49,正在演示,时的变化趋势,如,2.当 时函数的极限,先观察函数 和函数 当,正在演示 时的变化趋势,50,演示结束,易见当 时,演示暂停请稍候,时的变化趋势,如,2.当 时函数的极限,先观察函数 和函数 当,演示结束易见当 时 演示,51,开始演示,时的变化趋势,如,2.当 时函数的极限,先观察函数 和函数 当,开始演示 时的变化趋势,52,正在演示,时的变化趋势,如,2.当 时函数的极限,先观察函数 和函数 当,正在演示 时的变化趋势,53,正在演示,时的变化趋势,如,2.当 时函数的极限,先观察函数 和函数 当,正在演示 时的变化趋势,54,正在演示,时的变化趋势,如,2.当 时函数的极限,先观察函数 和函数 当,正在演示 时的变化趋势,55,演示结束,易见当 时有,时的变化趋势,如,2.当 时函数的极限,先观察函数 和函数 当,演示结束易见当 时有,56,如,注意两点,(1) 意思是 无限靠近于,但 , 因此,点有无极限与函数在该点有无定义毫无关系.,定义: 如果存在常数A, 使得当 无限接近于 时, 有 趋近于A, 则称A为当 时函数 的极限,记作,如 注意两点,57,称 时函数 的极限为左极限, 记作,(2),称 时函数 的极限为右极限,记作,左极限,右极限,演示结束,演示,称 时函数,58,解 因为,所以极限 不存在,定理 极限 存在的充分必要条件是左极限 和右极限 均存在, 且都等于,例1 设,讨论极限 是否存在?,解 因为所以极限,59,(1),唯一性: 极限值如果存在,则必唯一.,例2 设 求,解 因为,所以 存在.,例3 讨论极限 是否存在?,解 因为 而,所以极限 不存在.,三,、,极限的性质,当 时必有,(2),保号性: 设 则当 时必有,当 时,所以,当 时,所以,(1) 唯一性: 极限值如果存在,则必唯一.,60,1.3,无穷小量与无穷大量,一,、,无穷小量,1.无穷小量的定义,如果变量 的极限是零,则称变量 为无穷小量.,注意几点:,例如 是当 时的无穷小量,是当 时的无穷小量,是当 时的无穷小量,是当 时的无穷小量,1.3 无穷小量与无穷大量,61,(1)一般, 说一个变量是无穷小量, 必须指出其变化过程.因同一个变量在不同的变化过程中会有不同的变化趋势,即不同的极限值.,(2)由于无论在什么样的变化过程中, 数 0 的极限永远为零, 所以它是无穷小量, 且只有它可以不指出变化过程.,(3)不能把无穷小量理解为是很小的数, 关键是要看其极限是否为零.,2.无穷小量的性质,性质1,两个无穷小量的代数和还是无穷小量.,性质2,两个无穷小量的乘积还是无穷小量.,注意:,(1),这两个性质均可以推广到有限上去;,(1)一般, 说一个变量是,62,(2),无穷小量的变化过程相同时, 以上性质才成立. 否则不能相加减及乘积的.,性质3,有界量与无穷小量的乘积还是无穷小量.,注意: 有界量包括,常量;,有界函数;,在无穷小量的变化过程中有极限的函数,.,例如,常量,有界函数,有极限的函数,有界量,二,、,无穷大量,1.无穷大量的定义,如果一个变量在它的变化过程中, 其绝对值,可以,(2)无穷小量的变化过程,63,无限增大, 则称该变量为其变化过程中的无穷大量.,例如 是当 时的无穷大量,是当 时的无穷大量,是当 时的无穷大量,等等.,注意几点,(1),无穷大量并不是很大的数,而是其绝对值可以无限增大的量;,(2),说一个量是不是无穷大量,也必须指出其变化过程;,无限增大, 则称该变量为其变化过程中的无穷,64,(3),无穷大量包括:正无穷大量和负无穷大量.,例如当 时变量 就是一负无穷大量.,(4),无穷大量的记号,如: “当 时 是一无穷大量” 可记为,“当 时 是一无穷大量” 可记为,等等.,2.无穷大量的性质,(3)无穷大量包括:正无穷,65,性质1,两个无穷大量的乘积还是无穷大量,.,性质2,有界量与无穷大量的和还是无穷大量.,注意: 两个无穷大量的和未必还是无穷大量;有界量与无穷大量的乘积也未必还是无穷大量.,三,、,无穷小量与无穷大量之间的关系,定理 若 是无穷大量, 则 必是无穷小量; 反之,若 是无穷小量, 则 必是无穷大量.,四,、,无穷小量阶的比较,无穷小量是,极限为零,的变量, 虽然它们均趋向于零, 但是趋向于零的速度有快有慢, 那么如何比较它们趋向于零的速度的快慢呢?,性质1 两个无穷大量的乘积还是无穷大量,66,定义 设 和 是同一变化过程中的两个无穷小量,(1)若 , 则说 是比 较高阶的无穷小量,记作 ;,(2)若 , 则说 是比 较低阶的无穷小量, 或者说 是比 较高阶的无穷小量;,(3)若 , 则说 和 是同阶无穷小量,记作 ;,(4)若 , 则说 和 是等价无穷小量,记作,.,例如 因为 所以,定义 设 和,67,因为 所以,因为 所以,因为 所以,注意:当两个无穷小量的变化过程不同时, 则显然是不能比较阶的高低的; 即使两个无穷小量的变化过程相同, 也未必一定能够比较. 如 和 均是,时的无穷小量, 但不能比较其阶的高低.,例,1 设当 时,求,解,因为,所以有,即,因为,68,法则1,. 代数和的极限等于极限的代数和.即,法则 2,. 乘积的极限等于极限的乘积.即,法则3.,商的极限等于极限的商(当分母的极限不等于零时) .即,注意几点,1.4 极限的运算法则,一、运算法则,法则1. 代数和的极限等于极限,69,(3),法则1和法则2均可推广到有限上去 ,得,(1) 只有当法则中所有的极限均存在时,法则才成立.,法则 :,法则,:,法则4,函数n次幂的极限等于极限的n次幂.即,(2),符号下面没有写变化过程,意思是对,和 均成立,特别当 时法则 变为,(3) 法则1和法则2均可推广到有限上去 ,得,70,(4) 当法则2中 时有,即常数因子可以提到极限号的外边.,二,、,应用举例,解 原式,解,原式,例1 求极限,例2 求极限,(4) 当法则2中,71,解 显然该函数是一初等函数, 且0点在其定义域内,因此,注意: 显然例1,、,例2中的极限值就等于其函数在极值点处的函数值. 一般当 为初等函数且 点在其定义域内时有,解 原式,例3 求极限,例4 求极限,例5 求极限,原式,解 显然该函数是一初等函数, 且0点在其定,72,解 因为 所以 是无穷小量,根据无穷大量与无穷小量的关系知,解 原式,解 因为当 时 是无穷小量 而 是有界量,例8 求极限,例7 求极限,例6 求极限,所以根据无穷小量的性质知,解 因为,73,解 原式,解 原式,解 原式,例8 求极限,例9 求极限,解 原式 解 原式解 原式例,74,综合例7,、,例8,、,例9的结论, 易见有,例10 求极限,例11 求极限,解 原式,解 原式,综合例7、例8、例9的结论, 易见有例10,75,1.5,两个重要极限,一,、,两个准则,准则,如果函数 满足,(1),(2),存在,则极限 必存在且等于,注意:,(1),该准则对于 和 时的函数极限,以及数列的极限均成立;,(2),该准则常称为两边夹定理,准则,单调有界数列必有极限.,1.5 两个重,76,对于数列 来说,如果对于任意自然数n恒有,成立, 则称数列 是单调递,增(递减)的. 单调递增数列与单调递减数列统称为单,调数列.,例如 数列 单调递增,数列 单调递减,对于数列 来说, 如果存在正数,使得对于任意的自然数,n, 均有 成立.则说该数列有界,例如 数列 有界,因为对任意自然数n, 恒有,对于数列 来,77,二,、,两个重要极限,1.,证明:首先易见,所以只须证 即可,(,如图作单位圆,并,作角 见右图)由图中易见有,S,OAC,S,OAB,S,扇形OAB,注意右图演示各图形大小,S,OAB,S,扇形OAB,S,OAC,二、两个重要极限1.证明:首先易见所以只须,78,二,、,两个重要极限,1.,证明:首先易见,所以只须证 即可,(,如图作单位圆,并,作角 见右图)由图中易见有,S,OAB,S,扇形OAB,S,OAC,二、两个重要极限1.证明:首先易见所以只须,79,于是有,同除以 得,即,因为,所以,例,1 求极限,即,即,于是有同除以 得即因为所以例1,80,解 原式,极限 和 均可当公式使用, 使用时应注意满足以下三个条件,极限的分子必须是正弦函数或者正切函数;,分子上的 和 后面可以跟一个函数 ,但分母也必须是 ,即极限形式为,在自变量的变化过程中须是无穷小量, 即,解 原式 极限,81,例,2 求极限,该极限为1,例3 求极限,解 原式,类似可求得,可当公式记注使用,例4 求极限,解 原式,例5 求极限,解,原式,例2 求极限该极限为1例3 求极限解 原式,82,解,原式,例,6 求极限,解,原式,例,7 求极限,解,原式,解 原式例6 求极限解 原式例7 求,83,2.,或,例8 求极限,解 原式,使用第二个重要极限应满足以下三个条件,幂指数为 的倒数, 即,在自变量的变化过程中为无穷小量,可当公式使用,例9 求极限,幂底数为 的形式, 为任一函数;,2.或例8 求极限解 原式使用第二个重,84,解 原式,例10 求极限,解 利用上题结果, 令 得, 原式,解 原式,例12 求极限,解 原式,例11 求极限,解 原式例10 求极限解 利用上题结,85,1.6,函数的连续性,一,、,连续函数的概念,当变量 从初值点 变化到终值点 时, 称终值与初值之差 为变量 的改变量, 记作 即,注1 可正可负,1.函数的改变量,1.6 函数的连续性一、连续函数的,86,注2,因为当 时必有 , 成立.所以下面三种说法均等价:,变量 从 点变化到 点;,变量 从 点变化到 + ;,变量 在 点取得改变量 .,对于函数 来说, 如果其自变量 在 点,取得改变量,则因变量 就会有相应的改变 , 称其为函数 的改变量, 记作 即,例如 函数 的改变量为,注2 因为当,87,2.函数在一点处连续的定义,注1: 因为 所以,定义1 设函数 在 点的某一邻域内有定义, 当自变量 在 点取得改变量 时, 则有函数 的改变量 , 如果当自变量的改变量 趋于零时, 必然有函数改变量 也趋于零, 即有 ,则称函数 在 点处连续.,2.函数在一点处连续的定义注1: 因为,88,可见有,注2 定义2实际包含有三个条件:,(1),函数 在 点的某一邻域内有定义;,(3),其极限值等于 点的函数值,即,(2),函数 的极限存在,即 存在;,定义2 设函数 在 点的某一邻域内有定义, 如果当自变量 时, 函数 的极限 存在 , 且其极限值等于 点的函数值, 即 则称函数 在 点处连续.,可见有注2 定义2实际包含有三个条件:(1)函数,89,注3 若 时,则,称函数 在 点处左连续;,若 时,则,称函数 在 点处右连续;,定理 函数 在 点处连续的充分必要条件是 在 点既是左连续的,同时也是右连续的,.,注意 一般在证明一个式子所给出的函数在某一点处的连续性时,使用定义1;而在证明或判断或研究分段函数在分段点处的连续性时,使用定义2.,注3 若,90,证明 给自变量 在 点一个增量,则相应的有,于是有,故函数 在点 处连续,例2 研究函数 在 点的连续性,例1 证明函数 在点 处连续,解 显而易见该函数在 点及附近有定义,且 ,又,可见 存在,且,证明 给自变量 在 点一个增量则相应的,91,因此该函数在 点处连续,3.,函数在区间上的连续定义,二、初等函数的连续性,定义 如果函数 在区间 上的每一个点 处均连续的话,则称该函数在开区间 上连续;如果函数在开区间 上连续,且在左端点 处右连续,而在右端点 处左连续,则称该函数 在闭区间 上连续.,1.连续函数的运算法则,因此该函数在 点处连续3.函数在区间上的连续,92,如果函数 和 在 点均连续,则,在 处也必连续.,如果函数 在 点连续,而函数 在 点也连续,且 ,则复合函数 在 点也必连续.,2.初等函数的连续性,初等函数在其定义域内均连续,3.连续性的应用,(1),1. 是初等函数,2. 点在 的定义域内,如果函数 和 在,93,例3 求下列极限,解,(2),1.,2.,条 件,例3 求下列极限解(2)1.条 件,94,例4 求下列极限,解,可看作,例4 求下列极限解可看作,95,三、函数的间断点,定义3 若函数 在 点没有定义; 或当自变量 时, 函数 的极限不存在;或其极限值不等于 点的函数值,即 ,则称函数 在 点处不连续或间断,此时 点称为函数 的间断点.,注意: 如果 则 点称为无穷间断点;如果 存在但不相等,则 点称为跳跃间断点;如果极限 存在但不等于 点的函数值,(,点可能根本就没定义,),则 点称为函数 的可去间断点.,三、函数的间断点 定义3 若函数,96,函数的间断点,(2),显而易见该函数在 点处也没定义,所以,点是该函数的间断点,但又因为极限,存在,所以 点是可去间断点.,解,(1),显而易见该函数在 点处没定义.所,以 点是该函数的间断点,又因为 所以它是无穷间断点.,函数的间断点(2)显而易见该函数在 点处也没定义,97,例6 讨论下列函数在所给点的连续性,所以 为跳跃间断点.,解,该函数在 点处显然有定,义,且 但,例6 讨论下列函数在所给点的连续性所以,98,四、闭区间上连续函数的性质,显然该函数在 点有定义,且,且极限 存在,但由于,所以 是该函数的间断点,且是,可去间断点,定理1. (最值性) 如果函数 在闭区间 上连续,则函数 在 上一定有最大值和最小值.,四、闭区间上连续函数的性质显然该函数在 点有,99,推论 如果函数 在闭区间 上连续,则函数 在 上一定有界.,注意,:,如果函数 在 上不连续,而在 上连续,定理的结论就不一定成立了.,推论 如果 在闭区间 上连续,且 与 异号,则至少存在一点 ,使得,定理2 (介值性)如果函数 在闭区间 上连续, 和 是函数 在 上的最小值和最大值,则对介于 和 之间的任意一个实数 ,都至少存在一点 ,使得 成立.,推论 如果函数 在闭区间,100,注意 常常利用该推论证明某一方程在某一区间上至少存在一个根的问题.,例6 证明方程 在区间 内至少有一根.,证明 令 根据初等函数的连续性,知该函数在 上连续,又因为,异号,由推论知:在 内至少存在一点 ,使得 即方程 在 内至少有一根.,注意 常常利用该推论证明某一方程在某一区,101,1.7 常用的经济函数,一、需求函数与供给函数,一般, 当价格上升时,商品的需求量就会下降;反之当价格下跌时,商品的需求量就会上升. 因此一般需求函数是单调递减的.,需求函数常见的类型有以下几种,1.需求函数,商品的需求量与其价格之间的函数关系,商品的需求量: 消费者需要该商品并且具有购买该商品的欲望和能力的商品的数量,常用字母 表示.,价格即是指商品的销售价格,常用字母 来表示.即,1.7 常用的经济函数一、需求函数与供给函数,102,商品的供给量与其价格之间的函数关系,商品的供给量:就是厂商生产出该商品并计划往市场上投放的商品数量.常用 来表示.价格还是,于是