优化设计的数学模型课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第三章 优化设计的数学模型,3-1,设计变量,3-2,约束条件,3-3,目标函数,3-4,优化设计的数学模型,3-5,数学模型的几何描述,3-6,优化设计的迭代过程及终止准则,第三章 优化设计的数学模型3-1 设计变量,1,优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。,优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容,2,3-1,设计变量,一、设计变量,设计变量：,在优化设计过程中是,变化的，需要优选的,量。,设计参数：,在优化设计过程中,保持不变或预先确定,数值。,可以是,几何参数,：例，尺寸、形状、位置,运动学参数,：例，位移、速度、加速度,动力学参数,：例，力、力矩、应力,其它,物理量,：例，质量、转动惯量、频率、挠度,非物理量,：,例，效率、寿命、成本,设计向量：,用,X=x,1,x,2,x,n,T,表示，,是定义在,n,维欧氏空间中的一个向量。,3-1设计变量一、设计变量,3,二、设计点与设计空间,设计点,:,X,(k),（,x,1,(k),x,2,(k),x,n,(k),）：,是设计向量,X(k),的端点，代表设计空间中的一个点，也代表第,k,个设计方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。,设计空间,R,n,：,以,x,1,x,2,x,n,为坐标轴，构成,n,维欧氏实空间,R,n,。它包含了所有可能的设计点，,即所有设计方案,。,欧氏空间,:,由于工程设计中的设计变量都是实数，所以称这种设计空间为欧式空间,二、设计点与设计空间欧氏空间:,4,三、连续量与离散量,一般来说，设计变量大多是一些,连续变化的量,。,但在机械设计中，有些变量也可能是跳跃式的量。例如齿轮的齿数必须为整数，模数必须符合国家标准所规定的值，轴承的尺寸必须符合产品样本中所规定的值等。凡属这类跳跃式的量称为,离散量,。,对于离散设计变量，在优化设计过程中常常把它们视作连续量，,在求得连续量的优化结果后再进行圆整或标准化,，以求得一个实用的最优方案。,三、连续量与离散量,5,3-2,约束条件,设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。,如,一个设计满足所有对它提出的要求，就称为,可行设计,。,一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称,作约束条件，简称约束。,3-2 约束条件 设计空间是所有设计方案的集合,6,一、设计约束的类型,(1),约束又可按其数学表达形式分成,等式约束,和,不等式约束,两种类型,。,(2),根据约束的性质可以把它们区分成：,性能约束,针对性能要求而提出的限制条件称作,性能约束,。,例如,，选择某些结构必须满足受力的,强度、刚度或稳定性,等要求；,边界约束,只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称作,边界约束,。,例如,，允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴段长度的限定范围就属于边界约束。,一、设计约束的类型,7,(3),显式约束,隐式约束,约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间,明显的函数关系,，有的只能表示成隐式形式,如例中的复杂结构的性能约束函数（变形、应力、频率等），,需要通过有限元等方法计算求得,。,(3)显式约束 隐式约束,8,可行域,：,在可行域内任意一点称为可行设计点（内点），代表一个可行方案,可行设计点的集合,D,称为,可行设计区域,。,非可行域,：,在可行域外的点称为非可行设计点（外点），代表不可采用的设计方案，这种设计点的集合为,非可行域,。,二、可行域和非可行域,可行域：二、可行域和非可行域,9,3-3,目标函数,为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为,目标函数,，以,F(X),表示。,在优化过程中，通过设计变量的不断向,F,(,X,),值改善的方向自动调整，最后求得,F,(,X,),值最好或最满意的,X,值。在构造目标函数时，应注意,目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计变量必须包含在约束函数中,。,3-3 目标函数 为了对设计进行定量评价，必须,10,在,机械设计中,，可作为参考目标函数的有：,体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷最小等等。,在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为,单目标函数,。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为,多目标函数的最优化问题,。在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。,在机械设计中，可作为参考目标函数的有：在最,11,3-4,优化设计的数学模型,综上所述，最优化问题数学模型一般表示如下：,对于,无约束最优化问题,：,式中，,表示,n,维实欧氏空间,。,3-4 优化设计的数学模型综上所述，最优化问题数学模型一般,12,对于,约束最优化问题,：,式中,D,表示由,p,个不等约束条件和,q,个等约束条件所,规定的可行域,。,对于约束最优化问题：式中D表示由p个不等约束,13,通过最优化方法求得的一组,最优设计变量：,表示了一个最优化的设计方案，称为,最优设计点,。对应于该设计方案的,目标函数为,：,称为最优化值,。,最优点和最优值两者构成了一个优化问题的,最优解,。,通过最优化方法求得的一组最优设计变量：表示了一,14,在数学模型中，若目标函数,F,（,X,）和约束函数,和,都是设计变量,的,线性函数,，,这样的优化问题常称为,线性规划,问题，否则称为,非线性规划,问题。,在数学模型中，若目标函数F（X）和约束函数,15,3-5,数学模型的几何描述,为了进一步说明最优化问题的一些基本概念，下面再对它作必要的几何描述，以便比较直观地、形象化地理解它。先以一个,二维,优化问题为例。,设有一个约束最优化问题，数学模型如下：,3-5数学模型的几何描述 为了进一步说明最优化,16,对于这样一个优化问题，可用下图的几何图形来说明几个基本概念。,对于这样一个优化问题，可用下图的几何图形来说明,17,3-6,优化设计的迭代过程,及终止准则,3-6 优化设计的迭代过程,18,一、迭代过程与迭代格式,为了适应,电子计算机的工作特点,，要求最优化方法具有下列,性质,：,数值计算,，而不是解析方法；,具有,简单,的,逻辑,结构，并能进行,反复,的,运算,过程：,不要求获得精确解，而只要求有,足够精度,的近似解。,满足上述要求的计算过程或计算方法就是所谓的,数值迭代过程,或,数值迭代方法,。,一、迭代过程与迭代格式 为了适应电子计算机的工作,19,数值迭代的,基本思想,是：从某一个选定的初始点,出发，按照某种最优化方法所规定的原则，确定适当的方向和步长，获得第一个新的修改设计点,，计算此点的目标函数值,使满足,：,最终达到与,理论最优点,X*,非常逼近的,近似最优点,X*,。,数值迭代的基本思想是：从某一个选定的初始点最,20,式中的,就是以,为新起始点，沿着一定的方向,以一定的步长,确定下一个设计点 的改进迭代矢量。由此可知，每一步迭代格式可写作：,第,n,步迭代计算的步长。,式中的 就是以 为新起始,21,二、优化方法的分类,目前已有的最优化方法很多，各种方法的区别就在于确定方向,S,和步长,a,的方法不同。这些方法可大致归纳为两大类：,1,直接搜索法,这种方法只需要进行函数的,计算与比较,来确定优化的方向和步长。,2,间接法,这种方法需要利用,函数的一阶或二阶偏导数,矩阵来确定优化方向和优化步长。,二、优化方法的分类 目前已有的最优化方法很多，各,22,由于大多数工程设计问题的设计变量比较多，函数形式也比较复杂，,不易求得一阶和二阶偏导数,，,因此,在实际应用中，,直接搜索法更受工程界的欢迎,。,但不论何种具体的优化算法，它们在确定方向和步长时都应具有以下,共同之点：,（,1,）所选择的优化,方向,S,是比较,容易计算,的；,（,2,）所选择的,优化方向,应尽可能,指向,目标函数,F,（,X,）的,极小点,，,至少在每一个迭代点,附近是指向,F,（,X,）的极小点；,（,3,）所选的,步长,a,应在已定方向上,使目标函数达到极小,，或者至,少使目标函数值有所下降。,由于大多数工程设计问题的设计变量比较多，函数形,23,三、迭代点列的收敛条件和终止准则,1,点列收敛的,柯西准则,若某种迭代过程所选择的设计点序列为：,若点列是收敛的，即存在极限：,点列,收敛的必要与充分条件,是，对于任意指定的足够小的正数,，存在着自然数,N,，使得当两个自然数,m,和,p,大于,N,时满足：,满足上述条件的点列称为,基本序列,，这个条件叫做点列,收敛的柯西准则,。收敛条件式也可写作：,三、迭代点列的收敛条件和终止准则1点列收敛的柯西准则,24,2,、,优化计算的终止准则,通常采用的计算终止准则有以下几种形式：,（,1,）当两相邻的迭代点,之间的距离足够小时,用矢量的长度来表示，即为：,也可以用矢量长度在各坐标轴上的分量来表示，即：,2、优化计算的终止准则通常采用的计算终止准则有以下几种形式：,25,（,2,）当目标函数的下降量已达到充分小时,，即：,也可以用目标函数值的相对下降量达到充分小时来表示，即：,（,3,）当迭代点的目标函数梯度达到充分小时,，即：,但是这种判别准则很可能把驻点作为最优值点输出，这是它的,缺点,。,（2）当目标函数的下降量已达到充分小时，即：（3）当迭代,26,在优化设计中，只要满足以上诸式中之一，就可算作目标函数值,已收敛于函数,F,（,X,）的极小值，近似最优化解已求得：,迭代即可以结束。,在优化设计中，只要满足以上诸式中之一，就可算作,27,上述三个收敛准则都在一定程度上反映了达到极值点的特点，但都不能保证所取得的设计点,是全局最优点，它很可能是一个局部最优点，因此有必要进一步考查它是否为全局最优点。,判断全局最优点常采用的方法是,：,同时取若干个相距甚远的两点作为初始点，考查它们最后迭代的最优解是否趋于同一解。,上述三个收敛准则都在一定程度上反映了达到极值点的,28,