理论力学11—达朗贝尔原理2课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,D,B,A,例,4,如图所示，均质杆,AB,的质量,m,40 kg,，长,l,4 m,，,A,点以铰链连接于小车上。,不计摩擦,，当小车以加速度,a,15 m/s,2,向左运动时，求,D,处和铰,A,处的约束力,(,此时杆,AB,与,D,处接触,),。,解：以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。,杆作平移,惯性力的大小为,F,IR,ma,。假想地加上惯性力,则由质点系的达朗贝尔原理,F,IR,A,30,D,B,1m,a,a,F,D,mg,F,Ax,F,Ay,x,y,代入数据,解之得：,D,B,A,F,IR,a,F,D,mg,F,Ax,F,Ay,x,y,于是得,j,O,x,y,C,B,A,例,5,质量为,m,长为,l,的均质直杆,AB,的一端,A,焊接于半径为,r,的圆盘边缘上,如图。今圆盘以角加速度,a,绕其中心,O,转动。求圆盘,刚,开始转动,时，杆,AB,上焊接点,A,处的约束力。,解,:,以杆为研究对象,受力如图。,将惯性力系向,转轴,简化，惯性力的大小为,a,O,r,A,B,l,a,mg,a,C,F,IR,M,I,O,F,Ax,F,Ay,M,A,a,O,r,A,B,l,j,O,x,y,C,B,A,a,mg,a,C,F,IR,M,I,O,F,Ax,F,Ay,M,A,由质点系的达朗贝尔原理,将已知数值代入以上三式，解之得,j,O,x,y,C,B,A,a,mg,a,C,F,IR,M,I,O,F,Ax,F,Ay,M,A,B,C,例,6,均质杆,AB,长,l,，重,W,，,B,端与重,G,、半径为,r,的均质圆轮铰接。在圆轮上作用一矩为,M,的力偶，借助于细绳提升重为,P,的重物,C,。试求固定端,A,的约束力。,解：先以,轮和重物,为研究对象,受力如图。假想地加上惯性力,由质点系的,达朗,贝尔,原理,a,M,G,F,Bx,F,By,M,I,B,P,F,I,代入,M,I,B,和,F,I,得,再以整体为研究对象，假想地加上全部惯性力,B,C,A,a,M,G,F,Ax,F,Ay,M,I,B,P,F,I,W,M,A,代入,M,I,B,和,F,I,解得,由质点系的,达朗,贝尔,原理,例,7,均质圆盘质量为,m,A,，,半径为,r,。,细长杆长,l,=2,r,，,质量为,m,。,杆端点,A,与轮心为光滑铰接，如图所示。如在,A,处加一水平拉力,F,，,使轮沿水平面纯滚动。问力,F,多大能使杆的,B,端刚刚离开地面？又为保证纯滚动，轮与地面间的静滑动摩擦系数应为多大？,m,A,g,mg,F,A,B,C,细杆刚离地面时仍为平移，地面支持力变为零，设其加速度为,a,。,以杆为研究对象，杆承受的力并加上惯性力如图所示，其中,F,I,C,=,ma,C,=ma,。,解出,解：,按达朗贝尔原理列出方程,m,A,g,mg,F,A,B,C,A,B,C,F,I,C,mg,F,Ax,F,Ay,a,为求摩擦力，可以圆轮为研究对象,由方程 ，得,解得,m,A,g,mg,F,A,B,C,F,N,F,S,整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中,F,I,A,F,I,C,M,I,A,由方程 得,m,A,g,A,F,N,F,I,A,M,I,A,F,s,再以整个系统为研究对象，由方程 ，得,由此，地面摩擦系数,m,A,g,mg,F,A,B,C,F,N,F,s,F,I,A,F,I,C,M,I,A,m,A,g,A,F,N,F,I,A,M,I,A,F,s,11-3,绕定轴转动刚体的轴承动约束力,如图，以,O,为简化中心，所有主动力和惯性力系都向该点简化，形成一空间任意力系，列平衡方程,11-3,绕定轴转动刚体的轴承动约束力,由上述,5,个方程解得轴承的全约束力为,这里把由于惯性力系的主矢,F,IR,和主矩,M,IO,引起的轴承约束力,称,为,附加动约束力,，要使之为零，必须有,即要使,轴承,附加,动约束力,等于零的条件是：惯性力系的主矢等于零，惯性力系对于,x,轴和,y,轴,的主矩等于零。,由前面所得，即有,所以，要使惯性力系的主矢等于零，必须,a,C,=0,，,即,转轴通过质心,。要使主矩等于零，必须有,J,xz,=,J,yz,=0,，即,刚体对转轴,z,的惯性积等于零,。,如果刚体对通过某点的轴,z,的惯性积,J,xz,=,J,yz,=0,等于零，称,该轴为过该点的惯性主轴,，通过质心的惯性主轴成为,中心惯性主轴,。则上述结论可表达为,避免出现轴承附加动约束力的条件为是,:,刚体的转轴是刚体的中心惯性主轴。,静平衡：,静平衡与动平衡的概念,动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。,动平衡：,转轴为中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力。,例,8,质量不计的转轴以角速度,匀速转动，其上固结着两个质量均为,m,的小球,A,和,B,。,指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？,静平衡：（,a,)(,b,),动平衡：,(,c,),例,9,设匀质转子重,P,，质心,C,到转轴的距离是,e,，,转子以匀角速度,绕水平轴转动，,AO,=,a,，,OB,=,b,(,图,a),。,假定转轴与转子的对称平面垂直，求当质心,C,转到最低位置时轴承所受的约束力。,b,a,e,z,C,O,B,A,(a,),解,:,轴,Oz,是转子在点,O,的主轴之一。可见惯性力对点,O,的主矩在垂直于,Oz,的平面上两轴的投影,M,I,Ox,和,M,I,Oy,恒等于零。又,a,=0,，,这样,M,I,Oz,也等于零。因此转子的惯性力合成为作用于点,O,的一个力,F,I,O,，,大小等于,方向沿,OC,。,当质心,C,转到最低位置时，轴上实际所受的力如图,b,所示。,(,a,),b,a,e,z,C,O,B,A,b,a,e,z,C,O,B,A,(,b,),P,F,B,F,A,根据动静法写出平衡方程,由式,(1),和,(2),解得,两轴承所受的力分别和,F,A,、,F,B,的大小相等而方向相反。,b,a,e,z,C,O,B,A,(,b,),P,F,B,F,A,例,10,均质杆的质量为,m,长为,2,l,一端放在光滑地面上,并用两软绳支持,如图所示。求当,BD,绳切断的瞬时,B,点的加速度、,AE,绳的拉力及地面的约束力。,解,:,以杆,AB,为研究对象，杆,AB,作平面运动。以点,B,为基点，则点,C,的加速度为,其中,A,E,C,B,x,y,30,o,B,C,A,E,D,30,o,F,T,F,N,mg,a,B,a,B,a,t,CB,a,将惯性力系向质心,C,简化，得惯性力,F,I,F,Ie,F,Ir,其中,F,Ie,ma,B,F,Ir,ma,t,CB,mla,和惯性力偶，其力偶的矩为,A,E,C,B,x,y,30,o,F,T,F,N,mg,F,Ie,F,Ir,M,I,B,C,A,E,D,30,o,a,B,a,B,a,t,CB,a,在,BD,绳切断的瞬时，受力如图，建立如图坐标。,由质点系的达朗贝尔原理,A,E,C,B,x,y,30,o,F,T,F,N,mg,F,Ie,F,Ir,M,I,B,A,30,o,x,以,B,为基点,则,A,点的加速度为,其中,将上式投影到,x,轴上得,联立求解（,1,）,（,4,）式,得,a,B,a,B,a,t,AB,a,a,t,A,训练题,1,质量为,m,1,和,m,2,的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为,r,1,和,r,2,并装在同一轴的两鼓轮上，已知鼓轮对于转轴,O,的转动惯量为,J,，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。,取系统为研究对象，设转动的角加速度方向为逆时针。,用达朗贝尔原理求解,解：,虚加惯性力和惯性力偶：,由,达朗贝尔原理,列补充方程：,代入上式得：,训练题,2,在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮,O,均为均质物体，各重为,P,1,和,P,2,，半径均为,R,，,绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角,q,，如在鼓轮上作用一常力偶矩,M,，,试求：,(1),鼓轮的角加速度？,(2),绳子的拉力？,(3),轴承,O,处的约束力？,(4),圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？,解：用达朗贝尔原理求解,列出动静法方程：,取轮,A,为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶,M,I,A,如图示。,取轮,O,为研究对象，虚加惯性力偶,列出动静法方程：,运动学关系：,将,M,I,，,F,I,，,M,I,A,及运动学关系代入到,(1),和,(4),式并联立求解得：,代入,(2),、,(3),、,(5),式，得：,