理论力学课件--点的运动学

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,#,2019/1/18,第,1,篇 运动学,运动学的任务,描述物体的机械运动，包括研究描述运动的方式，确定速度、加速度和其它运动学量的方法。,不考虑运动产生和变化的原因，仅从几何的观点分析物体如何运动，确立描述运动的方法。,参考物：运动情况已知的物体,参考系：与参考物固连的整个空间,地球参考系：,与地球固连的抽象的三维空间,地心参考系：,原点位于地心，坐标轴指向恒星,2024/8/7,1,第1篇 运动学运动学的任务2023/7/311,1,第,1,篇 运动学,参考系与坐标系是两个不同的概念,例如滑块沿斜面运动，选地球参考系,可以建立两种坐标系,2,2024/8/7,第1篇 运动学参考系与坐标系是两个不同的概念22023/7/,2,第,1,节 矢量描述法,3,2024/8/7,运动方程,位 移,矢量端图,O,P,P,速 度,加速度,第1节 矢量描述法32023/7/31运动方程位 移矢量,3,第,2,节 直角坐标描述法,4,2024/8/7,y,z,P,(,x,y,z,),o,x,运动方程,速 度,加速度,第2节 直角坐标描述法42023/7/31yzP (x,4,第,2,节 直角坐标描述法,5,2024/8/7,例,1,设梯子的两个端点,A,和,B,分别沿着墙和地面滑动，它和地面夹角 是时间的已知函数，求梯子上,M,点的运动轨迹、速度和加速度。,A,M,a,b,B,第2节 直角坐标描述法52023/7/31例1 设梯子的两个,5,第,2,节 直角坐标描述法,解：,6,2024/8/7,取如图所示的直角坐标系，则,M,点的坐标为,由此得,M,点的轨迹方程为,y,O,A,B,M,a,x,b,第2节 直角坐标描述法解：62023/7/31取如图所示的直,6,第,2,节 直角坐标描述法,7,2024/8/7,M,点的速度为,M,点的加速度为,y,O,A,B,M,a,x,b,第2节 直角坐标描述法72023/7/31M点的速度为M点的,7,第,2,节 直角坐标描述法,8,2024/8/7,当,a,=,b,=,l,时，,M,点的速度：,M,点的速度垂直于其矢径！,y,O,A,B,M,l,x,l,讨论,第2节 直角坐标描述法82023/7/31当 a=b=,8,第,2,节 直角坐标描述法,9,2024/8/7,当,a,=,b,=,l,且 时，,M,点的加速度：,加速度指向,O,点,匀速圆周运动,y,O,A,B,M,l,x,l,第2节 直角坐标描述法92023/7/31当 a=b=,9,第,2,节 直角坐标描述法,10,2024/8/7,例,2,半径为,R,的轮子沿直线轨道纯滚动,(,无滑动地滚动,),。设轮子保持在同一竖直平面内运动，且轮心的速度和加速度分别为,u,和,a,O,，,试求轮子边缘点,M,的运动轨迹、速度、加速度。,M,M,R,O,第2节 直角坐标描述法102023/7/31例2 半径为R的,10,第,2,节 直角坐标描述法,11,2024/8/7,解：取坐标系,Axy,如图所示，设,M,点所在的一个最低位置为原点,A,，则当轮子转过一个角度后，,M,点坐标为,这是旋轮线的参数方程。,O,R,C,A,x,y,第2节 直角坐标描述法112023/7/31解：取坐标系Ax,11,第,2,节 直角坐标描述法,12,2024/8/7,第2节 直角坐标描述法122023/7/31,12,第,2,节 直角坐标描述法,13,2024/8/7,M,点的速度为：,O,R,C,A,x,y,M,点的加速度为：,第2节 直角坐标描述法132023/7/31M点的速度为：O,13,第,2,节 直角坐标描述法,接触点速度讨论,14,2024/8/7,M,点在该瞬时速度为零！,当,M,点位于最高点时，即,当,M,点与地面接触时，即,为什么？,第2节 直角坐标描述法接触点速度讨论142023/7/31,14,第,2,节 直角坐标描述法,15,2024/8/7,M,点的速度始终垂直于,CM,O,R,C,A,x,y,速度的大小：,任意边缘点速度讨论,第2节 直角坐标描述法152023/7/31M点的速度始终垂,15,第,2,节 直角坐标描述法,16,2024/8/7,当,M,点与地面接触时,为什么,a,向上？,接触点加速度讨论,第2节 直角坐标描述法162023/7/31当M点与地面接触,16,17,2024/8/7,O,R,C,A,x,y,如何求出 和,172023/7/31ORCAxy如何求出 和,17,第,2,节 直角坐标描述法,18,2024/8/7,例,3,绳的一端连在小车的,A,点上另一端跨过,B,点的小滑车绕在鼓轮,C,上，滑车离地的高度为,h,。若小车以匀速度,v,沿着水平方向向右运动，求当 时,BC,之间绳上一点,P,的速度和加速度。,h,P,C,A,B,第2节 直角坐标描述法182023/7/31例3 绳的一端,18,第,2,节 直角坐标描述法,19,2024/8/7,几何关系：,对时间求导,h,P,C,A,B,l,第2节 直角坐标描述法192023/7/31几何关系：对时间,19,第,3,节 自然坐标描述法,20,2024/8/7,如果点沿着已知的轨迹运动，运动方程可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述。,运动方程：,第3节 自然坐标描述法202023/7/31如果点沿着已知的,20,第,3,节 自然坐标描述法,速度,21,2024/8/7,P,P,o,第3节 自然坐标描述法速度212023/7/31PPo,21,第,3,节 自然坐标描述法,加速度,22,2024/8/7,切向加速度,法向加速度,大小？,方向？,第3节 自然坐标描述法加速度222023/7/31切向加速度,22,第,3,节 自然坐标描述法,23,2024/8/7,P,P,o,返回,曲线上,P,点的曲率,第3节 自然坐标描述法232023/7/31PPo返回,23,第,3,节 自然坐标描述法,24,2024/8/7,n,就是曲线在,P,点的法向单位向量。,P,P,与,垂直，其单位向量用,n,表示。,返回,第3节 自然坐标描述法242023/7/31n就是曲线在P点,24,第,3,节 自然坐标描述法,25,2024/8/7,例,4,设有一点,M,的轨迹是平面曲线，,M,点的向径为,r,，速度为,v,。直线,OA,垂直于过,M,点的切线，并且与切线交于,A,点。试求,A,点,速度的大小,。,第3节 自然坐标描述法252023/7/31例4 设有一点,25,第,3,节 自然坐标描述法,26,2024/8/7,第3节 自然坐标描述法262023/7/31,26,第,4,节 极坐标描述法,27,2024/8/7,点,P,沿着,平面曲线,运动，其在任意时刻的位置可以用极坐标表示为：,P,点的矢径,:,o,P,径向单位矢量,横向单位矢量,由矢量对时间的导数的物理意义可得：,第4节 极坐标描述法272023/7/31点P沿着平面曲线运,27,第,4,节 极坐标描述法,28,2024/8/7,P,点的速度为,径向速度,横向速度,o,P,v,的方向？,第4节 极坐标描述法282023/7/31P点的速度为径向速,28,第,4,节 极坐标描述法,29,2024/8/7,P,点的,加,速度为,请注意径向和法向、横向和切向之间的差别！,径向,加速度,a,横向,加速度,a,O,P,第4节 极坐标描述法292023/7/31P点的加速度为请注,29,第,4,节 极坐标描述法,例,5,行星沿着椭圆形轨道绕太阳运动，椭圆方程为,在行星运动过程中，从太阳到行星的矢径扫过的面,积与时间成正比，或者说面积速度始终保持是常数,即,求行星的加速度。,30,2024/8/7,第4节 极坐标描述法例5 行星沿着椭圆形轨道绕太阳运动，椭,30,第,4,节 极坐标描述法,31,2024/8/7,行星的加速度始终指向太阳！,第4节 极坐标描述法312023/7/31行星的加速度始终指,31,第,5,节 曲线坐标描述法,32,2024/8/7,空间一点可以由三个独立变量,(,称为曲线坐标,),来描述，,该,点的矢径写成为,则该点的速度用曲线坐标表示为,第5节 曲线坐标描述法322023/7/31空间一点可以由,32,33,2024/8/7,第,5,节 曲线坐标描述法,其中,容易证明：如果,相互垂直，则点加速度为,同理，点加速度也可以用曲线坐标写出来。,则,若令,332023/7/31第5节 曲线坐标描述法其中容易证明：,33,34,2024/8/7,第,5,节 曲线坐标描述法,径向、横向和,z,方向速度为,由此得,于是,径向、横向和,z,方向加速度为,解：令,则有,例,6,试求柱坐标形式的速度和加速度公式。,342023/7/31第5节 曲线坐标描述法径向、横向和,34,追击问题,35,2024/8/7,假设追击者只知道目标现在的位置，不能预知目标将来的位置，因此追击者的速度方向总是指向目标现在的位置，,例如狗追兔子、导弹打飞机等,。,B,A,目标,追击者,追击问题352023/7/31假设追击者只知道目标现在的位置,35,追击问题,36,2024/8/7,由假设知,又由,可得追击问题的,相对运动微分方程,：,当,时，目标被击中或捕获。,通常追击者速率是已知的，如果目标的速度或轨迹也是已知函数，则求解上面微分方程可得相对运动轨迹。,o,A,目标,追击者,B,追击问题362023/7/31由假设知又由可得追击问题的当时,36,追击问题,37,2024/8/7,例,7,设靶机以水平速度,u,飞行，飞行高度为,h,，,地对空导弹从,O,点发射，其飞行速率为常数,v,，试求相对飞行轨迹。,h,u,v,O,追击问题372023/7/31例7 设靶机以水平速度 u飞,37,追击问题,38,2024/8/7,解：根据已知条件，在图示平面直角坐标系中有：,追击问题的相对运动微分方程：,如何求解？,x,y,O,h,v,追击问题382023/7/31解：根据已知条件，在图示平面直,38,追击问题,39,2024/8/7,用极坐标系,(,以任意时刻导弹的位置为坐标原点,),，则有,追击问题的相对运动微分方程在极坐标下写成,结论？,追击问题392023/7/31用极坐标系(以任意时刻导弹的位,39,