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,目录 上页 下页 返回 结束,2.2,解的存在惟一性定理,引入：对于给定的微分方程,它的通解一般有无限多个,而给定初始条件后,其解有时惟一,有时不惟一,.,确定给定初始条件的微分方程解的存在惟一性十分重要,:,(,一,),它是数值解和定性分析的前提,;,(,二,),若实际问题中建立的方程模型的解不是,存在且惟一的,该模型就是一个坏模型,.,目录 上页 下页 返回 结束 2,而同一方程满足,例,1,:,初值问题 有解,:,在,.,的解为,:,.,它的存在区间为,例,2:,初值问题,的解为,:,存在区间为,而同一方程满足例1:初值问题,例,3:,初始值问题,:,有无穷多解,存在区间为,:,例3:初始值问题:有无穷多解,存在区间为:,2.2.1,例子和思路,例,4:,证明初值问题,的解存在且惟一,。,证：若,是初始值问题的解,两端积分,满足,反之，若一个连续函数,满足,则它是,的解,。,2.2.1例子和思路的解存在且惟一。证：若是初始值问题的解,取,来证明,构造迭代序列,有解,取来证明构造迭代序列有解,由于,收敛，且,代入验证函数,为初值问题,的解,这就得到解的存在性。,惟一性证明,:,设有两个解,则,可微，且满足,这就证明了惟一性。,由于收敛，且代入验证函数为初值问题的解,这就得到解的存在,2.2.2,存在惟一性定理及其证明,设,在矩形区域,上连续，如果有常数,L0,使得对于所有的,都有,:,考虑微分方程,:,Lipschitz,条件,:,(2.2.3),2.2.2 存在惟一性定理及其证明设在矩形区域上连续，如果有,L,称为,Lipschitz,常数。,则称,在,R,上关于,y,满足,Lipschitz,条件。,注,:,若,关于,y,的偏导数连续,则,则,在,R,上关于,y,满足,Lipschitz,条件。,L 称为 Lipschitz 常数。则称在R上关于y满足 L,定理,1:,在,R,上连续且关于,y,满足,在区间,Lipschitz,条件，则初值问题,一的解，其中,上存在惟,证明：,若,（）,将初值问题解的存在惟一性化为积分方,程的解的存在惟一性,思路：,(2.2.3),定理1:在R上连续且关于y满足在区间Lipschitz条件,（）构造积分方程迭代函数序列，并证明该,序列收敛,（）证明该序列的极限是积分方程的解,（）证明惟一性,仅考虑,上存在,.,详细证明：,的解等价。,(1),等价积分方程,初值问题,与积分方程,(2.2.3),（）构造积分方程迭代函数序列，并证明该（）证明该序列的极,（,2,）构造,Picard,迭代数列,这样就得到一个连续函数列,Picard,迭代序列,。,它称为,（2）构造 Picard 迭代数列这样就得到一个连续函数,（,3)Picard,序列的收敛性,引理,1.1,对于一切,续且满足,连,.,证明,:,显然对一切的,都有,有定义且连,则,上满足,:,设,在区间,续,（3)Picard 序列的收敛性引理1.1 对于一切续,证明：,考虑函数项级数,它的前,估计级数通项,:,于是,的一致收敛性与级数的一致收敛性等价。,引理,2.2,上一致收敛。,函数列,项的部分和为,:,证明：考虑函数项级数它的前估计级数通项:于是的一致收敛性与级,其中第二个不等式由,Lipschitz,条件可以得到，,设：,对,有,其中第二个不等式由Lipschitz条件可以得到，设：对有,于是，由数学归纳法得，对于所有自然数,k,，有,级数在,上一致收敛。,因为正项级数,收敛,由,Weiestrass,判,别法知，,设,:,由,的连续性和一致收敛性可得,:,在,上连续,.,于是，由数学归纳法得，对于所有自然数k，有级数在上一致收敛。,（,4,）,Picard,迭代数列的极限函数就是积分,方程,的连续解。,引理,1.3,是积分方程定义于,上的连续解。,证明：,由,Lipschitz,条件,以及,在,上的一致收敛，,得出函数序列,在,上一,（4）Picard 迭代数列的极限函数就是积分方程的连续解。,因而对,取极限，得,即,这表明,是积分方程的连续解。,收敛于函数,.,因而对取极限，得即这表明是积分方程的连续解。收敛于函数.,（,5,）解的惟一性,证明：,则,引理,1.4,上的,连续解，则必有,是积分方程在,设,和,令,（5）解的惟一性证明：则引理 1.4上的连续解，则必有是,上的连续可微函数，,则,是定义于,且,令,于是,上的连续可微函数，则是定义于且令于是,注,1:,定理中,的几何意义,:,故取,.,注,2:,函数,的连续性得解的存在性,Lipschitz,条件得解的惟一性,注,:,定理的结论只是在局部范围内给出解的存,惟一性在许多情况下，可反复使用该定理，,使,解的范围延拓到最大的区间,则在,解有可能跑到,之外,注1:定理中的几何意义:故取.注2:函数的连续性得解的存在性,的解,证明,：取,在矩形区域：,连续，且它关于,y,有连续的偏导数。,计算,例,证明初始值问题：,的解证明：取在矩形区域：连续，且它关于y有连续的偏导数。计算,对,等价的积分方程得,故由解得存在唯一性定理可知，初始值问题的解,内存在唯一，当然也在,内存在唯一。,对等价的积分方程得故由解得存在唯一性定理可知，初始值问题的解,对于任意的正数,函数,在,内连续，且对,有连续的偏导数,因,任意先取,使,最大,解：,的解存在唯一的区间,例讨论初始值问题,对于任意的正数函数在内连续，且对有连续的偏导数因任意先取,显然,使得,最大，且,取,则由定理得解的存在惟一区间为：,再使用依次存在惟一性定理：,，以,令,为区域的中心，讨论,新的初始值问题：,显然使得最大，且取则由定理得解的存在惟一区间为：再使用依次存,当,时，,取得最大值,此时,故取,可得到解在,上存在，事实上，初值问题的解是：,存在区间为：,当时，取得最大值此时故取可得到解在上存在，事实上，初值问题的,内容小结,微分方程解的存在惟一性,迭代法构造解的思想,内容小结微分方程解的存在惟一性迭代法构造解的思想,
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