常微分方程教程课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,常微分方程教程,丁同仁、李承治编,常微分方程教程丁同仁、李承治编,1,主要参考书：,东北师范大学数学系编写的高等学校教材常微分方程,复旦大学数学系金福临等编写的常微分方程（上海科技出版社第二版）；,南京大学数学系叶严谦等编写的常微分方程讲义；,中山大学数学希望高雄等编写的常微分方程（高教第二版）.,主要参考书：东北师范大学数学系编写的高等学校教材常微分方程,2,第一章 基本概念,1.1 微分方程模型,第一章 基本概念1.1 微分方程模型,3,例,1,求平面上过点,(1,3),且每点切线斜率为横坐标,2,倍的曲线方程,.,解,:,设所求的曲线方程为,由导数的几何意义,应有,即,又由条件,:,曲线过,(1,3),即,于是得,故所求的曲线方程为,:,例1 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲,4,例,2,物理冷却过程的数学模型,将某物体放置于空气中,在时刻,时,测得它的温度为,10,分钟后测量得温度为,试决定此物,体的温度,和时间,的关系,并计算,20,分钟后物体的温度,.,这,里假设空气的温度保持在,例2 物理冷却过程的数学模型 将某物体放置于空气中,5,解,:,Newton,冷却定律,:,1.,热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导,;,2.,在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比,.,设物体在时刻,的温度为,根据导数的物理意义,则,温度的变化速度为,由,Newton,冷却定律,得到,其中,为比例系数,.,此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型,.,注意,:,此式子并不是直接给出,和,之间的函数关系,而只是给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式,.,如何由此式子求得,与,之间的关系式,以后再介绍,.,解:Newton 冷却定律:设物体在时刻,6,例,3 R-L-C,电路,如图所示的,R-L-C,电路,.,它包含电感,L,电阻,R,电容,C,及电源,e(t).,设,L,R,C,均为常数,e(t),是时间,t,的已知函数,.,试求当开关,K,合上后,电路中电流强度,I,与时间,t,之间的关系,.,例3 R-L-C电路 如图所示的R-L-C电路.它,7,解,:,电路的,Kirchhoff,第二定律,:,在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零,.,设当开关,K,合上后,电路中在时刻,t,的电流强度为,I(t),则电流,经过电感,L,电阻,R,和电容的电压降分别为,其中,Q,为电量,于是由,Kirchhoff,第二定律,得到,因为,于是得到,这就是电流强度,I,与时间,t,所满足的数学关系式,.,解:电路的Kirchhoff第二定律:设,8,例,4,数学摆,数学摆是系于一根长度为,的线上而质量为,的质点,M.,在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周运动,.,如图所示,.,试确定摆的运动方程,.,解,:,Newton,第二定律,:,取反时针运动方向为计量摆与铅垂线,所成的角,的正方向,.,则由,Newton,第二定律,得到摆的运动方程为,附注,1:,如果研究摆的微小振动,即当,比,较小时,可以取,的近似值,代入上,式,这样就得到微小振动时摆的运动方程,:,例4 数学摆 数学摆是系于一根长度为,9,附注,2:,假设摆是在一个有粘性的介质中作摆动,如果阻力系数为,则摆的运动方程为,:,附注,3:,假设摆还沿着摆的运动方向受到一个外力,F(,t),的作用,则摆的运动方程为,:,附注2:假设摆是在一个有粘性的介质中作摆动,如果阻力系,10,例5,追击问题,假设敌舰从原点出 发以速度a沿y轴正向行驶，同时有鱼雷从点 出发以速度b追击敌舰，求鱼雷的运动路线（称为追线）。,解:,设时间t，敌舰到达R(0,at)，鱼雷到达P(x,y),追赶时,鱼雷总是向敌舰所在的位置方向追赶，即dt时刻内，鱼雷的运动方向为 ，设在时刻t+dt，鱼雷到达,则P,P,R三点一线，如右图所示。,例5 追击问题解:设时间t，敌舰到达R(0,at)，鱼雷,11,从而,即,此为带有微分的方程.,从而即此为带有微分的方程.,12,战争分类：正规战争，游击战争，混合战争,只考虑双方兵力多少和战斗力强弱,兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加,战斗力与射击次数及命中率有关,第一次世界大战,Lanchester,提出预测战役结局的模型,例6 正规战与游击战,战争分类：正规战争，游击战争，混合战争只考虑双方兵力多少和战,13,每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,每方非战斗减员率与本方兵力成正比,甲乙双方的增援率为,u,(,t,),v,(,t,),f,g,取决于战争类型,x,(,t,)甲方兵力，,y,(,t,)乙方兵力,模型,假设:,每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 每方非战斗减员率与,14,忽略非战斗减员,假设没有增援,f,(,x,y,)=,ay,a,乙方每个士兵的杀伤率,a,=,r,y,p,y,r,y,射击率，,p,y,命中率,如正规战争：双方均以正规部队作战,甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力,b,甲,方每个士兵的杀伤率,忽略非战斗减员 假设没有增援f(x,y)=ay,a,15,事实上，很多问题的处理都归结为一个(或几个）带有微分的方程，如：,传染病模型,经济增长模型,正规战与游击战,药物在体内的分布与排除,香烟过滤嘴的作用,人口预测和控制,烟雾的扩散与消失,万有引力定律的发现,事实上，很多问题的处理都归结为一个(或几个）带有微分的方程，,16,把联系自变量、未知函数及未知函数导数,（或微分）的关系式称为,微分方程,.,1.2,基本概念,如果其中的未知函数只与一个自变量有关，,则称为,常微分方程,；,如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，,并且在方程中出现偏导数，则称为,偏微分方程,.,本书主要介绍常微分方程,.,有时就简称,微分方程或方程,.,未知函数最高阶导数的阶数，称为,方程的,阶,.,定义1.1:,把联系自变量、未知函数及未知函数导数 1.2 基,17,例如下面的方程都是微分方程,一阶常微分方程,一阶常微分方程,二阶常微分方程,四阶常微分方程,二阶偏微分方程,例如下面的方程都是微分方程一阶常微分方程一阶常微分方程二阶常,18,(6)式是n阶常微分方程的一般形式（,n,阶隐式方程,）。,n,阶显式方程,的一般形式为,n阶常微分方程,在方程(6)中，如果左端函数,F,对未知函数,y,和它的各阶导数,y,y,的全体而言是一次的，则称为,线性常微分方程,，否则称它为,非线性常微分方程,.这样，一个以,y,为未知函数，以,x,为自变量的,n,阶线性微分方程具有如下形式：,(6)式是n阶常微分方程的一般形式（n 阶隐式方程）。,19,通解与特解,微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下,:,定义,1.2,在区间,上连续，且有直到,n,阶的,代入方程(6)，得到在区间,则称,为方程(6)在区间,上的一个,解,.,导数.如果把,上关于,的恒等式,即,设函数,通解与特解微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下:定义1,20,从定义1.2可以直接验证：,1.函数 是方程,在区间(-，+)上的解，其中,C,是任意的常数,.,2.函数,是方程,和,是独立的,在区间(-，+)上的解，其中,任意常数.,从定义1.2可以直接验证：1.函数,21,3.函数 是方程,在区间(-，+)上的解，其中,是任意的常数,.,从上面的例子中，可以看到一个重要事实，那就是,微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数,的个数可以多到与方程的阶数相等（也可以不含任,意常数）.,3.函数,22,把,n,阶常微分方程,定义,1.3,的含有n个独立的任意常数,的解,称为该方程的,通解,，,如果方程的解,不包,含任意常数，则称它为,特解,.,由隐式表出的通解称为,通积分,把n阶常微分方程定义1.3的含有n个独立的任意常数的解称为该,23,例如,函数 是方程,在区间(-，+)上的通解，其中,是任意的常数,.,而,y=1而是方程的一个特解。,例如 函数,24,例 自由落体设质量为,m,的物体，在时间,t,=0时，在距,地面,高度为H处以初始速度,垂直地面下落，求此物体下落时距离与时间的关系.,解:如图建立坐标系.,设y=y(t)为t时刻物体的位置坐标.,则易得物体下落所满足的方程为,y=-g （*）,其中 g 是重力加速度.,初值问题,例 自由落体设质量为m的物体，在时间t=0时，在距,25,这表明方程(*)有无数个解,，,原因是未考虑初始,状态。为了确定相应的运动，考虑,初始条件,：,于是，得到所要求的自由落体的运动方程为,得,是通解，,其中 是两个任意常数。,容易验证,这表明方程(*)有无数个解，原因是未考虑初始于是，得到所要求,26,综上所述，自由落体的问题可归结为求如下,初值问题（,柯西问题（cauchy)）,的解：,对于一般的,n,阶方程，,初值问题（柯西问题）,的一般提法是：,综上所述，自由落体的问题可归结为求如下初值问题（对于一般的n,27,例 求方程,的满足初值条件,的解,.,解:方程通解为,求导数后得,将初值条件代入，得到方程组,例 求方程的满足初值条件的,28,解出,故所求特解为,解出 故所求特解为,29,1.2 微分方程及其解的几何解释,为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图象.,一阶方程的一个特解,的图象是平面上的一条曲线，称为,方程的,积分曲线,，而通解的图象是平面上的一族曲线，,称为,积分曲线族,.,线素，线素场，方向场，等斜线,1.2 微分方程及其解的几何解释为了便于研究方程解的性质,30,