第十章-能量法课件

18/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法材料力学材料力学(II)中国地质大学工程学院力学课部28/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法第十章能量法10.1概述10.2应变能.余能10.3卡氏定理10.4用能量法解超静定问题*10.5虚位移原理及单位力法38/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法10.1概述能量原理能量原理：固体力学中运用功与能有关的基本原理统称为能量原理。能量原理是在总体上从功与能的角度考察变形体系统的受力、应力与变形的原理与方法，是进一步学习固体力学的基础，也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的重要基础。前面解决了强度问题（简单变形组合变形）刚度问题怎么办？1、能否避免组合变形的微分方程？2、能否只求出若干控制点的变形，避免求整个变形曲线用揭示本质法寻根 能量法48/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法1.能量法：能量法：利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。2.能量法的应用范围十分广泛：能量法的应用范围十分广泛：（1）线弹性体；非线性弹性体（2）静定问题；超静定问题（3）是有限单元法的重要基础o优点：优点：o1.不管中间过程，只算最终状态o2.能量是标量，容易计算58/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法10.2应变能.余能一、条件一、条件大前提：1、小变形小变形；2、服从胡克定律线弹性体线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的线性函数小前提：缓慢加载缓慢加载变力做功，功只转成变形位能（不转成动能、热能）68/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法基于能量守恒原理，外力功在数值上等于存储在弹性体内的变形能。即U=W2.杆件的变形能例如，图示悬臂梁，在自由端受到集中力P作用。外力功：变形能：或在数值上，U=W78/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法外力功的表达式外力功的表达式思考：外力功在P-曲线上的几何意义?线弹性小变形下的外力功载荷-位移(P-D)曲线静加载下的外力功88/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法内力功（变形能）的表达式内力功（变形能）的表达式应力-应变(-)曲线线弹性材料的弹性比能弹性材料的弹性比能98/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法直杆的轴向拉伸与压缩直杆的轴向拉伸与压缩*以上分析，杆件均为线性弹性材料制成*长为L的线弹性直杆，其截面抗拉压刚度为EA。当轴力N=常数时，杆的变形能为U=W=当轴力N=N(x)时，杆的变形能为108/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法圆轴扭转圆轴扭转*以上分析，杆件均为线性弹性材料制成*而且杆件为等截面圆杆（实心、空心、薄壁）*长为L的等截面圆杆，其截面扭转刚度为GIp。当扭矩MT=常数时，杆的变形能为U=W=当扭矩MT=MT(x)时，杆的变形能为118/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法平面弯曲直梁平面弯曲直梁*以上分析，杆件均为线性弹性材料制成*而且只考虑了弯曲正应力产生的变形能*长为L的等直杆，横截面弯曲刚度为EI。当弯矩M=常数时，杆的变形能为U=W=当弯矩M=M(x)时，杆的变形能为128/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法比较基本变形杆件的变形能计算公式比较基本变形杆件的变形能计算公式变形能=内力功=(内力2)杆件长度2(杆件刚度)变形能=弹性比能杆件的体积138/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法弯曲切应力产生的变形能弯曲切应力产生的变形能解：在梁的长度方向上，FS=P；0 x4h，D10h，D1；并知1、2两杆的杆长为l。试用余能定理计算各杆的内力。解：取D处的支反力X为多余未知力。基本静定系统如图b。FBDCA132(a)BA(b)DC132XF 由图b的平衡得各杆轴力：498/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法余能密度为：BA(b)DC132XF 508/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法注意到D处的变形相容条件D=0及余能定理D=Vc/X解得总余能为这种以力为基本未知量，把它的求解当作关键性问题的方法称为这种以力为基本未知量，把它的求解当作关键性问题的方法称为力法力法力法力法518/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法例试用卡氏第二定理求图a所示刚架的支反力。已知两杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对刚架变形的影响。解：取B处的支反力X为多余未知力。基本静定系统如图(b)。BD段各段弯矩及其对X的偏导如下eMa=5mq=10kN/ma2a2CDBA=50kNm(a)DqAa2Ca2BMeyxX(b)DC段528/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法注意到B处的变形相容条件wB=0及卡氏第二定理解得进一步对图b列平衡方程，可得A处的支反力CA段DqAa2Ca2BMeyxX(b)538/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法例图a所示两端固定半圆环在对称截面处受集中力F作用。环轴线的半径为R，弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对圆环变形的影响。试用卡氏第二定理求对称截面上的内力。FR(a)548/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法解：基本静定系统如图b。切口处相应的多余未知力分别用X1、X2和X3表示。与X1、X2和X3对应的广义位移分别为两切开截面的相对分开量、相对转角和相对错动量。值均为0。F22FjX11X2X3XX3X2（b）结合卡氏第二定理得补充方程（取1/4圆环）：558/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法其中：解得：568/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法在外力作用下处于平衡的梁，任意给它一个虚位移，则外力在虚位移上所作的外力虚功等于梁的内力在虚变形上所作的虚变形功或内力虚功，这便是虚功原理虚功原理。外力虚功=内力虚功外力虚功=虚应变能*10.5虚位移原理及单位力法P(实际载荷实际载荷)(单位载荷单位载荷)xdx内力：变形：变形：内力：1、虚功原理、虚功原理578/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法内力：变形：变形：内力：内力虚元功虚应变元能外力虚功588/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法在外力作用下处于平衡的梁，任意给它一个虚位移，则外力在虚位移上所作的外力虚功等于梁的内力在虚变形上所作的虚变形功或内力虚功，这便是虚功原理。虚功原理的适用范围如何？虚功原理的适用范围如何？线弹性、小变形条件下即线弹性、小变形条件下的莫尔定理（莫尔积分）598/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法线弹性、小变形条件下的莫尔定理（莫尔积分）其中最常用于计算梁的变形的莫尔积分对于一段同材料等截面（等刚度）梁，则下面介绍一种由图形互乘代替积分的方法608/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法2、图乘法、图乘法设M0(x)=ax+b（一段斜线），积分项即当M0图中为一段斜线时，莫尔积分项等于M图的面积与M0图中与M图形心坐标对应的函数值。提问：当M图中为一段斜线时，上述结论应该怎样？618/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法常见图形的形心和面积直角三角形二次抛物线二次抛物线面积1=bh/2面积2=2bh/3面积3=bh/3bb/3h3b/8b顶点hb/4b顶点h628/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法例题图示梁，求中点C的挠度。利用弯矩图的对称性可简化计算。解：画出弯矩图M(图b)和M0(图c).638/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法例题图示梁，求载荷作用点的挠度。解：画出弯矩图M(图b)和M0(图c).648/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法3、力法正则方程、力法正则方程 例题悬臂梁AB如图所示，A、B端固支。问题为三次超静定。除掉A端固支，得到包含未知反力的静定结构，称为静定基。利用叠加原理，分别画出外载荷（图b)；支反力X1和X2（图b和图c)单独作用图。式中，分别表示外载荷在静定基中X1和X2方向上产生的位移。658/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法按照归一化要求，改写式中，为Xi方向上的总位移；为外载荷(P)在静定基中在Xi方向上的位移；为未知反力Xj=1在静定基中作用在Xi方向上的位移；上式称为力法正则方程，称为柔度系数。668/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法利用莫尔积分，正则方程中的柔度系数写为提问：对二次静不定问题要作几个弯矩图，用莫尔图乘法，要作几次图乘？三次静不定问题呢?提问：运用前面的知识，证明柔度系数具有对称性 d dij=d dji678/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法例题悬臂梁AB如图所示，A、B端固支。求支反力。解：画静定基（图a)，分别画弯矩图b-d；688/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法代入力法正则方程，得解联立方程组得，698/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法例题内力为一次静不定桁架如图(a)所示，设各杆EI相同，求两种情况下的各杆轴力：(1)在力P的作用下；(2)P=0，但杆5升温T，已知材料膨胀系数。解：(1)断开杆5，加一对约束内力X1即得静定基如图(b)所示。708/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法杆号 i杆长Li轴力Ni轴力N0i1aP2aP3a04aP50161由表中数据计算，得到718/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法(2)仅有杆5升温，正则方程为11X1+1T=01T=l5T是因杆5升温而引起的相对位移代入正则方程11X1+1P=0得其余各杆的内力请读者自行算之。728/7/2024材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法第十章结束