第十一章振动学基础课件

第十一章 振动学基础简谐振动阻尼振动受迫振动和共振简谐振动的合成电磁振动 简谐振动是最简单、最基本的振动，任何复杂的振动简谐振动是最简单、最基本的振动，任何复杂的振动都可看作是若干简谐振动的合成。都可看作是若干简谐振动的合成。振动振动 机械振动机械振动基本概念：基本概念：v振动振动:任何一个物理量随时间的周期性变化称为振动。任何一个物理量随时间的周期性变化称为振动。v机械振动：物体在一定位置附近所作的来回往复的运机械振动：物体在一定位置附近所作的来回往复的运 动称为机械振动。动称为机械振动。例例1 1：拨动琴弦：拨动琴弦例例2 2：正在发生声音的锣、鼓：正在发生声音的锣、鼓例例3 3：钟摆的运动：钟摆的运动 v 弹簧振子弹簧振子 一一个个质质量量可可以以忽忽略略的的轻轻质质弹弹簧簧，一一端端被被固固定定不不动动,另另一一端端与与质质量量为为m m的的物物体体相相连连，物物体体与与地地面面的的摩摩擦擦力力忽忽略略不计。不计。11-1 弹簧振子和简谐振动弹簧振子一、简谐振动的基本特征及其表示一、简谐振动的基本特征及其表示v简谐振动简谐振动根据胡克定律根据胡克定律简谐振动简谐振动运动方程运动方程v线性回复力：所受力的大小与它的位移大小成正比，力线性回复力：所受力的大小与它的位移大小成正比，力 的方向与位移方向相反，具有这种性质的力的方向与位移方向相反，具有这种性质的力 称为线性回复力。称为线性回复力。位移可用时间的余弦（或正弦）函数来描述的运动位移可用时间的余弦（或正弦）函数来描述的运动位移满足微分方程位移满足微分方程:取决于振动系统本身取决于振动系统本身简谐振动的特征：简谐振动的特征：物体在线性回复力作用下运动物体在线性回复力作用下运动v简谐振动：任何物理量简谐振动：任何物理量x x的变化规律若满足的变化规律若满足 ，并且并且 是取决于系统自身的常量，则该物理量是取决于系统自身的常量，则该物理量 的变化过程就是简谐振动。（普遍）的变化过程就是简谐振动。（普遍）二、描述简谐振动的特征量二、描述简谐振动的特征量v振幅：振幅：振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。A(m)A(m)v周期周期:物体完成一次全振动所需的时间称为周期物体完成一次全振动所需的时间称为周期.T(s).T(s)弹簧振子v频率频率:物体在单位时间内所完成全振动的次数物体在单位时间内所完成全振动的次数。(Hz)(Hz)v角频率：物体在角频率：物体在2 2秒内完成全振动的次数。秒内完成全振动的次数。rad/srad/s:角频率或圆频率；固有频率，本征频率角频率或圆频率；固有频率，本征频率v相位：相位：(t+)v初相位：初相位：t=0t=0时刻的相位时刻的相位。（-，）v 简谐运动的速度与加速度简谐运动的速度与加速度谐振子位移速度 在振幅在振幅A A和角频率和角频率已知的情况下，振动物体的位置和已知的情况下，振动物体的位置和速度完全由相位速度完全由相位(t+)决定。决定。在振幅在振幅A A和角频率和角频率已知的情况下，振动物体在初始时已知的情况下，振动物体在初始时刻的运动状态完全由初相位刻的运动状态完全由初相位 决定。决定。令令t=0=0单摆与复摆单摆与复摆 单单摆摆与与复复摆摆的的结结构构如如图图所所示示.它它们们的的受受力力都都可可以以用用简简谐谐振振动动方方程程描描述述.其其运运动动都都可可以以用用简简谐谐运运动动方方程表示程表示.都是谐振子的一种都是谐振子的一种.mgmg单 摆【例例】设弹簧振子如下图所示设弹簧振子如下图所示,用外力将物块拉到距平衡用外力将物块拉到距平衡位置位置 x=6cm x=6cm 处处,然后撤掉外力然后撤掉外力,以撤掉外力的时刻为计时以撤掉外力的时刻为计时起点起点,求该振动的运动方程求该振动的运动方程.设物块质量设物块质量 m=0.02kg,m=0.02kg,弹簧弹簧劲度系数劲度系数0.020.02 2 2N Nm m-1-1.解：以解：以x x轴向右为正方向建立坐标系轴向右为正方向建立坐标系【例例】在什么情况下，简谐振动的速度和加速度同号？在什么情况下，简谐振动的速度和加速度同号？在什么情况下是异号的？加速度为正值时，振动质点一在什么情况下是异号的？加速度为正值时，振动质点一定是加快地运动吗？反之，加速度为负值时，肯定是减定是加快地运动吗？反之，加速度为负值时，肯定是减慢地运动吗慢地运动吗 当当物物体体背背离离平平衡衡位位置置方方向向运运动动时时，速速度度与与加加速速度方向相反。度方向相反。加加速速度度的的正正负负是是相相对对于于所所选选定定的的坐坐标标而而言言的的，它它不能反映处物体运动的快慢。不能反映处物体运动的快慢。只只有有当当物物体体加加速速度度与与速速度度同同向向时时，物物体体才才加加速速，异向则减速异向则减速答答：物物体体做做简简谐谐振振动动时时，加加速速度度的的方方向向恒恒指指向向平平衡衡位位置置 ，所所以以当当物物体体向向平平衡衡位位置置运运动动时时二二者者的的方向相同。方向相同。求解简谐运动方程的一般过程：求解简谐运动方程的一般过程：根据题意确认振动过程为简谐运动根据题意确认振动过程为简谐运动.建立适合求解的坐标系建立适合求解的坐标系.根据已给条件求出振幅与圆频率根据已给条件求出振幅与圆频率.根据初始位置和初始速度求出初相位根据初始位置和初始速度求出初相位.将得到的各参数带入运动方程通解得到适合题意将得到的各参数带入运动方程通解得到适合题意的特解的特解.三、简谐振动的矢量图解法和复数解法三、简谐振动的矢量图解法和复数解法旋转矢量法v 简谐振动的矢量图解法简谐振动的矢量图解法 矢矢量量 以以匀匀角角速速度度绕绕坐坐标标原原点点做做逆逆时时针针转转动动，则则矢量末端在矢量末端在x x轴上的投影点的运动表示简谐振动。轴上的投影点的运动表示简谐振动。四、简谐振动的能量四、简谐振动的能量例：弹簧振子例：弹簧振子弹簧振子的机械能弹簧振子的机械能 振振动动过过程程中中总总能能量量守守恒恒.能能量量的的形形式式在在动动能能和和势势能能之间相互转换之间相互转换.解：单摆周期为解：单摆周期为【例例】曾有人提议，用长度恰为一米的单摆，由路程的一曾有人提议，用长度恰为一米的单摆，由路程的一端，摆到另一端所需的时间（半周期）作为时间端，摆到另一端所需的时间（半周期）作为时间1s1s的定义的定义,如果如果 ，由此定义所得结果误差是多少？，由此定义所得结果误差是多少？【例例】如图所示，弹簧振子放在倾角为如图所示，弹簧振子放在倾角为的斜面上，弹的斜面上，弹簧一端固定，则该弹簧振子的频率为（簧一端固定，则该弹簧振子的频率为（）A.A.B.B.C.C.D.D.【例例】如图所示，质量为如图所示，质量为m m的物体两边各联着劲度系数为的物体两边各联着劲度系数为 及及 的弹簧，将两个弹簧的另一端固定，弹簧与物的弹簧，将两个弹簧的另一端固定，弹簧与物体均置于一光滑水平面上，如果使物体平行于弹簧的方向体均置于一光滑水平面上，如果使物体平行于弹簧的方向振动，则其频率为（振动，则其频率为（）A.A.B.B.C.C.D.D.【例例】如图所示，两根弹簧的劲度系数为如图所示，两根弹簧的劲度系数为 及及 ，则振动系统的频率为是则振动系统的频率为是解：设串联弹簧的等效劲度系数为解：设串联弹簧的等效劲度系数为k，则，则 、分别为两弹簧的伸长量，满足分别为两弹簧的伸长量，满足 【例例】一物体沿一物体沿x轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为0.120.12m,周期为周期为2 2s。当当t=0t=0时位移为时位移为0.060.06m，且向，且向x轴正方向运动，求轴正方向运动，求初相位；初相位；t=0.5=0.5s时，物体的位置、速度和加速度；时，物体的位置、速度和加速度；在在x=-0.06=-0.06m处，且向处，且向x轴负方向运动时，物体的速度和加轴负方向运动时，物体的速度和加速度，以及从这一位置回到平衡位置所需的时间。速度，以及从这一位置回到平衡位置所需的时间。解：解：【例例】一物体沿一物体沿x轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为0.120.12m,周期为周期为2 2s。当当t=0t=0时位移为时位移为0.060.06m，且向，且向x轴正方向运动，求轴正方向运动，求初相位；初相位；t=0.5=0.5s时，物体的位置、速度和加速度；时，物体的位置、速度和加速度；在在x=-0.06=-0.06m处，且向处，且向x轴负方向运动时，物体的速度和加轴负方向运动时，物体的速度和加速度，以及从这一位置回到平衡位置所需的时间。速度，以及从这一位置回到平衡位置所需的时间。解：解：将将t=0.5=0.5s代人得代人得:【例例】一物体沿一物体沿x轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为0.120.12m,周期为周期为2 2s。当当t=0t=0时位移为时位移为0.060.06m，且向，且向x轴正方向运动，求轴正方向运动，求在在x=-0.06=-0.06m处，且向处，且向x轴负方向运动时，物体的速度和加轴负方向运动时，物体的速度和加速度，以及从这一位置回到平衡位置所需的时间。速度，以及从这一位置回到平衡位置所需的时间。解：解：11.2 阻尼振动 实实际际中中振振动动物物体体不不可可避避免免地地要要受受到到阻阻力力的的作作用用，振振动系统能量不断损耗，振幅逐渐减小，最终停止。动系统能量不断损耗，振幅逐渐减小，最终停止。弱阻尼弱阻尼临界阻尼临界阻尼过过 阻阻 尼尼v阻尼振动阻尼振动能量损失能量损失介质对振动物体的摩擦阻力介质对振动物体的摩擦阻力 热运动的能量热运动的能量振动物体引起邻近质点的振动振动物体引起邻近质点的振动 波动的能量波动的能量振动系统所受阻力振动系统所受阻力：阻力系数：阻力系数,由物体的形状、大小、表面情况及介由物体的形状、大小、表面情况及介 质的性质决定质的性质决定阻尼振动是在阻尼振动是在线性回复力线性回复力和和阻力阻力作用下的振动作用下的振动：无阻尼时振动系统的固有圆频率无阻尼时振动系统的固有圆频率：阻尼系数。与振动系统及介质有关阻尼系数。与振动系统及介质有关v阻尼振动阻尼振动：临界阻尼临界阻尼：欠阻尼欠阻尼(阻力较小阻力较小)：过阻尼过阻尼(阻力较大阻力较大)总结：总结：质点作运动范围不断缩小的往复运动质点作运动范围不断缩小的往复运动振幅按指数规律衰减，振幅按指数规律衰减，越大，衰减越快；越大，衰减越快；不是周期性运动不是周期性运动振动变慢振动变慢随着时间的推移，质点趋于静止随着时间的推移，质点趋于静止动画演示动画演示v弱阻尼弱阻尼 当当把把物体移开平衡位置物体移开平衡位置然后释放，物体将缓慢回到然后释放，物体将缓慢回到平衡位置停下来。平衡位置停下来。例如：将一个弹簧振子放例如：将一个弹簧振子放在粘性较大的机油中在粘性较大的机油中 当把物体移开平衡位置然后释放，物体将很快回到平衡当把物体移开平衡位置然后释放，物体将很快回到平衡位置并停下来。位置并停下来。临界阻尼临界阻尼过过 阻阻 尼尼v过过阻尼阻尼v临界阻尼临界阻尼一、受迫振动一、受迫振动注：驱动力所做的功，用于补偿因阻尼损失的能量注：驱动力所做的功，用于补偿因阻尼损失的能量受迫振动达到稳定状态后的运动学方程为受迫振动达到稳定状态后的运动学方程为v受迫振动：受迫振动：振动系统在连续的周期性外力振动系统在连续的周期性外力(驱动力驱动力)作用作用 下发生的振动，叫做受迫振动。下发生的振动，叫做受迫振动。稳定状态受迫振动的振幅为稳定状态受迫振动的振幅为11.3 受迫振动和共振二、共振二、共振v共振：共振：当驱动力角频率与振动系统的固有频率接近时受迫当驱动力角频率与振动系统的固有频率接近时受迫 振动振幅急剧增大的现象振动振幅急剧增大的现象.共振振幅为共振振幅为讨论：讨论：阻尼越小，共振频率越接近系统固有圆频率，共振振幅越阻尼越小，共振频率越接近系统固有圆频率，共振振幅越大；大；当阻尼无限变小时，共振频率无限接近于振动系统的固有当阻尼无限变小时，共振频率无限接近于振动系统的固有频率，振幅趋于无穷大。频率，振幅趋于无穷大。11-4 简谐振动的合成振动分解振动分解：把一个复杂的振动分解为几个简单振动：把一个复杂的振动分解为几个简单振动 实际问题实际问题：一个质点同时参与几个振动的情况。：一个质点同时参与几个振动的情况。例如：两列声波同时传到某一点时，该点处的空气质点就例如：两列声波同时传到某一点时，该点处的空气质点就 同时参与两个振动。同时参与两个振动。振动合成振动合成：根据运动叠加原理，质点的运动实际上是两个振动的合成根据运动叠加原理，质点的运动实际上是两个振动的合成一、同方向、同频率的两个简谐振动的合成一、同方向、同频率的两个简谐振动的合成设两个振动方程分别为设两个振动方程分别为合振动为合振动为讨论：合振动仍为简谐振动讨论：合振动仍为简谐振动振动减弱振动减弱振动加强振动加强动画演示动画演示二、同方向、不同频率的两个简谐振动的合成二、同方向、不同频率的两个简谐振动的合成简单情况：两振动振幅和初相位相同简单情况：两振动振幅和初相位相同讨论：讨论：合振动不是简谐振动，是周期性振动；合振动不是简谐振动，是周期性振动；周期为分振动周期的最小公倍数，频率比为整数时，合周期为分振动周期的最小公倍数，频率比为整数时，合振动频率与分振动中的最低频率相同；振动频率与分振动中的最低频率相同；随时间缓慢变化随时间缓慢变化角频率近于角频率近于 1和和 2的简谐函数的简谐函数频率相近频率相近的两个简谐振动的合成的两个简谐振动的合成合振动：角频率为合振动：角频率为振幅为振幅为v拍：振动方向相同，频率相近的两个简谐振动合振动的振拍：振动方向相同，频率相近的两个简谐振动合振动的振 幅时强时弱幅时强时弱(周期性变化周期性变化)的现象。的现象。合振幅变化一个周期叫做一拍。合振幅变化一个周期叫做一拍。v拍频：单位时间内拍出现的次数。拍频：单位时间内拍出现的次数。振幅的周期为振幅的周期为拍频为拍频为例：双簧管例：双簧管例：两个频率相同的音叉，其中一个套上一个小铁圈例：两个频率相同的音叉，其中一个套上一个小铁圈例：校准钢琴某一键的发音例：校准钢琴某一键的发音三、两个互相垂直的简谐振动的合成三、两个互相垂直的简谐振动的合成合合振动的轨迹方程振动的轨迹方程分析：一般情况下上述方程为椭圆方程，轨道不分析：一般情况下上述方程为椭圆方程，轨道不 会超出以会超出以2A2A和和2B2B为边的矩形，轨迹取决于为边的矩形，轨迹取决于v两个简谐振动同频率两个简谐振动同频率合振动的位移合振动的位移振动范围：边长为振动范围：边长为2A2A和和2B2B的矩形的矩形合振动：简谐振动合振动：简谐振动合振动轨合振动轨迹为直线迹为直线讨论讨论:动画演示动画演示合振动的位移合振动的位移振动范围：边长为振动范围：边长为2A2A和和2B2B的矩形的矩形合振动：简谐振动合振动：简谐振动合振动轨合振动轨迹为直线迹为直线讨论讨论:动画演示动画演示 质点运动的轨道是以坐标轴为主轴的椭圆，分别沿顺质点运动的轨道是以坐标轴为主轴的椭圆，分别沿顺时针、逆时针方向运动；时针、逆时针方向运动；振动范围：边长为振动范围：边长为2A2A和和2B2B的矩形的矩形讨论讨论:动画演示动画演示 若两分振动振幅相等，则椭圆变为圆；若两分振动振幅相等，则椭圆变为圆；椭圆的性质由两个振动的相位差（椭圆的性质由两个振动的相位差（-）决定；）决定；不同相位差（不同相位差（-）所对应的合振动的轨迹）所对应的合振动的轨迹v两个简谐振动的频率差异很小两个简谐振动的频率差异很小 相位差相位差 随时间变化，合振动轨随时间变化，合振动轨迹将按图迹将按图3 37 7所示的顺序重复变化所示的顺序重复变化v互相垂直，频率是整数比的分振动合成互相垂直，频率是整数比的分振动合成 合振动轨迹为稳定的封闭曲线（合振动轨迹为稳定的封闭曲线（李萨如图形李萨如图形）动画演示动画演示11-5 电磁振荡v电磁振荡：电路中电压和电流的周期性变化。电磁振荡：电路中电压和电流的周期性变化。v振荡电路：产生电磁振荡的电路。振荡电路：产生电磁振荡的电路。LCLC电路电路：最简单的振荡电路由一个电容器与一个自感线圈：最简单的振荡电路由一个电容器与一个自感线圈 串联而成。串联而成。LC LC 振荡电路振荡电路 先使电源给电容器充电，先使电源给电容器充电，然后将电键接通然后将电键接通LCLC回路回路一、一、LCLC电路的振荡电路的振荡 LCLC回路刚被接通的瞬间，电容器两回路刚被接通的瞬间，电容器两极板上的电荷最多，板间电场最强，电极板上的电荷最多，板间电场最强，电场能量全部集中在电容器的两极板间场能量全部集中在电容器的两极板间 电容器放电，电路中电流逐渐增大电容器放电，电路中电流逐渐增大到最大，两极板上电荷逐渐减小到零，到最大，两极板上电荷逐渐减小到零，到放电终了，电容器极板间电场能量全到放电终了，电容器极板间电场能量全部转换成线圈中的磁场能量。部转换成线圈中的磁场能量。对电容器反向充电，电流逐渐减小对电容器反向充电，电流逐渐减小到零，极板上电荷逐渐增加到最大，磁到零，极板上电荷逐渐增加到最大，磁场能量又全部转换为电场能量。场能量又全部转换为电场能量。一、一、LCLC电路的振荡电路的振荡 电容器放电，电路中电流逐渐增大电容器放电，电路中电流逐渐增大到最大到最大(方向方向)，两极板上电荷逐渐减小，两极板上电荷逐渐减小到零，电容器极板间电场能量全部转换到零，电容器极板间电场能量全部转换成线圈中的磁场能量。成线圈中的磁场能量。此后，电容器又被充电，回复到原此后，电容器又被充电，回复到原状态，状态，完成一个完全的振荡过程完成一个完全的振荡过程。与弹簧振子比较：与弹簧振子比较：电荷电荷位移位移 电流电流速度速度 自感自感惯性惯性磁场能量磁场能量动能动能 电场能量电场能量势能势能v无阻尼自由振荡：电路中没有任何能量损耗，振荡一直无阻尼自由振荡：电路中没有任何能量损耗，振荡一直 持续下去。持续下去。v电路中电压和电流随时间的变化规律电路中电压和电流随时间的变化规律 Q0：电荷振幅，极板上电荷量的最大值：电荷振幅，极板上电荷量的最大值：振荡的角频率：振荡的角频率无阻尼自由振荡的频率和周期为无阻尼自由振荡的频率和周期为：电流振幅，电流的最大值：电流振幅，电流的最大值vLC振荡电路中的能量振荡电路中的能量 在任意时刻在任意时刻t t，电容器基板上的电量为，电容器基板上的电量为q，电场能量为，电场能量为设该时刻电流为设该时刻电流为i，线圈内的磁场能量为，线圈内的磁场能量为总能量为总能量为 电磁振荡过程中电能与磁能相互转换，但总的电磁电磁振荡过程中电能与磁能相互转换，但总的电磁能保持不变。能保持不变。二、阻尼振荡二、阻尼振荡任何电路中都有电阻，实际振荡电路是任何电路中都有电阻，实际振荡电路是LCR电路电路 在电路中，能量不仅以电在电路中，能量不仅以电场能和磁场能相互转换，而且场能和磁场能相互转换，而且还要变为焦耳热，还有部分能还要变为焦耳热，还有部分能量以电磁波的形式辐射出去。量以电磁波的形式辐射出去。因此，在电路中如没有电源提因此，在电路中如没有电源提供能量，振荡过程中，电荷和供能量，振荡过程中，电荷和电流的振幅都随时间逐渐减小电流的振幅都随时间逐渐减小二、受迫振荡二、受迫振荡 电共振电共振电源的电动势为电源的电动势为v受迫振荡：在外加周期性电动势持续作用下产生的振荡。受迫振荡：在外加周期性电动势持续作用下产生的振荡。在稳定状态下，电流为在稳定状态下，电流为v感抗：感抗：v容抗：容抗：v阻抗：阻抗：三者与电阻单位相同。三者与电阻单位相同。电流具有最大振幅，则应有电流具有最大振幅，则应有 当外加电动势的频率与无阻尼自由振荡的频率相等时，当外加电动势的频率与无阻尼自由振荡的频率相等时，电流的振幅最大。电流的振幅最大。v电共振：电流振幅达到最大值的现象。电共振：电流振幅达到最大值的现象。