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4.5 4.5 高斯有色噪声中确知信号波形的检测高斯有色噪声中确知信号波形的检测 高斯白色噪声是理想的噪声模型，在许多高斯白色噪声是理想的噪声模型，在许多问题中这种噪声模型是一种合理的假设，但问题中这种噪声模型是一种合理的假设，但是有色噪声背景是一种更普遍的情形。本节是有色噪声背景是一种更普遍的情形。本节以高斯有色噪声为背景，研究二元确知信号以高斯有色噪声为背景，研究二元确知信号波形的检测问题。波形的检测问题。14.5 高斯有色噪声中确知信号波形的检测1卡亨南卡亨南洛维展开的方法，根据噪声的自相关函数洛维展开的方法，根据噪声的自相关函数选择合适的正交函数集选择合适的正交函数集（本章需要讲解的内容）（本章需要讲解的内容）白化处理方法：将非白的接收信号白化处理方法：将非白的接收信号x(t)x(t)先通过一个白先通过一个白化滤波器，使滤波器输出端的噪声变成白噪声，然后化滤波器，使滤波器输出端的噪声变成白噪声，然后按白噪声的方法进行处理，称为白化处理方法，将在按白噪声的方法进行处理，称为白化处理方法，将在第六章信号的波形估计中讲解。第六章信号的波形估计中讲解。2卡亨南洛维展开的方法，根据噪声的自相关函数选择合适的正交讨论的思路信号模型及其统计特性；信号检测的判决表示式；检测系统的结构；检测性能的分析；最佳信号的波形设计。3讨论的思路34.5.1 信号模型及其统计特性信号模型及其统计特性 直接讨论直接讨论一般二元确知一般二元确知信号波形的检测问题。在两信号波形的检测问题。在两个假设下的接收信号分别为个假设下的接收信号分别为其中，其中，和和 分别是能量为分别是能量为 和和 的确知信号；的确知信号；是是零均值、自相关函数为零均值、自相关函数为 的高斯有色噪声。的高斯有色噪声。44卡亨南卡亨南洛维展开的方法，接收信号洛维展开的方法，接收信号x(t)x(t)可以表示为可以表示为展开系数展开系数x xk k表示为表示为展开系数展开系数x xk k与与x(t)x(t)成线性关系，它们由成线性关系，它们由x(t)x(t)通过与通过与f fk k(t)(t)相匹配的滤波器获得。相匹配的滤波器获得。5卡亨南洛维展开的方法，接收信号x(t)可以表示为展开系数 显然，展开系数显然，展开系数x xk k是随机变量，各展开系数之间的协是随机变量，各展开系数之间的协方差函数等于方差函数等于6 显然，展开系数xk是随机变量，各展开系数之间的协方差函数是以噪声是以噪声n(t)n(t)的自相关函数为核函数的齐次积分方程的自相关函数为核函数的齐次积分方程7是以噪声n(t)的自相关函数为核函数的齐次积分方程74.5.2 最佳判决式最佳判决式 为使展开系数为使展开系数 互不相关，应采用卡亨南互不相关，应采用卡亨南 洛维展开。为此，正交函数集洛维展开。为此，正交函数集 的第的第 个个 坐标函数坐标函数应满足下列积分方程应满足下列积分方程式中式中是随机变量是随机变量 的方差。的方差。这样，我们得到展开系数这样，我们得到展开系数 表示的信号模型表示的信号模型两个假设下，两个假设下，都是都是高斯随机变量，高斯随机变量，相互统计独相互统计独立。立。84.5.2 最佳判决式8均值和方差分别为均值和方差分别为9均值和方差分别为9 于是，前N项系数构成的N维随机矢量xN在两个假设下的概率密度函数分别为10 于是，前N项系数构成的N维随机矢量xN在两个假设下由前由前N N项构成的似然比检验为项构成的似然比检验为两边取自然对数，并化简得两边取自然对数，并化简得 11由前N项构成的似然比检验为11 设12 设1213131414151516161717g g1 1(t)(t)是确定是确定的函数的函数g g0 0(t)(t)是确定是确定的函数的函数18g1(t)是确定的函数g0(t)是确定的函数18当当 时时，我们得最佳判决式，我们得最佳判决式式中式中1919并能由方程并能由方程解得。解得。其等效判决式表示为20并能由方程其等效判决式表示为2021214.5.184.5.18式变为式变为 这就是高斯白噪声中一般二元确知信号波形检测的判决表示式。所以，高斯白噪声下的结果仅仅是高斯有色噪声结果的特例。224.5.18式变为 这就是高斯白噪声中一般二元确知信号4.5.3 检测系统的结构检测系统的结构 将最佳判决式进行等价变换（将最佳判决式进行等价变换（即即4.5.18）,得得相应的检测系统结构如图相应的检测系统结构如图4.19所示。所示。234.5.3 检测系统的结构2324244.5.4 检测性能分析检测性能分析 检验统计量检验统计量 为为是是高斯随机变量高斯随机变量.所以所以,为了分析其检测性能为了分析其检测性能,需求需求 、和偏移系数和偏移系数 。254.5.4 检测性能分析25两假设下的两假设下的E(l|HE(l|Hj j)和和Var(l|HVar(l|Hj j)分别为分别为式中，式中，g g0 0(t)(t)和和g g1 1(t)(t)是积分方程的解是积分方程的解26两假设下的E(l|Hj)和Var(l|Hj)分别为式中，g02727282829293030 类似地有类似地有 31 类似地有31 类似地有类似地有 可见，由已知的确定信号及高斯有色噪声可见，由已知的确定信号及高斯有色噪声的自相关函数就能确定检验统计量在两个假设的自相关函数就能确定检验统计量在两个假设下的均值和方差。检验统计量的均值满足下的均值和方差。检验统计量的均值满足 32 类似地有32 检验统计量的方差满足检验统计量的方差满足33 检验统计量的方差满足33 于是，判决概率为于是，判决概率为 如果采用最小平均错误概率准则，且满足如果采用最小平均错误概率准则，且满足 ，则有则有显然，显然，随随 增大而减小，原因在于增大而减小，原因在于所以，所以，随随 之差增大而减小之差增大而减小，这是合理的。，这是合理的。34 34 4.5.5 最佳信号波形设计最佳信号波形设计 从信号检测性能分析结果知从信号检测性能分析结果知,增大性能好增大性能好;而而 与信与信号号 有关。所以，为了获得最好的检测性能，需要有关。所以，为了获得最好的检测性能，需要 设计最佳信号设计最佳信号 的波形。使其达到最大。的波形。使其达到最大。设信号设信号 的能量之和为的能量之和为 构造构造辅助函数辅助函数式中，式中，为为拉格朗日乘子拉格朗日乘子。在。在 等于常数的条件下，极大化等于常数的条件下，极大化 ，就极大化了，就极大化了 。35353636将将(4.5.27)式代入（式代入（4.5.37）式）式,得得 用用变分法变分法求使求使 最大的最大的 和和 令令 和和 分别是分别是 和和 的最佳波形的最佳波形,则则 其中其中,和和 是任意的乘因子是任意的乘因子;和和 是在是在 内定义的任意函数。内定义的任意函数。将将(4.5.39)式代入式代入(4.5.38)式式,然后完成然后完成37将(4.5.27)式代入（4.5.37）式,得37从而解得从而解得 与与 的关系应满足的关系应满足进而得进而得和和 在在 为常数的约束条件下为常数的约束条件下,要极大化要极大化 ,由由(4.5.49)式式知知,要取要取(4.5.48)式式最小的特征值最小的特征值 ,这就是说这就是说,的最佳的最佳3838波形是满足波形是满足(4.5.48)积分方程最小特征值积分方程最小特征值 所对应的特征函所对应的特征函数。数。4.5.6 退化情况退化情况 若若 的的 ,即噪声退化为零均值、功率即噪声退化为零均值、功率谱密度为谱密度为 的高斯白噪声的高斯白噪声,我们来讨论其结果。我们来讨论其结果。最佳判决式最佳判决式 当当 时时,由由(4.5.16齐次积分方程齐次积分方程)式解得式解得 39波形是满足(4.5.48)积分方程最小特征值 所对应的于是于是,最佳判决式为最佳判决式为它与它与(4.4.35)式是等价的。式是等价的。检测性能分析检测性能分析 检验统计量检验统计量 是高斯随机变量。是高斯随机变量。若令若令 和和 的波形相关系数的波形相关系数 为为 40于是,最佳判决式为40则有则有也满足也满足的关系。的关系。偏移系数偏移系数 为为 41则有41最佳波形设计最佳波形设计 为使为使 约束下约束下,最大最大,要满要满足足所以所以,最佳信号波形为最佳信号波形为 以上结果说明以上结果说明,高斯白噪声中确知信号高斯白噪声中确知信号波形的检测波形的检测,实际上是高斯有色噪声中确知实际上是高斯有色噪声中确知信号波形的检测的特例。信号波形的检测的特例。42最佳波形设计424.5.7 4.5.7 归纳归纳 我们对高斯白噪声中和高斯有色噪声中我们对高斯白噪声中和高斯有色噪声中,一般二元确知信号波形检测的最佳波形设计一般二元确知信号波形检测的最佳波形设计问题问题,进行简要地归纳，如下所示。进行简要地归纳，如下所示。434.5.7 归纳43 高斯白噪声高斯白噪声 高斯有色噪声高斯有色噪声 约束条件约束条件最佳信号波形最佳信号波形 最佳信号波形最佳信号波形 能量能量 不变条件下不变条件下,能量能量 不变条件下不变条件下,取取 可选任意波形。可选任意波形。中最小的中最小的 所对应的所对应的 特征函数为特征函数为 。原因分析原因分析 原因分析原因分析 ,一样一样。不一样。不一样。高斯白色噪声 高斯有色噪声约束条件44 高斯白
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