第四章线性空间和欧氏空间课件

第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间向量空间 Rn及其子空间及其子空间 一一.向量空间向量空间 基和维数基和维数 二二.Rn上的坐标变换上的坐标变换 三三.Rn上的线性变换上的线性变换 4.2 Rn中的度量与正交变换中的度量与正交变换 一一.Rn中向量的内积、长度和夹角中向量的内积、长度和夹角 二二.标准正交基和施密特标准正交基和施密特(Schmidt)方法方法 三三.正交矩阵和正交变换正交矩阵和正交变换 第四章 线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间 Rn及其子空1第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间向量空间 Rn及其子空间及其子空间 一一.向量空间向量空间基和维数基和维数 1.n维实维实(列列)向量的全体向量的全体 关于向量的加法和数乘运算满足关于向量的加法和数乘运算满足8条基本性质条基本性质:加法加法加法加法:(1):(1)+=+;(2)(;(2)(+)+)+=+(+(+);(3)(3)R Rn n,R Rn n,+=;(4);(4)R Rn n,+(+()=;数乘数乘数乘数乘:(5)1:(5)1 =;(6);(6)k k(l l )=)=(klkl);(7)(7)(k k+l l)=k k +l l ;(8);(8)k k(+)=)=k k +k k .第四章 线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间 Rn及其子空2第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 2.设设V是是Rn的的非空子集非空子集,且对且对向量的加法及数向量的加法及数 乘封闭乘封闭,即即 ,V,k R,有有+V,k V 则称则称V是一个是一个(实实)向量空间向量空间.设设V是一个向量空间是一个向量空间,U V,若若U也构成一个也构成一个向量空间向量空间,则称则称U为为V是一个是一个子空间子空间.注注3：注注2：向量空间必包含向量空间必包含 .反之反之,若一若一向量集向量集不含不含,则它必则它必不构成不构成向量空间向量空间.注注4：Rn和和 称为称为Rn的的平凡子空间平凡子空间.也构成一个向量空间也构成一个向量空间,称为称为零空间零空间.注注注注1:1:向量空间向量空间向量空间向量空间V V 中中中中任意任意任意任意一组向量的一组向量的一组向量的一组向量的任意任意任意任意线性组合都在线性组合都在线性组合都在线性组合都在V V 中中中中.第四章 线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间 Rn及其子空3第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 3.设设V是一个向量空间是一个向量空间,I:1,2,r是是V中一中一 线性无关向量组线性无关向量组,并且并且V中中任一任一向量都能由向量都能由I 线性表示线性表示,则称则称(有序有序)向量组向量组 I 是是V的一组的一组基基.r称为称为V的的维数维数(dimension).记为维记为维(V)或或dim(V).注注1:零空间没有基零空间没有基,规定规定dim =0.V,唯一唯一的一组有序实数的一组有序实数k1,k2,kr使得使得 =k1 1+k2 2+kr r.称称r维向量维向量k1,k2,krT为为 在基在基 1,r下的下的坐标坐标.除零空间外，任何一个向量空间都含有无穷多个向量除零空间外，任何一个向量空间都含有无穷多个向量除零空间外，任何一个向量空间都含有无穷多个向量除零空间外，任何一个向量空间都含有无穷多个向量,那么它的那么它的那么它的那么它的极大无关组极大无关组极大无关组极大无关组称为一组称为一组称为一组称为一组基基基基.注注2:基基不唯一不唯一,且是且是有序有序的的,在在不同基不同基下的下的坐标不同坐标不同第四章 线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间 Rn及其子空4第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 例例1.Rn的基本向量组的基本向量组e1=1 10 00 00 0,e2=0 01 10 00 0,en=0 00 00 01 1构成构成Rn的一组基的一组基.Rn中的任一向量中的任一向量 都能由这组基线性表示都能由这组基线性表示.且且 在这组基下的在这组基下的坐标坐标就是就是 本身本身.这组基称为这组基称为Rn的的自然基自然基.dim(Rn)=n.第四章 线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间 Rn及其子空5第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 例例2.设设A Rm n,b Rm,b ,r(A,b)=r(A)=r,KA=x|Ax=,x Rn,SB=x|Ax=b,x Rn.其中其中KA是向量空间是向量空间,称为齐次线性方程组称为齐次线性方程组 Ax=的的解空间解空间,Ax=的一个的一个基础解系基础解系就是就是KA的一组基的一组基,因此因此dim(KA)=n r.但但SB不是向量空间不是向量空间.事实上事实上,SB中不含中不含.在在R3中中,过原点的平面过原点的平面是是R3的的2维子空间维子空间,过原点的直线过原点的直线是是R3的的1维子空间维子空间,不经过原点不经过原点的直线与平面都的直线与平面都不是不是向量空间向量空间.第四章 线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间 Rn及其子空6第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 4.设设 1,2,s Rn,用用L(1,2,s)表示表示 1,2,s的的一切线性组合所成的集合一切线性组合所成的集合,即即 L(1,2,s)=k1 1+k2 2+ks s|k1,k2,ks R则则L(1,2,s)是是(包含包含 1,2,s的的 向量空间中向量空间中最小最小的的)一个一个向量空间向量空间,我们称我们称之为之为由由 1,2,s生成的子空间生成的子空间.而而 1,2,s称为称为L(1,2,s)生成元生成元.L(1,s)的的基基可取为可取为 1,s 的任一的任一极大无极大无关组关组.dim(L(1,s)=r(1,s).第四章 线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间 Rn及其子空7第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 设矩阵设矩阵A Rn s,称称L(A1,A2,As)为为A的列空的列空间间.A的列空间的基的列空间的基为列向量组的为列向量组的极大无关组极大无关组.dim(L(A1,A2,As)=r(A).求求L(A1,A2,A3,A4)的一组基和维数的一组基和维数.例例3.设设A=A1,A2,A3,A4=1 0 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1,解解:初等初等 行行变换变换 A1,A2是是L(A1,A2,A3,A4)的一组基的一组基,可见可见dim L(A1,A2,A3,A4)=2.1 0 0 2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1 第四章 线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间 Rn及其子空8第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间向量空间 Rn及其子空间及其子空间 一一.向量空间向量空间 基和维数基和维数 二二.Rn上的坐标变换上的坐标变换 V Rn,对加对加法数乘封闭法数乘封闭本质为极本质为极大无关组大无关组本质为秩本质为秩U V,U也构也构成向量空间成向量空间解空间解空间:KA=x|Ax=,x Rn,基为基础解系基为基础解系,dim(KA)=n r.L(1,2,s)=k1 1+k2 2+ks s|k1,k2,ks R基基为为 1,s 的的极大无关极大无关组组 dim(L)=r(1,s).第四章 线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间 Rn及其子空9第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 二二.Rn上的坐标变换上的坐标变换 1.两组基之间的关系两组基之间的关系 设设I:1,2,n及及II:1,2,n都是都是Rn的的 基基,j在在 1,2,n下的坐标为下的坐标为 c1j,c2j,cnjT,j=1,2,n.记记A=1,2,n,B=1,2,n,C=cij,则则A,B可逆可逆,且且B=AC.我们我们称称C为从为从基基I到到基基II的的过渡矩阵过渡矩阵.则则C=A 1B也也可逆可逆.例例4从自然基从自然基I:e1,en到基到基II:1,n的过渡的过渡阵阵C=A.(A=IC)从基从基II到自然基到自然基I的过渡阵的过渡阵C=A 1.(I=AC)第四章 线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间 Rn及其子空10第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 2.一个向量在两组基下的坐标变换公式一个向量在两组基下的坐标变换公式 设设 在基在基 1,2,n下的坐标为下的坐标为x,在基在基 1,2,n下的坐标为下的坐标为y,记记A=1,2,n，B=1,2,n，则则 =Ax=By=ACy,x=C y 坐标变换公式坐标变换公式y=C 1 x第四章 线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间 Rn及其子空11第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 (1)求求I到到II的过渡矩阵；的过渡矩阵；(2)求求 =2 1+2+3 3在基在基I,II,e1,e2,e3 下的坐标下的坐标;(2)(3)求求 =1,0,2T在基在基I,II,e1,e2,e3下的坐下的坐标标.解解:(1)B=ACC=A 1B(A BI A 1B=I C)(2)I=2,1,3T,(3)=1,0,2T=e e=2 1+2+3 3 =3,4,1TA=ICeI CeI=ACeII=B I=CeI 1 =A 1=1.5,0.5,0.5T,II=B 1 II=C 1 I=0,3,2T,第四章 线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间 Rn及其子空12第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间向量空间 Rn及其子空间及其子空间 一一.向量空间向量空间 基和维数基和维数 二二.Rn上的坐标变换上的坐标变换 三三.Rn上的线性变换上的线性变换 V Rn,对加对加法数乘封闭法数乘封闭本质为极本质为极大无关组大无关组本质为秩本质为秩L(1,s)C为从为从基基I到到基基II的的过渡矩阵过渡矩阵.B=ACx=Cy 坐标变换公式坐标变换公式U V,U也构也构成向量空间成向量空间y=C 1 x解空间解空间:KA=x|Ax=,x Rn 第四章 线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间 Rn及其子空13第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 三三.Rn上的线性变换上的线性变换 1.线性映射线性映射 设设A Rm n,映射映射f:RnRm,f()=A,Rn为为一个一个线性映射线性映射.若若A Rn n,则则从从Rn到到Rn自身的线性自身的线性映射映射x=Ay称为称为Rn的线性变换的线性变换.1,2 Rn,k1,k2 R,f(k1 1+k2 2)=A(k1 1+k2 2)=k1 f(1)+k2 f(2)若若A Rn n,且可逆且可逆,则则x=Ay 称为称为可逆可逆线性变换线性变换.保持线性运算保持线性运算第四章 线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间 Rn及其子空14第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 3.线性变换线性变换x=Ay的两个重要子集的两个重要子集 则则R(A)称为称为x=Ay的的值域值域，K(A)称为称为x=Ay的的核核.则则R(A)=Ay|y Rn=L(A1,A2,An),K(A)=y Rn|Ay=为为Ax=的解空间的解空间.R(A)=Ay|y Rn,K(A)=y Rn|Ay=.若若A的列向量为的列向量为A1,A2,An,于是于是,dimR(A)=r(A),dimR(A)+dimK(A)=n.R(A)的基的基可取为可取为A1,A2,An的一个的一个极大无关组极大无关组,K(A)的基的基可取为可取为Ax=的一个的一个基础解系基础解系.dimK(A)=n r(A).第四章 线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间 Rn及其子空15第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 求求R(A)和和K(A)的基和维数的基和维数.例例6.设设A=A1,A2,A3,A4=1 0 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1,解：解：初等初等 行行变换变换 dim R(A)=2.1 0 0 2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1 R(A)的一组基为的一组基为A1,A2.初等初等 行行变换变换 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 K(A)的基的基dimK(A)=2.第四章 线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间 Rn及其子空16第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间向量空间 Rn及其子空间及其子空间 一一.向量空间向量空间 基和维数基和维数 二二.Rn上的坐标变换上的坐标变换 三三.Rn上的线性变换上的线性变换 V Rn,对加对加法数乘封闭法数乘封闭本质为极本质为极大无关组大无关组本质为秩本质为秩L(1,s)C C为从为从为从为从基基基基I I到到到到基基基基IIII的的的的过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵.B=ACx=Cy 值域值域R(A)=Ay|y Rn=L(A1,A2,An),U V,U也构也构成向量空间成向量空间y=C 1 x核核K(A)=y Rn|Ay=为为Ax=的解空间的解空间.dimR(A)+dimK(A)=n.解空间解空间:KA=x|Ax=,x Rn 第四章 线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间 Rn及其子空17向量组的极大无关组向量组的极大无关组(i)I0l.i.;(ii)II0,I0,l.d.I可由可由I0线性线性表示表示命题：如果命题：如果r(1,2,s)=r,则则 1,2,s中任意中任意r个个线性线性无关的向量均为无关的向量均为 1,2,s的极大无关组的极大无关组.极大无关组不唯一，任两个极大无关组都等价，极大无关组不唯一，任两个极大无关组都等价，且含有相同个数且含有相同个数(秩秩)的向量的向量.向量空间向量空间V的基的基为向量组为向量组V中的中的极大无关组极大无关组.V的的维数维数为向量组的为向量组的秩秩.齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间V=x Rn|Ax=0的基础的基础解系解系为向量组为向量组V的的极大无关组极大无关组,V的的维数维数为为n r(A).向量组向量组极大无关组极大无关组向量空向量空间间.基基解空间解空间核核向量组的极大无关组(i)I0l.i.;(ii)I18第四章第四章 线性空间线性空间向量空间的例子向量空间的例子基基维数维数 V Rn,对加法数乘封闭对加法数乘封闭本质为极大无关组本质为极大无关组本质为秩本质为秩Rn本身本身e1,e2,enn零空间零空间 无无0齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间x Rn|Ax=,A Rm nAx=的的基础解系基础解系n r(A)A=1,s的生成子空的生成子空间间L(1,s)=k1 1+ks s|k1,ks R向量组向量组A的的极大无关组极大无关组A的秩的秩A的秩的秩A的列向量组的的列向量组的极大无关组极大无关组矩阵矩阵A的列空间的列空间,即即A的列的列向量组的生成子空间向量组的生成子空间n r(A)Ay=的的基础解系基础解系A的秩的秩A的列向量组的的列向量组的极大无关组极大无关组线性映射线性映射f:RnRm的的核核K K(A A)=)=y y R Rn n|AyAy=线性映射线性映射f的的值域值域值域值域R R(A A)=)=AyAy|y y RnRn=L L(A A1 1,A A2 2,A An n)Ex.第四章 线性空间向量空间的例子基维数 V Rn,对加法194.1-2 向量空间向量空间,内积与正交变换内积与正交变换 一一.向量空间向量空间基和维数基和维数 二二.Rn上的坐标变换上的坐标变换与线性变换与线性变换 三三.n维向量的内积维向量的内积四四.标准正交向量组和标准正交向量组和Schmidt正交化方法正交化方法 R3Rn线性相关线性相关共线共面共线共面极大无关组极大无关组？秩秩？直角坐标系直角坐标系？标准正交基标准正交基维数维数仿射坐标系仿射坐标系五五.正交矩阵和正交变换正交矩阵和正交变换 4.1-2 向量空间,内积与正交变换 一.向量空间基20第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.2 R4.2 Rn n中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换 4.2 Rn中的度量与正交变换中的度量与正交变换 一一.Rn中向量的内积、长度和夹角中向量的内积、长度和夹角 1.设设 =a1,a2,anT,=b1,b2,bnT,则则 与与 的的内积内积为为 2.内积的基本性质内积的基本性质 ,=aibi=T n n i i=1 =1(1)对称性对称性对称性对称性:,=,;(2)线性性线性性线性性线性性:k k1 1 1 1+k k2 2 2 2,=k k1 1 1 1,+k k2 2 2 2,;(3)正定性正定性正定性正定性:,0;0;且且且且 ,=0 =0 =.3.n维实向量维实向量 的的长度长度或或模模为为 ,|=ai2 n n i i=1 =1 第四章 线性空间和欧氏空间 4.2 Rn中的度量与正交变换21第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.2 R4.2 Rn n中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换 5.单位向量单位向量:|=1的向量的向量.非零向量非零向量 单位化单位化或或标准化标准化:0=|1 4.长度的基本性质长度的基本性质(1)正定性正定性:|0;且且|=0 =;(2)齐次性齐次性:|k|=|k|(k R);(3)Cauchy不等式不等式:|,|.6.设设,Rn,若若,则定义则定义,的的夹角夹角为为若若 ,=0,即即 =/2,则称则称 与与 正交正交.=arccos ,|,0 ,=0,则则 ,即即 与任意与任意 正交正交.第四章 线性空间和欧氏空间 4.2 Rn中的度量与正交变换22第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.2 R4.2 Rn n中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换 例例7.设设,Rn,且且 与与 线性无关线性无关,求常数求常数k使使 +k 与与 正交正交.解：解：+k 与与 正交正交 =+k =0在几何空间在几何空间R3中中,与与 线性无关线性无关 第四章 线性空间和欧氏空间 4.2 Rn中的度量与正交变换23第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.2 R4.2 Rn n中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换 二二.标准正交基和施密特标准正交基和施密特(Schmidt)方法方法 1.正交向量组正交向量组:两两正交两两正交 标准正交向量组标准正交向量组:向量空间的向量空间的正交基正交基:标准正交基标准正交基:e1,e2,en例例8.设设 为任一为任一Rn的标准正交基，则的标准正交基，则任一标准正交基任一标准正交基与自然基作用同与自然基作用同由由单位向量单位向量组成的正交向量组组成的正交向量组.一组一组基基是是正交向量组正交向量组;一组一组基基是是标准正交向量组标准正交向量组.第四章 线性空间和欧氏空间 4.2 Rn中的度量与正交变换24第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.2 R4.2 Rn n中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换 定理定理4.1.设设 1,2,s是正交向量组是正交向量组,则则 1,2,s线性无关线性无关.证明：证明：设设k1 1+k2 2+ks s=,则则0=kj,i j,=0 0 kj=0,j=1,2,s定理定理4.2.设设 1,2,s线性无关线性无关(s 2),则存则存 在一个正交向量组在一个正交向量组 1,2,s满足满足 1,2,t与与 1,2,t等价等价(1 t s).则则 1,2,s线性无关线性无关.第四章 线性空间和欧氏空间 4.2 Rn中的度量与正交变换25第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.2 R4.2 Rn n中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换 1=1,施密特正交化施密特正交化过程过程:将一组将一组将一组将一组l.i.l.i.的向量化为正交向量组的向量化为正交向量组的向量化为正交向量组的向量化为正交向量组 2=2 2,1 1,1 1,s=s s,1 1,1 1 s,s 1 s 1,s 1 s 1再将再将 1,2,s单位化得单位化得:1=1|1|,2=2|2|,s=s|s|.施密特正交化方法施密特正交化方法施密特正交化方法施密特正交化方法 标准化标准化 得到一得到一得到一得到一组标准组标准组标准组标准正交向正交向正交向正交向量组量组量组量组第四章 线性空间和欧氏空间 4.2 Rn中的度量与正交变换26第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.2 R4.2 Rn n中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换 1=A1,2=A2 A2,A1 A1,A1 A1=A2 A1 1=1|1|2=2|2|求求L(A1,A2,A3,A4)的一组标的一组标准正交基，并将其扩展到准正交基，并将其扩展到R3的一组标准正交基的一组标准正交基.例例8.设设A=A1,A2,A3,A4=1 0 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1,解：解：A1,A2是是L(A1,A2,A3,A4)的一组基的一组基.3 1,3 2 1 1,2 2为为为为L L的一组标准正交基的一组标准正交基,1 1,2 2,3 3为为为为R3的一组标正交基的一组标正交基第四章 线性空间和欧氏空间 4.2 Rn中的度量与正交变换27第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.2 R4.2 Rn n中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换 三三.正交矩阵和正交变换正交矩阵和正交变换 1.满足满足QTQ=I(即即Q 1=QT)的实方阵的实方阵Q称称 为为正交矩阵正交矩阵,简称为简称为正交阵正交阵.定理定理4.3.设设Q为为n阶阶实方阵实方阵,则则Q是是正交矩阵正交矩阵 Q的的列向量组构成列向量组构成Rn的一组标准正交基的一组标准正交基.推论推论.设设Q为为n阶阶实方阵实方阵,则则Q是是正交矩阵正交矩阵 QT是是正交矩阵正交矩阵 Q的的行向量组行向量组(转置转置)构成构成Rn的一组标准正交基的一组标准正交基 Q是从自然基到标准正交基是从自然基到标准正交基q1,q2,qn的的过渡矩阵过渡矩阵QTQ=ij=IQ=IC第四章 线性空间和欧氏空间 4.2 Rn中的度量与正交变换28第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.2 R4.2 Rn n中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换 2.若若Q为为n阶阶正交矩阵正交矩阵,则线性变换则线性变换 x=Qy称为称为 Rn的的正交变换正交变换.定理定理4.4.Rn的正交变换的正交变换x=Qy不改变不改变向量的向量的内积内积,即即 y,z Rn,=.因而也因而也不改变不改变向量向量的的长度长度和和夹角夹角.3.正交矩阵正交矩阵Q的行列式的行列式|Q|=1或或 1,若若|Q|=1,则对应的正交变换称为则对应的正交变换称为第一类第一类的的;若若|Q|=1,则对应的正交变换称为则对应的正交变换称为第二类第二类的的.正交变换是保持原点不动的直角坐标变换正交变换是保持原点不动的直角坐标变换,对应的是直角坐标系的旋转对应的是直角坐标系的旋转.每一个直角坐标系对应一个标准正交基每一个直角坐标系对应一个标准正交基.右手系右手系右手系右手系到右手系到右手系到右手系到右手系的旋转的旋转的旋转的旋转第四章 线性空间和欧氏空间 4.2 Rn中的度量与正交变换294.1-2 向量空间向量空间,内积与正交变换内积与正交变换 一一.向量空间向量空间基和维数基和维数 二二.Rn上的坐标变换上的坐标变换与线性变换与线性变换 三三.n维向量的内积维向量的内积四四.标准正交向量组和标准正交向量组和Schmidt正交化方法正交化方法 R3Rn线性相关线性相关共线共面共线共面极大无关组极大无关组;基基秩、维数秩、维数直角坐标系直角坐标系标准正交基标准正交基维数维数仿射坐标系仿射坐标系五五.正交矩阵和正交变换正交矩阵和正交变换 ,=aibi=T n n i i=1 =1 将将l.i.向量化为标准正交向量组向量化为标准正交向量组Q Q(Q QT T)正交正交正交正交Q QT TQ Q=I IQ Q 1 1=Q QT TQ Q列列列列(行行行行)向量组标准正交向量组标准正交向量组标准正交向量组标准正交保持原点不动的直角系旋转保持原点不动的直角系旋转保持原点不动的直角系旋转保持原点不动的直角系旋转4.1-2 向量空间,内积与正交变换 一.向量空间基30a=b=0,c=1.1.若若 是是正交正交矩阵矩阵,则则a,b,c满足条件满足条件2.设设 1=1,0,1T,2=1,1,0T,用用 Schimidt正交化正交化方法求一个与向量组方法求一个与向量组 1,2等价的正交向量组等价的正交向量组 1,2,并用并用 1,2线性表示线性表示 2.a=b=0,c=1.1.若 31本章习题本章习题 一一.习题习题4.1 1,2,3,4,6二二.习题习题4.2 2,4,5,6,7,8第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 本章习题 一.习题4.1 1,2,3,4,6二.32