第二章-波函数-Schrodinger-方程剖析课件

2 2 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程本章内容本章内容2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释2.2.2 2 态迭加原理态迭加原理2.2.5 5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程2.7 2.7 2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子2.8 2.8 2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿第二章小结第二章小结2.2.3 3 薛定谔方程薛定谔方程2.2.4 4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱2.12.22.32.42.52.62.72.8小结小结一、波函数一、波函数问题:(1)(1)是怎样描述粒子的状态呢？是怎样描述粒子的状态呢？(2)(2)如何体现波粒二象性的？如何体现波粒二象性的？(3)(3)(3)(3)描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？二、波函数的解释二、波函数的解释（1 1）两种错误的看法）两种错误的看法 1.1.波由粒子组成波由粒子组成 如，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布如，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。结论：这种看法是与实验矛盾的结论：这种看法是与实验矛盾的原因：它不能解释长时间单个电子衍射实原因：它不能解释长时间单个电子衍射实验验-单个电子就单个电子就 具有波动具有波动性性 证明证明1 1：单电子衍射：单电子衍射电子一个一个的电子一个一个的入射，经过足够入射，经过足够长的时间，在屏长的时间，在屏幕上形成衍射图幕上形成衍射图样。样。证明证明2 2：正是由于单个电子具有波动性，才能理：正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。定性以及能量量子化这样一些量子现象。错误的根源：错误的根源：波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。2.2.2.2.粒子由波组成粒子由波组成粒子由波组成粒子由波组成电子衍射动画电子衍射动画波包：波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包：波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包：波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包：波包是各种波数（长）平面波的迭加。l电子是波包。电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。结论：结论：这种看法与实际相矛盾这种看法与实际相矛盾原因：平面波描写自由粒子原因：平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。电子是粒子？还是波？电子是粒子？还是波？“电子既不是粒子也不是波电子既不是粒子也不是波 ”，既，既不不是经典的粒子也不是经典的波是经典的粒子也不是经典的波但是我们也可以说，但是我们也可以说，“电子既是粒子也电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。一。”证明：实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。证明：实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小1 1 。1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性 2 2.有确定的运动轨道，每一时刻有有确定的运动轨道，每一时刻有 一定位置和速度一定位置和速度 1.1.实在的物理量的空间分布作周期性实在的物理量的空间分布作周期性 的变化的变化 2 2.干涉、衍射现象，即相干叠加性干涉、衍射现象，即相干叠加性（2 2）Born Born 波函数的统计解释波函数的统计解释 几率波几率波我们再看一下电子的衍射实验我们再看一下电子的衍射实验 经典概念中经典概念中粒子：粒子：经典概念中经典概念中波：波：大量电子一大量电子一次入射次入射,立即立即在屏幕上形在屏幕上形成衍射图样。成衍射图样。方方法法一一方方法法二二电子一个一个的电子一个一个的入射，经过足够入射，经过足够长的时间，在屏长的时间，在屏幕上形成同样的幕上形成同样的衍射图样。衍射图样。l结论：结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的计结果个电子在许多次相同实验中的计结果。解释：在电子衍射实验中，照相底片上解释：在电子衍射实验中，照相底片上 r r 点附近衍射花样的强度点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于电子出现在正比于电子出现在 r r 点附近的几率。点附近的几率。波动性观点：亮处波动性观点：亮处到达该处电子波的强度大到达该处电子波的强度大 暗处暗处到达该处电子波的强度小到达该处电子波的强度小粒子性观点：亮处粒子性观点：亮处单位时间内到达该处的电子数多单位时间内到达该处的电子数多 暗处暗处单位时间内到达该处的电子数少单位时间内到达该处的电子数少统计的观点：亮处统计的观点：亮处电子到达该处的概率大电子到达该处的概率大 暗处暗处电子到达该处的概率小电子到达该处的概率小波函数的统计解释波函数的统计解释-量子力学的基本原理量子力学的基本原理描述微观粒子的状态用波函数(r)(r)表示。波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方|(r)|(r)|2 2）和在该点找到粒子的几率成比例几率波几率波 -反映微观粒子运动的一种统计规律性反映微观粒子运动的一种统计规律性其中其中|(r)|(r)|2 2=*=|(r)|(r)|2 2 表示粒子出现在表示粒子出现在 r r 点附近几率的大小，点附近几率的大小，|(r)|(r)|2 2 xyz xyz 表示在表示在 r r 点处，体积元点处，体积元xyzxyz中找到粒子的几率。中找到粒子的几率。（1 1 1 1）在）在）在）在t t t t时刻，时刻，时刻，时刻，r r r r点，点，点，点，d=dxdydzd=dxdydzd=dxdydzd=dxdydz体积内，找到由波函数体积内，找到由波函数体积内，找到由波函数体积内，找到由波函数(r,t)(r,t)(r,t)(r,t)描写的粒子的几率是：描写的粒子的几率是：描写的粒子的几率是：描写的粒子的几率是：dW(r,t)=C|(r,t)|dW(r,t)=C|(r,t)|dW(r,t)=C|(r,t)|dW(r,t)=C|(r,t)|2 2 2 2 d d d d，其中，其中，其中，其中，C C C C是比例系数。是比例系数。是比例系数。是比例系数。根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：1.1.几率和几率密度几率和几率密度 （2 2）在）在t t时刻时刻r r点，单位体积内找到粒子的几率点，单位体积内找到粒子的几率是 (r,t)=dW(r,t)/d=C|(r,t)|(r,t)=dW(r,t)/d=C|(r,t)|2 2 -几率密度几率密度（3）在体积在体积V V内内t t时刻找到粒子的几率为时刻找到粒子的几率为：W(t)=W(t)=V V dW=dW=V V(r,t)d=C(r,t)d=CV V|(r,t)|(r,t)|2 2 d d 三、波函数的性质三、波函数的性质2.2.2.2.平方可积平方可积平方可积平方可积 CC|(r,t)|(r,t)|2 2d=1,d=1,从而得常数从而得常数 C C 之值为：之值为：C=1/C=1/|(r,t)|(r,t)|2 2dd 这是要求描写粒子量子这是要求描写粒子量子状态的波函数状态的波函数必须是必须是绝对值平方可积的函数绝对值平方可积的函数若若|(r,t)|(r,t)|2 2dd,则则 C C 0,0,这是没有意这是没有意义的。义的。由于粒子一定出现在空间中（不讨论粒子产生和湮灭由于粒子一定出现在空间中（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为情况），所以在全空间找到粒子的几率应为1，即：，即：3.3.归一化波函数归一化波函数因为在因为在t t时刻，空间任意两点时刻，空间任意两点r r1 1和和r r2 2处找到粒子的相对几率之比是：处找到粒子的相对几率之比是：由于粒子在全空间出现的几率等于由于粒子在全空间出现的几率等于1 1，所以粒子在空间，所以粒子在空间各点出现的几率各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变。数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变。所以，所以，(r,t)(r,t)和和C(r,t)C(r,t)描述的是同一几率波描述的是同一几率波，因而波函数有一常数因子不定性。（1 1）(r,t)(r,t)和和C(r,t)C(r,t)所描写状态的相对所描写状态的相对 几率是相同的几率是相同的-描述同一状态描述同一状态（2）若）若 (r,t)没有归一化没有归一化,|(r,t)|2 d=A（A 是大是大于零的常数），则有于零的常数），则有|A-1/2 (r,t)|2 d=1也就是说，A-1/2(r,t)是归一化的波函数归一化的波函数，与(r,t)描写同一几率波，A A-1/2-1/2 称为归一化因子称为归一化因子。（3）令）令(r,t)=A-1/2(r,t)则则(r,t)为归一化的波函数，满为归一化的波函数，满足足（4）如果如果(r,t)没有归一化，而函数本身含有不定常数，没有归一化，而函数本身含有不定常数，可以采用如下方法归一化可以采用如下方法归一化（实际计算常用方法）（实际计算常用方法）这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。4.相因子相因子ei：归一化波函数有一个任意相因子一化波函数有一个任意相因子由于|ei|2 =1所以 (r,t)和和ei(r,t)描述同一几率波描述同一几率波从而定出中的不定常数从而定出中的不定常数5.波函数波函数的的标准条件准条件 波函数必波函数必须单值、有限、有限、连续 单值：在任何一点，几率只能有一个：在任何一点，几率只能有一个值。有限：几率不能无限大。有限：几率不能无限大。连续：几率一般不：几率一般不发生突生突变。波函数的统计解释：波函数在空间某一点的波函数的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。子的几率成正比。结论：数学表达：归一化：归一化：说明：说明：(1)即使要求波函数是归一化的，它仍然有一个即使要求波函数是归一化的，它仍然有一个位相因子不能确定。位相因子不能确定。(2)有些波函数不能有些波函数不能(有限地有限地)归一。归一。例如平面波。此时例如平面波。此时 代表代表“相对几率密度相对几率密度”。一般地，我们用复数形式一般地，我们用复数形式则自由粒子的平面波则自由粒子的平面波 粒子具有波动性，它的运动可用一个波函数来描述。自粒子具有波动性，它的运动可用一个波函数来描述。自由粒子，能量由粒子，能量 ，动量，动量 是常数，运动方向不变，与之相是常数，运动方向不变，与之相联系的波频率联系的波频率 ，波长，波长 ，传播方向，传播方向固定，是一个平面波：固定，是一个平面波：四、自由粒子的波函数四、自由粒子的波函数有关实验：有关实验：电子双缝干涉电子双缝干涉1.与宏观粒子运动不同。与宏观粒子运动不同。2.电子位置不确定。电子位置不确定。3.几率正比于强度，即几率正比于强度，即遮住缝1遮住缝2双缝都打开态迭加原理是量子力学的基本原理之一，态迭加原理是量子力学的基本原理之一，反映了微观粒子运动的根本特性。反映了微观粒子运动的根本特性。2.2 态迭加原理态迭加原理一一.态及态函数态及态函数 给出 尽管粒子的位置不确定尽管粒子的位置不确定（我们不能要求它确定，这是微观粒子的本质），但它的几率分布是完全确定几率分布是完全确定的，我们在以后还将证明，此时粒子的能量，动量等各种可粒子的能量，动量等各种可观测量的观测值及其几率分布也是完全确定观测量的观测值及其几率分布也是完全确定的。因此，我们把由 描述的粒子的状态称为量子态或简称态描述的粒子的状态称为量子态或简称态（各力学量的值不确定，但它的可能值及其分布几率是确定的），而把 称为态函数。经典物理：经典物理：经典物理：经典物理：波的迭加只不过是将波幅迭加（波幅代波的迭加只不过是将波幅迭加（波幅代 表实际物体的运动等），并在合成波中表实际物体的运动等），并在合成波中 出现不同频率的波长的子波成分。出现不同频率的波长的子波成分。经典物理中，波函数的最本质的性质是迭加性经典物理中，波函数的最本质的性质是迭加性 对微观粒子的波动性，其实质也是波的迭加性对微观粒子的波动性，其实质也是波的迭加性二二.态迭加原理态迭加原理微观粒子的波函数是态函数：在这里迭加性就具有微观粒子的波函数是态函数：在这里迭加性就具有更深刻的意义，其实质是什么呢？更深刻的意义，其实质是什么呢？有关实验：有关实验：电子单缝衍射电子单缝衍射电子双缝干涉电子双缝干涉111222遮住缝1遮住缝2双缝都打开单缝单缝1使通过它的电子处于使通过它的电子处于1单缝单缝2使通过它的电子处于使通过它的电子处于2当双缝同时打开时，一个电子可以同时处于当双缝同时打开时，一个电子可以同时处于1和和2态，双态，双缝同时诱导的状态是它们的线性组合态（迭加态）缝同时诱导的状态是它们的线性组合态（迭加态）态迭加原理：态迭加原理：设设1，2 是体系的两个状态，则迭加态：是体系的两个状态，则迭加态：=c1 1+c2 2 也是体系的可能状态。也是体系的可能状态。（1）处于两态的几率分别为）处于两态的几率分别为P1=IcIc1 11I I2 2，P2=I Ic22 I I2 2|2=|c11+c22|2 =(c1*1*+c2*2*)(c11+c22)|c11|2+|c22|2+c1*c21*2+c1c2*12*（2 2）双缝同时打开时粒子出现的几率密度）双缝同时打开时粒子出现的几率密度干涉项物理意义：粒子通过双缝后在物理意义：粒子通过双缝后在P点出现的几率密度点出现的几率密度=粒子粒子 通过缝通过缝1到达到达P点的几率密度点的几率密度+粒子通过缝粒子通过缝2到达到达 P点的几率密度点的几率密度+干涉项干涉项（3）可以由多个可以由多个态来迭加来迭加=c11+c22+cnn+量子力学的态迭加原理，导致了粒子各种力学量量子力学的态迭加原理，导致了粒子各种力学量观测值的不确定性，这是由微观粒子的波粒二性观测值的不确定性，这是由微观粒子的波粒二性所决定的。所决定的。（4）力学量的测量：对于体系的其他力学量，如）力学量的测量：对于体系的其他力学量，如 ，如果，如果 在在1 下的值是下的值是a1,在在2 下的值是下的值是a2，则在则在=c11+c22 的态，它的值可能是的态，它的值可能是a1,也可能是也可能是a2，而测得而测得 a1，a2的相的相 对几率是完全确定的对几率是完全确定的。三三.动量的几率分布动量的几率分布1.在电子衍射实验中，电子在晶体表面反射后，以各在电子衍射实验中，电子在晶体表面反射后，以各种不同的动量种不同的动量 运动。动量确定的粒子的状态为：运动。动量确定的粒子的状态为：其中，归一化常数：其中，归一化常数：2.任何波函数都可以看作是不同动量的平面波的迭加：任何波函数都可以看作是不同动量的平面波的迭加：经晶体表面反射后，电子状态可以为经晶体表面反射后，电子状态可以为 取各种可能取各种可能值的状态的迭加。值的状态的迭加。为粒子的动量为粒子的动量 的相对几率的相对几率当动量连续变化时当动量连续变化时其中：由傅里叶变换 得结论：结论：和和是同一状态的两种不同是同一状态的两种不同的描述方法。的描述方法。同样，同样，给定后，给定后，完全确定完全确定由于：由于：给定后，给定后，完全确定完全确定和和互为付氏变换。互为付氏变换。在一维情况下在一维情况下 经典力学：质点在某时刻的状态已知经典力学：质点在某时刻的状态已知薛定谔方程是量子力学的最基本方程，也是量子力学的一个薛定谔方程是量子力学的最基本方程，也是量子力学的一个基本假设。我们并不能从一个更基本的假设来推导或证明它。基本假设。我们并不能从一个更基本的假设来推导或证明它。其正确性只能靠实践来检验。下面只是用一个比较简单的办其正确性只能靠实践来检验。下面只是用一个比较简单的办法来引述它。法来引述它。1.薛定谔方程应满足下列条件：薛定谔方程应满足下列条件：a)含含 的偏微分方程的偏微分方程 2.3 薛定谔方程牛顿运动方程质点在质点在t时刻的状态时刻的状态 量子力学：微观粒子在某时刻的状态量子力学：微观粒子在某时刻的状态（）薛定谔方程粒子在粒子在t时刻的状态时刻的状态 b)是线性是线性方程方程 c)只含基本常数，不含状态参数。只含基本常数，不含状态参数。2.自由粒子满足的方程自由粒子满足的方程对对t求求偏导偏导对坐标求二对坐标求二次偏微商次偏微商对自由粒子：对自由粒子：因此因此联立（联立（1）（2）-（1 1）（）（2 2）（）（3 3）均是自由粒子满足的薛定谔方程）均是自由粒子满足的薛定谔方程3.在力场中运动粒子的波动方程在力场中运动粒子的波动方程-薛定谔方程薛定谔方程粒子在势场中粒子在势场中的能量：的能量：其中，劈形算符其中，劈形算符拉普拉斯算符拉普拉斯算符代入式中代入式中且作代换且作代换4.多粒子体系的薛定谔方程多粒子体系的薛定谔方程设体系的波函数代入式中且作代换可以得到（3 3）它并非推导所得，最初是假设，后来通过实验）它并非推导所得，最初是假设，后来通过实验 检验了它的正确性。检验了它的正确性。（1 1）它是一个）它是一个复数偏微分复数偏微分方程；方程；其解波函数其解波函数 是一个是一个复函数复函数。5.薛定谔方程薛定谔方程说明：说明：（2 2）它的解满足态的叠加原理）它的解满足态的叠加原理若若 和和 是薛定谔方程的解，是薛定谔方程的解，则则 也是薛定谔方程的解。也是薛定谔方程的解。主要原因在于薛定谔方程是主要原因在于薛定谔方程是线性线性偏微分方程。偏微分方程。（4 4）它是非相对论形式的方程。）它是非相对论形式的方程。6.四个算符四个算符1.几率流密度矢量几率流密度矢量 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律在在r点处单位体积内粒子出现的几率（几率密度）点处单位体积内粒子出现的几率（几率密度）几率密度随时间的变化率几率密度随时间的变化率利用薛定谔方程：利用薛定谔方程：得到得到取其共轭复数方程取其共轭复数方程把（把（2）（）（3）代入（）代入（1）中：）中：令令则则几率流密度矢量几率流密度矢量粒子数守恒定律粒子数守恒定律or 连续性方程连续性方程把把写成积分形式写成积分形式左式：单位时间体积左式：单位时间体积V内内 增加的几率增加的几率右式：从右式：从V外部穿过其外部穿过其S 进入进入V中的几率中的几率J的意义：单位时间流过的意义：单位时间流过 S面上单位面积的几率面上单位面积的几率3.波函数波函数的的标准条件准条件由于由于=*是粒子是粒子在在r r处出现的几率处出现的几率是是r，t的单值函数的单值函数在变量变化的全部区域内应当在变量变化的全部区域内应当 连续、有限、以及连续的微商连续、有限、以及连续的微商由于由于和和J连续连续 波函数必波函数必须单值、有限、有限、连续 质量密度质量密度质量流密度质量流密度4.质量流密度和电荷流密度质量流密度和电荷流密度质量守恒定律质量守恒定律电流密度电流密度电荷密度电荷密度电荷守恒定律电荷守恒定律一.薛定谔方程薛定谔方程描述微观粒子有波粒二象性状态的波函数描述微观粒子有波粒二象性状态的波函数一般是空间和时间的函数，即一般是空间和时间的函数，即 微观粒子在不同条件下微观粒子在不同条件下(例如，处于不同的例如，处于不同的 外力场中外力场中)的运动状态是不同的，的运动状态是不同的，解波函数解波函数 所满足的方程所满足的方程-薛定谔方程，该方程应薛定谔方程，该方程应反映出微观粒子所处的不同条件。反映出微观粒子所处的不同条件。2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程薛定谔方程：薛定谔方程：式中式中 粒子的质量粒子的质量 U粒子在外力场中的势能函数（所处条件）粒子在外力场中的势能函数（所处条件）2 2拉普拉斯算符拉普拉斯算符 （记）（记）二二 .定态薛定谔方程定态薛定谔方程常常遇到微观粒子的势能函数常常遇到微观粒子的势能函数 U 与时间与时间 t无关的稳定的势场问题，这称为无关的稳定的势场问题，这称为定态问题定态问题。自由运动粒子自由运动粒子U=0=0 氢原子中的电子氢原子中的电子这时波函数这时波函数 可以用可以用分离变量法分离变量法分离为分离为一个空间坐标的函数和一个时间函数的一个空间坐标的函数和一个时间函数的乘积。乘积。例如：例如：波函数可写成波函数可写成 将其代入薛定谔方程将其代入薛定谔方程两边除以两边除以 ，得，得=E (常数常数)可得只含变量可得只含变量 t 和只含变量和只含变量 r 的两个方程：的两个方程：一个是变量为一个是变量为t t 的方程的方程 其解为其解为 （A 是待定复常数，是待定复常数，E 有能量量纲有能量量纲,以后可知是以后可知是 粒子的能量：动能粒子的能量：动能 +势能）势能）（）（）一个是变量为一个是变量为r 的方程的方程可以把它先解出来：可以把它先解出来：求得特解求得特解因此，薛定谔方程的特解：因此，薛定谔方程的特解：由上面可以看出由上面可以看出:即定态时，概率密度可以用即定态时，概率密度可以用 来表示，来表示，称称 为为定态波函数定态波函数，上面上面（）式是式是 满足的方程，满足的方程，称为称为定态薛定谔方程定态薛定谔方程。小结：对势能函数小结：对势能函数 U 与时间与时间t 无关的定态问题，无关的定态问题，只须解定态薛定谔方程只须解定态薛定谔方程（）式，再乘上式，再乘上（）式式 即可得总波函数即可得总波函数 。令令称为哈密顿算符。称为哈密顿算符。这类方程称为本征值这类方程称为本征值方程。方程。体系的能量本征函数体系的能量本征函数从数学上讲，对任何值，定态薛定谔方程都有解。从数学上讲，对任何值，定态薛定谔方程都有解。对于实际的物理问题，只有一些特定的对于实际的物理问题，只有一些特定的En 对应的解对应的解n 才满足才满足 物理上的要求，即波函数的标准化条件物理上的要求，即波函数的标准化条件。En 称为体系的称为体系的能量本征值能量本征值。n 称为称为能量本征函数能量本征函数。定态薛定谔方程也就称为定态薛定谔方程也就称为 的的本征方程本征方程。而原方程的通解由特解迭加而成而原方程的通解由特解迭加而成定态的特点定态的特点1.它描写的粒子的能量它描写的粒子的能量 En是确定的是确定的2.位置的几率分布不随时间变化位置的几率分布不随时间变化3.几率密度矢量亦与时间无关几率密度矢量亦与时间无关 用波函数用波函数 描写的状态称为描写的状态称为定态定态描述定态有几种方法？描述定态有几种方法？思考题思考题一、一维无限深势阱和方势阱一、一维无限深势阱和方势阱 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱金属中自由电子的运动金属中自由电子的运动,是被限制在一个有限的范围是被限制在一个有限的范围 称为称为束缚态束缚态。作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深方作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深方势阱中运动：势阱中运动：2a金属金属U(x)U=U0U=U0U=0 x简简化化U=0UUU(x)x 无限深方势阱无限深方势阱一维无限深势阱的势能函数是：一维无限深势阱的势能函数是：|x|a;|x|a.U(x)=0+边界条件：在势阱外，必有边界条件：在势阱外，必有|x|a在势阱内，满足方程在势阱内，满足方程:显然显然E必须必须0，所以记，所以记那么方程变成：那么方程变成：它的一般解是：它的一般解是：因而，由于由于|x|=a 可得由边界条件A和B不能同时为0，否则0，无意义解有两种情形的解：所以，（1）(2)所以，二者合起来可写为：二者合起来可写为：波函数的归一化是：所以，（与n无关）最后，波函数是：所以，一维无限深势阱中粒子的定态波函数为：所以，一维无限深势阱中粒子的定态波函数为：(1)n的正负对解没有独立的物理意义。的正负对解没有独立的物理意义。因为波函数的形式一样，只存在正负值的区别，这并不影响 II2，即几率密度的分布不变。(2)n=0时，时，=0，无意义，无意义(3)束缚态：束缚态：通常把在无限远处为零的波函数所(4)描述的状态，。即粒子被限制在一个(5)有限的范围内运动 说明：3.3.最低能量不为零（称零点能）最低能量不为零（称零点能）符合不确定关系。符合不确定关系。2.当当 很大（宏观粒子）时，能量连续，很大（宏观粒子）时，能量连续，量子量子 经典。经典。讨论讨论1.1.按经典理论按经典理论粒子的粒子的“能量连续能量连续”；但量子力学但量子力学束缚态能量只能取分立值（能级）束缚态能量只能取分立值（能级）一般来说，束缚态体系能级是离散的，能量量子化是束缚态一般来说，束缚态体系能级是离散的，能量量子化是束缚态粒子的共同特性，是微观世界的特有现象粒子的共同特性，是微观世界的特有现象 4.基态：体系能量最低的态。对于一维无限深势阱，粒子的基态：体系能量最低的态。对于一维无限深势阱，粒子的 基态是基态是n=1的本征态，基态能量的本征态，基态能量E1、基态波函数、基态波函数15.能级间隔能级间隔6.粒子的动量及波长粒子的动量及波长由由n=1,2,3,4,5,6,还可以得到势阱中粒子的动量和波长还可以得到势阱中粒子的动量和波长说明势阱中粒子的每一个能量本征态正好对应于说明势阱中粒子的每一个能量本征态正好对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波。德布罗意波的一个特定波长的驻波。7.7.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布 与经典粒子不同。与经典粒子不同。例题：求在一维无限深势阱中运动的例题：求在一维无限深势阱中运动的 粒子的基态和第一激发态波长粒子的基态和第一激发态波长EnxE1E2E3E4 束缚态束缚态0 0呈驻波状呈驻波状8.8.宇称的概念宇称的概念-奇函数即-偶函数偶函数即即波函数“反演变换”变号，称为具有奇宇称奇宇称波函数“反演变换”不变号，称为具有偶宇称偶宇称得是两个沿相反方向传播的平面波迭加而成的驻波9.利用利用从左向右传从左向右传播的平面波播的平面波从右向左传从右向左传播的平面波播的平面波求解定态薛定谔方程的思路3.用分离变量法求解用分离变量法求解2.写出边界条件写出边界条件4.用归一化条件及标准化条件用归一化条件及标准化条件积分常数分常数5.讨论解的物理意义讨论解的物理意义1.写出写出 的形式，代入薛定谔方程的形式，代入薛定谔方程 2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子线性谐振子线性谐振子 何谓谐振子何谓谐振子何谓谐振子何谓谐振子?量量子子力力学学中中的的线线性性谐谐振振子子就就是是指指在在该该式式所所描描述述的的势势场中运动的粒子。场中运动的粒子。在经典力学中，当质量为在经典力学中，当质量为 的粒子，的粒子，受弹性力受弹性力F=-kxF=-kx作用，由牛顿第作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：二定律可以写出运动方程为：其解为其解为 x=Asin(t+)x=Asin(t+)。这种运动称为。这种运动称为简谐振动，简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。作这种运动的粒子叫谐振子。若取若取V V0 0=0=0，即，即平衡位置处于势平衡位置处于势 V=0 V=0 点，则点，则为什么研究线性谐振子为什么研究线性谐振子自然界广泛碰到简谐振动，自然界广泛碰到简谐振动，自然界广泛碰到简谐振动，自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小任何体系在平衡位置附近的小任何体系在平衡位置附近的小任何体系在平衡位置附近的小振动，振动，振动，振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。例如双原子分子，两原子间的势例如双原子分子，两原子间的势例如双原子分子，两原子间的势例如双原子分子，两原子间的势V V V V是二者相对距离是二者相对距离是二者相对距离是二者相对距离x x x x的函数，的函数，的函数，的函数，如图所示。在如图所示。在如图所示。在如图所示。在 x=a x=a x=a x=a 处，处，处，处，V V V V 有一极小值有一极小值有一极小值有一极小值V V V V0 0 0 0。在。在。在。在 x=a x=a x=a x=a 附附附附近势可以展开成泰勒级数：近势可以展开成泰勒级数：近势可以展开成泰勒级数：近势可以展开成泰勒级数：axV(x)0V0取新坐标原点为取新坐标原点为取新坐标原点为取新坐标原点为(a,V(a,V(a,V(a,V0 0 0 0)，则势可表示为标准谐振子势，则势可表示为标准谐振子势，则势可表示为标准谐振子势，则势可表示为标准谐振子势的形式：的形式：的形式：的形式：可见，一些复杂的势场下粒子的运动可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。往往可以用线性谐振动来近似描述。这里，含这里，含V(0)V(0)的一次项由于平衡位置的一次项由于平衡位置V(0)=0V(0)=0而消失而消失。除非振动的幅度较大，否则不必考虑展开式中非简谐的高阶项。除非振动的幅度较大，否则不必考虑展开式中非简谐的高阶项。双原子分子双原子分子一一.方程的化简方程的化简 线性谐振子的势能函数是：线性谐振子的势能函数是：其中其中是谐振子的固有圆频率。所以薛定谔方程是：是谐振子的固有圆频率。所以薛定谔方程是：在方程中做如下的无量纲化变换：在方程中做如下的无量纲化变换：当当时时 (），方程变为：，方程变为：其近似解：其近似解：由波函数的标准化条件：当由波函数的标准化条件：当时，时，有限有限 因此，因此，c c2 2=0=0 因整个波函数尚未归一化，因整个波函数尚未归一化，所以所以c c1 1可以令其等于可以令其等于1 1。最。最后渐近波函数为：后渐近波函数为：其中其中 H()H()必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即：即：当当有限时，有限时，H()H()有限；有限；当当时，时，H()H()的行为要保证的行为要保证()()0(0(边界条件边界条件）将将()()表达式代入方表达式代入方程（程（3 3）得到函数）得到函数 H()H()所满足的方程：所满足的方程：H()H()满足的方程满足的方程写为二.Hermitian多项式 可以用级数法求解H()的方程，结果发现：只要H()是“真”无穷级数，那么在x的时候H()就 e,仍然使()发散。能够避免这种情形出现的唯一出路是级数“中止”或“退化”为多项式，而这就要求只能取一些特殊的值。设要求设要求H()是是的的n次多项式，那么就必须让次多项式，那么就必须让 =2n+1 n=0,1,2,3 得到能量本征值能量本征值：现在H()的方程成为：其解为其解为:它称为它称为n次厄密（次厄密（Hermitian）多项式。）多项式。头五个头五个Hermitian多项式是多项式是:三三.线性谐振子的能级和波函数线性谐振子的能级和波函数 1.我们把线性谐振子的能级和波函数总结如下。能级是：我们把线性谐振子的能级和波函数总结如下。能级是：对应的波函数是：对应的波函数是：Nn是归一化常数，利用特殊积分是归一化常数，利用特殊积分 可得可得 1.能量能量 能量量子化、能量量子化、能级等间距。能级等间距。能量间隔能量间隔 h h （与黑体辐射理论同）（与黑体辐射理论同）E0E4E3E1E2E0 02.波函数波函数 零点能零点能:讨论：讨论：Hn是厄密（是厄密（Hermite）多项式，）多项式，最高阶是最高阶是 3.能级的宇称偶奇相间，基态是偶宇称能级的宇称偶奇相间，基态是偶宇称,即即n(-x)=(-1)nn(x)四四.几率分布几率分布:经典力学：在经典力学：在到到+d之间的区域内找到质点的几率之间的区域内找到质点的几率()d与质点在此区域内逗留的时间与质点在此区域内逗留的时间dt成比例成比例T是振动周期。因此有是振动周期。因此有即几率密度与质点的速度成反比。对于经典的线性谐振子，即几率密度与质点的速度成反比。对于经典的线性谐振子，=a sin(t+),在在点的速度为点的速度为量子力学：量子力学：所以，几率密度与所以，几率密度与成比例成比例 谐振子的波函数谐振子的波函数 谐振子的概率密度分布谐振子的概率密度分布经典经典量子量子 量子量子:概率密度呈波动状概率密度呈波动状,在基态在基态n =0=0时，时，x=0=0处粒子出现概率最大。处粒子出现概率最大。经典经典:当当 n 时：时：量子概率分布量子概率分布 经典分布经典分布n=11时的概率密度分布时的概率密度分布EU量子量子经典经典x=0=0处粒子速度处粒子速度最大，最大，“概率概率”最小。最小。19271927年第五届索尔威会议年第五届索尔威会议爱爱因因斯斯坦坦洛洛仑仑兹兹居居里里夫夫人人普普朗朗克克德德拜拜泡泡利利康康普普顿顿薛薛定定谔谔狄狄拉拉克克埃埃伦伦费费斯斯特特布布喇喇格格玻玻尔尔海海森森伯伯玻玻恩恩朗朗之之万万德德布布罗罗意意2.8 势垒贯穿一、方势垒一、方势垒1.方势垒是：方势垒是：0 a xU0U(x)其特点是：其特点是：(1)对于势阱，波函数在无穷远处趋于零，能谱是分立的对于势阱，波函数在无穷远处趋于零，能谱是分立的 对于势垒，波函数在无穷远处不为零，粒子能量可取任意值对于势垒，波函数在无穷远处不为零，粒子能量可取任意值 (2)经典力学：若经典力学：若E U0,则粒子将穿过势垒运动。则粒子将穿过势垒运动。量子力学：由于粒子的波动性，此问题将与波透过一层介质量子力学：由于粒子的波动性，此问题将与波透过一层介质 相似，总有一部分波穿过势垒，而有一部分波被相似，总有一部分波穿过势垒，而有一部分波被 反射回去。因此，讨论重点是反射回去。因此，讨论重点是反射和透射系数反射和透射系数。2.2.方程求解方程求解（1 1）E VE V0 0 情况情况因为因为 E 0,E V0,所以所以 k1 0,k2 0.上面的方程可改写为：上面的方程可改写为：上述三个区域的上述三个区域的 SchrodingerSchrodinger方程可写为：方程可写为：定态波函数定态波函数1 1,2 2,3 3 分别乘以含时因子分别乘以含时因子 exp-iEt/exp-iEt/即可看出：式中第一项是沿即可看出：式中第一项是沿x x正向传播的平面波，第二项是沿正向传播的平面波，第二项是沿x x负向传负向传播的平面波。由于在播的平面波。由于在 x a x a 的的III III 区没有反射波，所以区没有反射波，所以 C=0C=0，于是，于是解为：解为：利用波函数标准条件来定系数。利用波函数标准条件来定系数。首先，首先，解单值、有限条件满足。解单值、有限条件满足。1.波函数连续波函数连续2.波函数导数连续波函数导数连续波函数意义波函数意义综合综合整理整理记之记之3.3.3.3.求解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组求解方程组得求解方程组得:4.4.透射系数和反射系数透射系数和反射系数为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。I I 透射系数：透射系数：透射波几率流密度与入射波透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数几率流密度之比称为透射系数D=JD=JD D/J/JI III II 反射系数：反射系数：反射波几率流密度与入射波反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数几率流密度之比称为反射系数R=JR=JR R/J/JI I其物理意义是：描述贯穿到其物理意义是：描述贯穿到 x a x a 的的 IIIIII区中的粒子在单位时间内流过垂区中的粒子在单位时间内流过垂直直 x x方向的单位面积的数目与入射粒子（在方向的单位面积的数目与入射粒子（在 x 0 x a x a 的的IIIIII区，另一部分则被势垒反射回来。区，另一部分则被势垒反射回来。同理得反射系数：同理得反射系数：（2 2）E VE V0 0情况情况故可令：故可令：k k2 2=ik=ik3 3，其中其中k k3 3=2(V=2(V0 0-E)/-E)/1/21/2。这样把前面公式中的这样把前面公式中的 k k2 2 换成换成 ikik3 3 并注意到：并注意到：sin iksin ik3 3a=i sinh ka=i sinh k3 3a a即使即使 E VE V0 0，在一般情况下，透射系数，在一般情况下，透射系数 D D 并不等于零。并不等于零。0 aV(x)xV0入射波入射波+反射波反射波透射波透射波因因 k k2 2=2(E-V=2(E-V0 0)/)/1/21/2，当，当 E E V 1a 1时时故故4 4可略可略透射系数透射系数则变为：则变为：粗略估计，认为粗略估计，认为 k k1 1 k k3 3 （相当于（相当于E VE V0 0/2/2）,则则 D D0 0=4=4是一常数。下是一常数。下面通过实例来说明透射系数面通过实例来说明透射系数 的量级大小。的量级大小。于是：于是：例例例例1:1:1:1:入射粒子为电子。入射粒子为电子。入射粒子为电子。入射粒子为电子。设设 E=1eV,V0=2eV,a=2 10-8 cm=2，算得算得 D 0.51。若若a=5 10-8cm=5，则则 D 0.024，可见，可见透射系数迅速减小。透射系数迅速减小。质子与电子质量比质子与电子质量比 p/e 1840。对于对于a=2 则则 D 2 10-38。可见透射系数明显的依赖于可见透射系数明显的依赖于粒子的质量和势垒的宽度。粒子的质量和势垒的宽度。量子力学提出后，量子力学提出后，Gamow首先用势垒穿透成功的说明首先用势垒穿透成功的说明了放射性元素的了放射性元素的衰变现象。衰变现象。例例2:2:入射粒子换成质子。入射粒子换成质子。（2 2）任意形状的势垒）任意形状的势垒则则 x x1 1 x x2 2贯穿势垒贯穿势垒V(x)V(x)的的透射系数等于贯穿这些小透射系数等于贯穿这些小方势垒透射系数之积，即方势垒透射系数之积，即此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。对每一小方势垒透射系数对每一小方势垒透射系数可把任意形状的势垒分割成许可把任意形状的势垒分割成许多小势垒，这些小势垒可以近多小势垒，这些小势垒可以近似用方势垒处理。似用方势垒处理。0 a bV(x)Edx例如，例如，放射性核的放射性核的 粒子衰变粒子衰变 隧道二极管隧道二极管 扫描隧穿显微镜扫描隧穿显微镜若若 、a、(U0 E)越小，则透射系数越小，则透射系数D D越大。越大。实验完全证实了实验完全证实了“量子隧道效应量子隧道效应”现象的存在。现象的存在。05090307010(nm)硅晶体表面的硅晶体表面的STM扫描图象扫描图象神经细胞的神经细胞的STM扫描图象扫描图象搬运单个原子搬运单个原子 镶嵌了镶嵌了4848个个 Fe 原子的原子的 Cu 表面的表面的扫描隧道显微镜照片。扫描隧道显微镜照片。48 48 个个 Fe 原子原子形成形成“电子围栏电子围栏”，围栏中的电子形成驻波：，围栏中的电子形成驻波：由于这一贡献，宾尼、罗赫尔和鲁斯卡由于这一贡献，宾尼、罗赫尔和鲁斯卡三人分享了三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。年度的诺贝尔物理奖。前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者，前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者，第三人是第三人是 1932年电子显微镜的发明者，年电子显微镜的发明者，这里是为了追朔他的功劳。这里是为了追朔他的功劳。罗赫尔罗赫尔宾尼宾尼鲁斯卡鲁斯卡微观体系的状态由一个波函数完全描述微观体系的状态由一个波函数完全描述当给定体系的波函数，则体系的各种力学量的可能观测值及可当给定体系的波函数，则体系的各种力学量的可能观测值及可测得的几率便完全确定。测得的几率便完全确定。描述的特点描述的特点波恩的几率解释波恩的几率解释第二章小结1.波与所描述的粒子的关系波与所描述的粒子的关系2.波函数的统计解释波函数的统计解释3.解释电子衍射实验的三种观点解释电子衍射实验的三种观点四四.薛定谔方程薛定谔方程2.当当时时1.由定态薛定谔方程确定由定态薛定谔方程确定