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21.1 二次函数第21章 二次函数与反比例函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 九年级数学上（HK）教学课件21.1 二次函数第21章 二次函数与反比例函数导入新课1学习目标1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）2.会利用二次函数的概念解决问题.3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）学习目标1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）2 雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？导入新课导入新课情境引入 雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线3导入新课导入新课视频引入思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗?导入新课视频引入思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗41.什么叫函数?一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.3.一元二次方程的一般形式是什么？一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k0）的函数叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.2.什么是一次函数？正比例函数？ax2+bx+c=0 (a0)1.什么叫函数?一般地，在一个变化的过程中，如果5问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 .y=6x2 此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.讲授新课讲授新课二次函数的定义一探究归纳问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面6问题2 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是S m2，则有此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.问题2 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水7问题3有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增加1人，可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多？最多为多少？设增加x 人，这时，则共有 个装配工,每人每天可少装配_个玩具，因此，每人每天只装配 个玩具.所以，增加人数后，每天装配玩具总数y可表示为y=_.(15+x)(1901010 x)整理为：y=1010 x2+40 x+2850(1901010 x)(15+x)此式表示了每天装配玩具总数y与增加x人之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.10 x问题3 有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天可8 y=6x2 y=1010 x2+40 x+2850问题1-3中函数关系式有什么共同点?想一想函数都是用自变量的二次整式表示的 y=6x2 y=10 x2+40 x+2850问题1-3中函9二次函数的定义：形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.温馨提示：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a,b,c为常数，且a 0;（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.归纳总结二次函数的定义：形如y=ax+bx+c(a,b,c10 例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量）y=ax2+bx+c y=3-2x y=x2 y=x+x+25 y=(x+3)-x不一定是，缺少a0的条件.不是，右边是分式.不是，x的最高次数是3.y=6x+9典例精析 例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量）不一11判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx,y=ax2+c等.方法归纳 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化12想一想:二次函数的一般式y=ax2bxc（a0）与一元二次方程ax2bxc0（a0）有什么联系和区别？联系联系：(1)等式一边都是ax2bxc且a 0；(2)方程ax2bxc=0可以看成是函数y=ax2bxc中y=0时得到的.区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0.想一想:二次函数的一般式y=ax2bxc（a0）与一13二次函数定义的应用二 例2 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2）m取什么值时，此函数是二次函数？解：（1）由题）由题可知,解得（2）由题）由题可知,解得 m=3.第（2）问易忽略二次项系数a0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.注意二次函数定义的应用二 例2 解：（141.已知:，k取什么值时，y是x的二次函数？解：当=2且k+20，即k=-2时,y是x的二次函数.变式训练解：由题意得：由题意得：m3 1.已知:15解：解：由题意得：由题意得：【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.解：由题意得：【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概16例3：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1x10)，求出y关于x的函数关系式；解：第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，第x档次，提高了(x1)档，利润增加了2(x1)元y62(x1)955(x1)，即y10 x2180 x400(其中x是正整数，且1x10)；例3：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最17(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次解：由题意可得10 x2180 x4001120，整理得x218x720，解得x16，x212(舍去)所以，该产品的质量档次为第6档【方法总结】解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品18思考：1.已知二次函数y10 x2180 x400,自变量x的取值范围是什么？2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y10 x2180 x400，其自变量x的取值范围与1中相同吗？【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.思考：2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y10 x219二次函数的值三例4 一个二次函数 .（1）求k的值.（2）当x=0.5时，y的值是多少？解：（1）由题意，得解得将x=0.5代入函数关系式得，（2）当k=2时，二次函数的值三例4 一个二次函数 20 此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值.归纳总结 此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及21当堂练习当堂练习2.函数 y=(m-n)x2+mx+n 是二次函数的条件是()A.m,n是常数,且m0 B.m,n是常数,且n0C.m,n是常数,且mn D.m,n为任何实数C1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_,一次项系数为_，常数项为 .3下列函数是二次函数的是()Ay2x1 BCy3x21 DC-3x2-1612当堂练习2.函数 y=(m-n)x2+mx+n 是二次函数224.已知函数已知函数 y=3x2m-15 当当m=时，时，y是关于是关于x的一次函数；的一次函数；当当m=时，时，y是关于是关于x的二次函数的二次函数.14.已知函数 y=3x2m-15 1235.若函数 是二次函数，求：（1）a的值，(2)函数关系式，（3）当x=-2时，y的值是多少？解：（1）由题意，得解得（2）当a=-1时，函数关系式为 .（3）将x=-2代入函数关系式中，有 5.若函数 是二次函数，求246.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系6.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数257.某商店销售一种成本为每千克40元的商品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg,针对这种商品的销售情况，请解答下列问题：（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销售利润分别为多少？（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）7.某商店销售一种成本为每千克40元的商品，根据市场分析，若26课堂小结课堂小结二次函数定 义y=ax2+bx+c(a 0，a,b,c是常数）一般形式右边是整式；自变量的指数是2；二次项系数a 0.特殊形式y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c(a 0，a,b,c是常数）.课堂小结二次函数定 义y=ax2+bx+c(a 0，a2721.2 二次函数的图象和性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.二次函数y=ax的图象和性质 九年级数学上（HK）教学课件21.2 二次函数的图象和性质导入新课讲授新课当堂练习课堂28学习目标1.正确理解抛物线的有关概念.（重点）2.会用描点法画出二次函数y=ax的图象，概括出图象的特点.（难点）3.掌握形如y=ax的二次函数图象的性质，并会应用.（难点）学习目标1.正确理解抛物线的有关概念.（重点）29导入新课导入新课情境引入导入新课情境引入30讲授新课讲授新课二次函数y=ax2的图象一x-3-2-10123y=x2 2例1 画出二次函数y=x2的图象.9410194典例精析1.列表：在y=x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：讲授新课二次函数y=ax2的图象一x-3-2-101233124-2-4o369xy2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面内描点（x,y）3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2 的图象24-2-4o369xy2.描点：根据表中x,y的数值在坐32-33o369当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：xy 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.-33o369当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：xy 33练一练：画出函数y=-x2的图象.y24-2-40-3-6-9xx-3-2-10123y=-x2-9-4-10-1-4-9 练一练：画出函数y=-x2的图象.y24-2-40-3-6-34 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.xoy=x2议一议1.yx2是一条抛物线;2.图象开口向上;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最低点y 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x235说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流.oxyy=-x2 1.y-x2是一条抛物线;2.图象开口向下;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最高点说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流.oxyy361.顶点都在原点;3.当a0时，开口向上；当a0时，开口向上；二次函数y=37 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a0)的关系是什么？二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.xyOy=ax2y=-ax2交流讨论 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a038二 二次函数y=ax2的性质问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？(-2,4)(-1,1)(2,4)(1,1)二二次函数y=ax2的性质问题1：观察图形，y随x的变化如何39对于抛物线 y=ax 2（a0）当x0时，y随x取值的增大而增大；当x0时，y随x取值的增大而减小.知识要点对于抛物线 y=ax 2（a0）知识要点40(-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？(-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)问题2：41对于抛物线 y=ax2（a0）当x0时，y随x取值的增大而减小；当x0时，a越大，开口越小.xyO -222464-48思考1：从二次函数 44练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象x 4 3 2101234x 21.510.500.511.52-8-4.5-2-0.50-8-4.5-2-0.5-8-4.52 0.5084.520.5练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 4522246448当a0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.思考思考2 从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？对于抛物线 y=ax 2，a越大，抛物线的开口越小xyO22246448当a0a0a0 m2+m=2 解解得得:m1=2,m2=1 由由得得:m1 m=1 此时此时,二次函数为二次函数为:y=2x2.典例精析例1已知 y=(m+1)x 是二次函数,且其49例例2：已知二次函数y=x2（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=x2的图象上吗？典例精析例2：已知二次函数y=x2典例精析50（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？解：（1）当x=2时，y=x2=4，所以A（2，4）在二次函数图象上；（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）；（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？解：（1）当x=51（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=x2的图象上吗？当x=2时，y=x2=4，所以C点在二次函数y=x2的图象上；当x=2时，y=x2=4，所以B点在二次函数y=x2的图象上；当x=2时，y=x2=4，所以D点在二次函数y=x2的图象上（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y52已知 是二次函数，且当x0时，y随x增大而增大，则k=.分析：是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此，解得 k=22练一练已知 是二次函数，且当x053例3.已知二次函数y2x2.(1)若点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_y2；(填“”“”或“”)；(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和例3.已知二次函数y2x2.14.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：开口方向 对称轴顶点向上向下向下向上y轴y轴y轴y轴（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）O 3.如右图，观察函数y=（k-1）x2的图象,则k的取值58 5.若抛物线y=ax2（a 0），），过点（-1，2）.（1）则a的值是 ；（2）对称轴是 ，开口 .（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值.抛物线在x轴的 方（除顶点外）.(4)若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1x2 5.若抛物线y=ax2（a 0），过点（-1，2）59 6.已知二次函数y=x2，若xm时，y最小值为0，求实数m的取值范围解：二次函数y=x2，当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，当xm时，y最小值=0，m0 6.已知二次函数y=x2，若xm时，y最小值为0，求实数60课堂小结课堂小结二次函数y=ax2的图象及性质画法描 点 法以对称轴为中心 对 称 取 点图象抛 物 线轴 对 称 图 形性质重点关注4个 方 面开口方向及大小对称轴顶 点 坐 标增减性课堂小结二次函数y=ax2的图象及性质画法描点法以对称轴为中6121.2 二次函数的图象和性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.二次函数y=ax+bx+c的图象和性质第1课时二次函数y=ax+k的图象和性质 九年级数学上（HK）教学课件21.2 二次函数的图象和性质导入新课讲授新课当堂练习课堂62学习目标1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（重点）2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（难点）3.理解y=ax与y=ax+k之间的联系.（重点）学习目标1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（重点）63这个函数的图象是如何画出来的？情境引入xy导入新课导入新课这个函数的图象是如何画出来的？情境引入xy导入新课64二次函数y=ax2+k的图象和性质(a0)一做一做：画出二次函数y=2x,y=2x2+1，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.x 1.5 1 0.500.511.5y=2x2+1y=2x24.520.500.524.5y=2x2-13.51-0.51-0.5-13.55.51.531.513 5.5讲授新课讲授新课二次函数y=ax2+k的图象和性质(a0)一做一做：画出二65 22246448y=2x2+1y=2x2y=2x2-1观察上述图象，说说它有哪些特征.xyO 22246448y=2x2+1y=2x66探究归纳解：先列表：x 3210123例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 与的图象探究归纳解：先列表：x321012367xy-4-3-2-1o1234123456描点、连线，画出这两个函数的图象xy-4-3-2-1o1234123456描点、连线，画出这68观察与思考 抛物线 ，的开口方向、对称轴和顶点各是什么？二次函数开口方向顶点坐标 对称轴向上向上（0,0）（0,1）y轴y轴想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k(a0)的性质是什么？观察与思考 抛物线 ，的开口方69y-2-2422-4x0二次函数y=ax2+k的图象和性质(a0)二做一做在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：y-2-2422-4x0二次函数y=ax2+k的图象和性质(70根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是 .(2)三条抛物线的开口方向_;(3)对称轴都是_(4)从上而下顶点坐标分别是 _抛物线向下直线x=0(0,0)(0,2)(0,-2)根据图象回答下列问题:抛物线向下直线x=0(0,0)(071(5)顶点都是最_点，函数都有最_值，从上而下最大值分别为_、_(6)函数的增减性都相同：_高大大y=0y=-2y=2对称轴左侧y随x增大而增大对称轴右侧y随x增大而减小(5)顶点都是最_点，函数都有最_值，从上而下最72二次函数y=ax2+k（a0）的性质y=ax2+ka0a0开口方向向上向下对称轴y轴y轴顶点坐标（0,k）（0,k）最值当x=0时，y最小值=k当x=0时，y最大值=k增减性当x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大.当x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大.知识要点二次函数y=ax2+k（a 0）的性质y=ax2+ka73例2：已知二次函数yax2+c,当x取x1，x2（x1x2）时，函数值相等，则当xx1+x2时，其函数值为_.解析：由二次函数yax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x20.把x0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.c【方法总结】二次函数yax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数例2：已知二次函数yax2+c,当x取x1，x2（x1x74解析式y=2x2y=2x2+1y=2x2-1+1-1点的坐标函数对应值表xy=2x2-1y=2x2y=2x2+14.5-1.53.55.5-1213x2x22x2-1(x,)(x,)(x,)2x2-12x22x2+1从数的角度探究从数的角度探究二次函数y=ax2+k的图象及平移三2x2+1解析式y=2x2y=2x2+1y=2x2-1+1-1点的坐标7542224648102y=2x21y=2x21可以发现，把抛物线y=2x2向平移1个单位长度，就得到抛物线；把抛物线y=2x2向平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1.下y=2x2+1上从形的角度探究从形的角度探究4xyO2224648102y=2x21y=76二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：当k 0 时,向上平移k个单位长度得到.当k 20=01(0,1)(-1,0),(1,0)开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：836.在同一直角坐标系中，一次函数yaxk和二次函数yax2k的图象大致为()方法总结：熟记一次函数ykxb在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键D6.在同一直角坐标系中，一次函数yaxk和二次函数ya84二次函数y=ax2+k（a0)的图象和性质图象性质与y=ax2的关系1.开口方向由a的符号决定；2.k决定顶点位置；3.对称轴是y轴.增减性结合开口方向和对称轴才能确定.平移规律：k正向上；k负向下.课堂小结课堂小结二次函数y=ax2+k（a0)的图象和性质图象性质与y=a8521.2 二次函数的图象和性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.二次函数y=ax+bx+c的图象和性质第2课时二次函数y=a(x+h)的图象和性质 九年级数学上（HK）教学课件21.2 二次函数的图象和性质导入新课讲授新课当堂练习课堂86情境引入学习目标1.会画二次函数y=a(x+h)2的图象.（重点）2.掌握二次函数y=a(x+h)2的性质.(难点）3.比较函数y=ax2 与 y=a(x+h)2的联系.情境引入学习目标1.会画二次函数y=a(x+h)2的图象.（87导入新课导入新课复习引入导入新课复习引入88a,c的符号a0,c0a0,c0a0a0,c0图象开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值向上向下y轴（直线x=0）y轴（直线x=0）（0,c）（0,c）当x0时，y随x增大而增大.当x0时，y随x增大而减小.x=0时，y最小值=cx=0时，y最大值=c问题1说说二次函数y=ax2+c(a0)的图象的特征.a,c的符号a0,c0a0,c0a0a 0 时，向上平移c个单位长度得到.当k 0,开口向上a0,开口向上；当 a0a0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(h,k)(h,k)x=hx=h当xh时，y随着x的增大而增大.当xh时，y随着x的增大而减小.x=h时,y最小最小=kx=h时,y最大最大=k抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.导入新课复习引入y=a(x-h)2+ka0a0开口方向顶129顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴最值最值y=-2x2y=-2x2-5y=-2(x+2)2y=-2(x+2)2-4y=(x-4)2+3y=-x2+2xy=3x2+x-6(0,0)y轴0(0,-5)y轴-5(-2,0)直线x=-20(-2,-4)直线x=-2-4(4,3)直线x=43?顶点坐标对称轴最值y=-2x2y=-2x2-5y=-2(x+130讲授新课讲授新课二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质一探究归纳我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论的图象和性质？问题1 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？讲授新课二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质一探究归纳我131配方可得想一想：配方的方法及步骤是什么？配方可得132配方你知道是怎样配方的吗？(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.配方你知道是怎样配方的吗？(1)“提”：提出二次项系数133问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标134问题4 如何画二次函数 的图象？9 98 87 76 65 54 43 3x先利用图形的对称性列表7.553.533.557.5510 xy510然后描点画图，得到图象如右图.O问题4 如何画二次函数 的图135问题5 结合二次函数 的图象，说出其性质.510 xy510 x=6当x6时，y随x的增大而增大.O问题5 结合二次函数 的图象，136例1 画出函数的图象，并说明这个函数具有哪些性质.x-2-101234y-6.5-4-2.5-2-2.5-4-6.5解:函数 通过配方可得 ，先列表：典例精析例1 画出函数 1372xy-204-2-4-4-6-8然后描点、连线，得到图象如下图.由图象可知，这个函数具有如下性质：当x1时，函数值y随x的增大而增大；当x1时，函数值y随x的增大而减小；当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.2xy-204-2-4-4-6-8然后描点、连线，得到图象如138 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).解：练一练 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.139将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k二 我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k140y=ax+bx+c y=ax+bx+c 141归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：对称轴是：直线归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 一般地，二142(1)(2)xyOxyO如果a0,当x时，y随x的增大而增大.如果a0,当x 时，y随x的增大而减小.(1)(2)xyOxyO如果a0,当x1可得2ab0，故正确；例3 已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，下列1501.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x-10123y51-1-11A.y轴 B.直线x=C.直线x=2 D.直线x=则该二次函数图象的对称轴为()D当堂练习当堂练习1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下151Oyx1232.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则下列结论：（1）a、b同号；（2）当x=1和x=3时，函数值相等；（3）4a+b=0；（4）当y=2时，x的值只能取0；其中正确的是 .直线x=1（2）Oyx1232.已知二次函数y=ax2+bx+c(a01523.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：b-2a=0；4a-2b+cy2.其中正确的是（）A B C DxyO2x=-1B3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分153课堂小结课堂小结顶点：顶点：对称轴：对称轴：y=ax2+bx+c（a 0)(一般式一般式)配方法配方法配方法配方法公式公式公式公式法法法法(顶点式顶点式)课堂小结顶点：对称轴：y=ax2+bx+c（a 0)配方法15421.2 二次函数的图象和性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结*3.二次函数表达式的确定 九年级数学上（HK）教学课件21.2 二次函数的图象和性质导入新课讲授新课当堂练习课堂155学习目标1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点）2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）学习目标1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点）156导入新课导入新课复习引入1.一次函数y=kx+b(k0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？2个2个待定系数法(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写表达式）导入新课复习引入1.一次函数y=kx+b(k0)有几个待定157一般式法二次函数的表达式一探究归纳问题1（1）二次函数y=ax2+bx+c(a0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个3个（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：x-3-2-1012y010-3-8-15讲授新课讲授新课一般式法二次函数的表达式一探究归纳问题1（1）二次函数y=158解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.9a-3b+c=0，a-b+c=0，c=-3，解得a=-1，b=-4，c=-3.所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.待定系数法步骤：1.设：（表达式）2.代：（坐标代入）3.解：方程（组）4.还原：（写解析式）解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3159这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：设函数表达式为y=ax2+bx+c；代入后得到一个三元一次方程组；解方程组得到a,b,c的值；把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.归纳总结一般式法求二次函数表达式的方法这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.归纳总结一般160例1一个二次函数的图象经过(-1,10)、(1,4)、(2,7)三点，求这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,已知函数图象经过点(-1,10)、(1,4)、(2,7)三点，可得4a+2b+c=7，a-b+c=10，解这个方程组，得所求的二次函数的表达式是 y=2x2-3x+5a+b+c=4，c=5，a=2，b=-3，例1 一个二次函数的图象经过(-1,10)、(1,4)、161例2有一个二次函数,当x=0时,y=1;当x=2时,y=0;当x=时,y=0,求这个二次函数的解析式.由题意得：解：设所求的二次函数为,2cbxaxy+=解得所求的二次函数为例2 有一个二次函数,当x=0时,y=1;当x=2时162顶点法求二次函数的表达式二 选取顶点（-2，1）和点（1，-8），），试求出这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得 y=a(x+2)2+1，再把点（1，-8）代入上式得 a(1+2)2+1=-8，解得a=-1.所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.顶点法求二次函数的表达式二 选取顶点（-2，1）和点（1，163归纳总结顶点法求二次函数的方法这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：设函数表达式是y=a(x-h)2+k；先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；将另一点的坐标代入原方程求出a值；a用数值换掉，写出函数表达式.归纳总结顶点法求二次函数的方法这种知道抛物线的顶点坐标，求表164例2一个二次函数的图象经点(0,1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.解：因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为y=a(x-8)2+9.又由于它的图象经过点(0,1)，可得 0=a(0-8)2+9.解得所求的二次函数的解析式是例2 一个二次函数的图象经点(0,1)，它的顶点坐标为165 解：（-3，0）（）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得 y=a(x+3)(x+1).再把点（0，-3）代入上式得a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1，所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即即y=-x2-4x-3.选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数的表达式.交点法求二次函数的表达式三xyO1 2-1-2-3-4-1-2-3-4-512 解：（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c166归纳总结交点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；将方程的解代入原方程求出a值；a用数值换掉，写出函数表达式.归纳总结交点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线与167想一想确定二次函数的这三点应满足什么条件？任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴.想一想任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但168特殊条件的二次函数的表达式四例3.已知二次函数yax2c的图象经过点(2,3)和(1,3)，求这个二次函数的表达式解:该图象经过点（2,3）和(1,3)，3=4a+c，3=a+c，所求二次函数表达式为y=2x25.a=2，c=5.解得关于y轴对称特殊条件的二次函数的表达式四例3.已知二次函数yax2 169已知二次函数yax2bx的图象经过点(2，8)和(1，5)，求这个二次函数的表达式解:该图象经过点（-2,8）和（-1,5），做一做图象经过原点8=4a-2b，5=a-b，解得a=-1,b=-6.y=-x2-6x.已知二次函数yax2 bx的图象经过点(2，8)170BC二次函数与一次函数的综合五解：如图所示；例5：抛物线与直线交于B,C两点.（1）在同一平面直角坐标系中画出直线与抛物线；BC二次函数与一次函数的综合五解：如图所示；例5：抛物线 171解：由（2）记抛物线的顶点A，求ABC的面积；xyOA2-1-2-3-1216486BC得点A的坐标为（4,0）解方程组得B（2,2）,C（7,4.5）解：由（2）记抛物线的顶点A，求ABC的面积；xyOA2-172xyOAB1-1-2-3-1216486BC过B,C两点作x轴垂线，垂直为B1,C2C1xyOAB1-1-2-3-1216486BC过B,C两点作x173练一练 如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a 0)0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）xOyAOxyBxOyCxOyDA练一练 如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常174当堂练习当堂练习1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 .注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.注意xyO1 2-1-2-3-4321-1345当堂练习1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 1752.过点（2，4），），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是 .顶点坐标是（1，6）y=-2(x-1)2+62.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式顶1763.已知二次函数的图象经过点(1，5)，(0，4)和(1，1)求这个二次函数的表达式解：设这个二次函数的表达式为yax2bxc依题意得这个二次函数的表达式为y2x23x4.abc1，c4，a-bc-5，解得b3，c4，a2，3.已知二次函数的图象经过点(1，5)，(0，4)和(1774.如图，抛物线yx2bxc过点A(4，3)，与y轴交于点B，对称轴是x3，请解答下列问题：(1)求抛物线的表达式；解：(1)把点A(4，3)代入yx2bxc得164bc3，c4b19.对称轴是x3，3，b6，c5，抛物线的表达式是yx26x5；4.如图，抛物线yx2bxc过点A(4，3)，与y178(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD8，求BCD的面积(2)CDx轴，点C与点D关于x3对称点C在对称轴左侧，且CD8，点C的横坐标为7，点C的纵坐标为(7)26(7)512.点B的坐标为(0，5)，BCD中CD边上的高为1257，BCD的面积8728.(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴179课堂小结课堂小结已知三点坐标已知顶点坐标或对称轴或最值已知抛物线与x轴的两个交点已知条件所选方法用一般式法：y=ax2+bx+c用顶点法：y=a(x-h)2+k用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)(x1,x2为交点的横坐标）待定系数法求二次函数解析式课堂小结已知三点坐标已知顶点坐标或对称轴或最值已知抛物18021.3 二次函数与一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 二次函数与一元二次方程 九年级数学上（HK）教学课件21.3 二次函数与一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课1811.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系；（重点）2.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；（重点）3.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用.（难点）学习目标1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系；（重点）182导入新课导入新课情境引入问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：导入新课情境引入问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面183讲授新课讲授新课二次函数与一元二次方程的关系一（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？Oht1513当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.解：解方程 15=20t-5t2,t2-4t+3=0,t1=1,t2=3.你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？h=20t-5t2讲授新课二次函数与一元二次方程的关系一（1）球的飞行高度能否184（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？Oht204解方程：20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.当球飞行2秒时，它的高度为20米.h=20t-5t2（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？185（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？Oht你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?20.5解方程：20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4 4.1 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac 0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系知识要点二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次192例1：已知关于x的二次函数ymx2(m2)x2(m0)(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值(1)证明：m0，(m2)24m2m24m48m(m2)2.(m2)20，0，此抛物线与x轴总有两个交点；例1：已知关于x的二次函数ymx2(m2)x2(m193(2)解：令y0，则(x1)(mx2)0，所以x10或mx20，解得x11，x2.当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数所以正整数m的值为1或2.例1：已知关于x的二次函数ymx2(m2)x2(m0)(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值(2)解：令y0，则(x1)(mx2)0，例1：已知194变式：已知：抛物线yx2axa2.(1)求证：不论a取何值时，抛物线yx2axa2与x轴都有两个不同的交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值(1)证明：a24(a2)(a2)240，不论a取何值时，抛物线yx2axa2与x轴都有两个不同的交点；(2)解：x1x2a，x1x2a2，x12x22(x1x2)22x1x2a22a43，a1.变式：已知：抛物线yx2axa2.(1)证明：195例2如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？例2如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线196解（1）由抛物线的表达式得即解得即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？解 （1）由抛物线的表达式得（1）当铅球离地面的高度为2.197（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（2）由抛物线的表达式得即解得即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距198（3）由抛物线的表达式得即因为所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？（3）由抛物线的表达式得（3）铅球离地面的高度能否达到3m？199一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.200例3：求一元二次方程的根的近似值（精确到0.1）.分析：一元二次方程x+2x-1=0的根就是抛物线y=x+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.利用二次函数求一元二次方程的近似解三例3：求一元二次方程 201解：画出函数y=x+2x-1的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-3与-2之间,另一个在0与1之间.xy0解：画出函数 y=x+2x-1 的图象（如下图），由图象可202先求位于-3到-2之间的根，由图象可估计这个根是-2.5或-2.4，利用计算器进行探索，见下表：x-2.5-2.4y0.25-0.04观察上表可以发现，当x分别取-2.5和-2.4时，对应的y由负变正，可见在-2.5和-2.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-2.5和x=-2.4都符合要求.但当x=-2.4时更为接近0.故x1-2.4.同理可得另一近似值为x20.4.先求位于-3到-2之间的根，由图象可估计这个根203一元二次方程的图象解法利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.(1)用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象；(2)观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);(3)确定方程2x2+x-15=0的解;由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1-3,x22.5.方法归纳一元二次方程的图象解法利用二次函数的图象求一元二次方程2x2204例4:已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则一元二次方程ax2bxc0的近似根为()Ax12.1，x20.1Bx12.5，x20.5Cx12.9，x20.9Dx13，x21解析：由图象可得二次函数yax2bxc图象的对称轴为x1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，x20.5；又对称轴为x1，则1，x12(1)0.52.5.故x12.5，x20.5.故选B.B例4:已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则一元205解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确方法总结 解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性206判断方程 ax2+bx+c=0(a0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（）A.3 x 3.23 B.3.23 x 3.24 C.3.24 x 3.25 D.3.25 x 3.26 x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09C1.根据下列表格的对应值:当堂练习当堂练习 判断方程 ax2+bx+c=0(a0,a,b,c为常2072若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2=；-1yOx133.一元二次方程 3x2+x10=0的两个根是x1=2，x2=，那么二次函数 y=3x2+x10与x轴的交点坐标是 .(-2，0)(，0)2若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于2084.若一元二次方程 无实根，则抛物线 图象位于（）A.x轴上方 B.第一、二、三象限C.x轴下方 D.第二、三、四象限A5.二次函数ykx26x3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()Ak3Bk0的解集是_;不等式ax2+bx+c0的解集是_.3-1Oxyx1=-1，x2=3x3-1x2的解集是_;不等式ax2+bx+c2的解集是_.3-1Ox2(4,2)(-2,2)x1=-2，x2=4x4-2x0（a0）的解集是x2的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有_个交点，坐标是_.方程ax2+bx+c=0的根是_.1(2,0)x=22Oxy问题2：如果不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x219问题3：如果方程ax2+bx+c=0（a0）没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有_个交点；不等式ax2+bx+c0时,ax2+bx+c0无解；(2)当a0时,ax2+bx+c0;-x2+x+20;x2-4x+40;-x2+x-20无解？当堂练习当堂练习解：(1)1x2；（2）=a2+4a0，解得-4a0.1.（1）x取何值时，关于x的二次三项式 x2-3x+2的2282.当1x3时，二次函数y=x-(k+1)x+k的图象在x轴下侧，求k的取值范围.解：y=x-(k+1)x+k=（x-k)(x-1)，与x轴交点坐标为（1,0）、（k，0）.因为当1x3时有y0，所以k3.2.当1x3时，二次函数y=x-(k+1)x+k 的图象2293.如图，一次函数y1=kx+1与二次函数y2=ax2+bx-2交于A、B两点，且A（1,0），抛物线的对称轴是.（1）求k和a、b的值；xyAOB解：y1=kx+1经过点A（1,0），则0=k+1，得k=-1.y=ax2+bx-2经过点A（1,0），则0=a+b-2，抛物线的对称轴是，故，联立，解得3.如图，一次函数y1=kx+1与二次函数y2=ax2
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