第6章解线性方程组的迭代法课件

对方程组做等价变换如：令，则则，我们可以构造序列若同时：所以，序列收敛与初值的选取无关与初值的选取无关定义：（收敛矩阵）定理：矩阵G为收敛矩阵，当且仅当G的谱半径eps)x1=x2;/x1 是第k步，x2是第k+1步 for(i=0;in;i+)x2i=0;for(j=0;ji;j+)x2i+=Aij*x1j for(j=i+1;jn;j+)x2i+=Aij*x1j x2i=-(x2i-bi)/Aii 4、输出解x2l 迭代矩阵迭代矩阵易知，Jacobi迭代有l 收敛条件收敛条件 迭代格式收敛的充要条件是G的谱半径eps)x1=x2;/x1 是第k步，x2是第k+1步 for(i=0;in;i+)t=0.0 for(j=0;ji;j+)t+=Aij*x2j for(j=i+1;jn;j+)t+=Aij*x2j x2i=-(t-bi)/Aii 4、输出解x2l 迭代矩阵迭代矩阵记l 迭代矩阵迭代矩阵A=(D+L)-(-U)l 收敛条件收敛条件迭代格式收敛的充要条件是G的谱半径eps)x1=x2;/x1 是第k步，x2是第k+1步 for(i=0;in;i+)temp=0 for(j=0;ji;j+)temp+=Aij*x2j for(j=i+1;jn;j+)temp+=Aij*x2j temp=-(x2i-bi)/Aii x2i=(1-omega)*x2i+omega*temp 4、输出解x2l 迭代矩阵迭代矩阵定理：松弛迭代收敛定理：A对称正定，则松弛迭代收敛 SORSOR方法收敛的快慢与松弛因子 的选择有密切关系.但是如何选取最佳松弛因子,即选取=*,使(G )达到最小,是一个尚未很好解决的问题.实际上可采用试算的方法来确定较好的松弛因子.经验上可取1.4 1.6.Lab06 线性方程组求根的迭代法1.编写Gauss-Seidel迭代和SOR迭代的通用程序2.用如上程序求根，并打印迭代步数和根。3.取松弛因子为i/50,i=1,2,99，试给出一个最佳的值Sample Output(represents a space)Gauss-Seidel迭代，根和迭代步数为0.1.0.9 5SOR迭代，迭代步数为1,100.99,5000 定理定理 若SORSOR方法收敛,则0 2.证证 设SORSOR方法收敛,则(G)1,所以|det(G)|=|1 2 n|1而 det(G)=det(D+L)-1(1-)D-U)=det(I+D-1L)-1 det(1-)I-D-1U)=(1-)n于是|1-|1,或 02 定理定理 设A是对称正定矩阵,则解方程组Ax=b的SOR方法,当0 0 (Uy,y)=(y,Ly)=(Ly,y)=-i 0(Ay,y)=(Dy,y)-(Ly,y)-(Uy,y)=-2所以当02时,有 (-+)2-(-)2=(2-)(2-)=(2-)(2-)0所以|21,因此(G)1,即S0R方法收敛.可得 =2/设是B的任一特征值,y是对应的特征向量,则 (L+U)y=Dy于是 (Ly,y)+(Uy,y)=(Dy,y)当A对称正定时,即2-0时,|0而 (2D-A)y,y)=(Dy,y)+(Ly,y)+(Uy,y)=+2即,当A对称正定时,JacobiJacobi迭代法收敛2D-A正定.