第三章幂级数展开课件

1第三章 幂级数展开n第一节 复数项级数n第二节 幂级数n第三节 Taylor级数表示n第四节 解析延拓n第五节 Laurent级数表示n第六节 孤立奇点的分类1第三章 幂级数展开第一节 复数项级数12第一节 复数项级数n复数项级数概念形如 的表达式被称为复数项级数，其中wn是复数。收敛与发散若 的前n项和 有极限(n),则称该级数收敛，且称此极限值为该无穷级数的和；否则称为发散。2第一节 复数项级数复数项级数概念形如 23收敛的充分必要条件设 ，则级数 收敛的充分必要条件是 和 都收敛，其中un和 vn皆为实数。绝对收敛与条件收敛称级数 是绝对收敛的，如果 是收敛的称级数 是条件收敛的，如果 是发散的，而 是收敛的3收敛的充分必要条件设 34举例考察级数 的敛散性考察级数 的敛散性考察级数 的敛散性4举例考察级数 的敛散性考察级数 45n复函数项级数概念收敛与发散形如 的表达式被称为复数项级数，其中wn(z)是复变函数。点收敛：域收敛：收敛称之收敛，zB，称之5复函数项级数概念收敛与发散形如 56收敛的充分必要条件级数 收敛的充分必要条件是 和 都收敛，其中对于 ，如果 0，N(,z)，当nN(,z)时，有 其中p为任意正数若与z无关则称一致收敛柯西收敛判据6收敛的充分必要条件级数 收敛的充分67性质连续性级数 在B内一致收敛，且wn(z)连续，则该级数在B内连续可积性级数 在C上一致收敛，且wn(z)在C上连续，则解析性级数 在B内一致收敛于f(z)，且wn(z)在B内解析，则f(z)在B内解析，且7性质连续性级数 在B内一致收敛，且78第二节 幂级数概念收敛半径与收敛圆形如 的级数被称为以z0为中心的幂级数，其中an是复常数。若存在正数R，使得当|z-z0|R时，级数 发散，则称R为级数 的收敛半径收敛半径，其中|z-z0|R被称为收敛圆收敛圆。8第二节 幂级数概念收敛半径与收敛圆形如 89收敛半径的求法DAlembert公式Cauchy(根式)公式9收敛半径的求法DAlembert公式Cauchy(根式910举例求级数 的敛散半径及收敛圆10举例求级数 的敛散半径及收敛圆1011求级数 的敛散半径收敛圆11求级数 的敛散半径收敛圆1112内闭一致收敛幂级数的性质在收敛园内幂级数具有连续性、可积性和解析性幂级数在收敛圆内内闭一致收敛12内闭一致收敛幂级数的性质在收敛园内幂级数具有连续性、可积1213可积性13可积性1314第三节 Taylor级数展开14第三节 Taylor级数展开1415nTaylor定理设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于圆内任一点z，函数f(z)可写成z0zCRCRRR15Taylor定理设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内1516161617举例函数 f(z)=ez 在z=0点的Taylor级数展开17举例函数 f(z)=ez 在z=0点的Taylor级数展1718函数 f(z)=sin z和f(z)=cos z 在z=0点的Taylor级数展开18函数 f(z)=sin z和f(z)=cos z 在z=1819函数 f(z)=Ln z 在z=1点的Taylor级数展开函数 f(z)=(1+z)n 在z=0点的Taylor级数展开19函数 f(z)=Ln z 在z=1点的Taylor级数展1920n解析函数的一个等价命题函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内任一点的邻域内可展成幂级数20解析函数的一个等价命题函数 f(z)在B内解析的充分必要2021n展成幂级数的几种方法直接方法间接方法函数 f(z)=arctan z 在z=0点的Taylor级数展开函数 f(z)=sin z 在z=0点的Taylor级数展开函数 f(z)=1/(1-z)2 在z=0点的Taylor级数展开待定系数法函数 f(z)=tan z 在z=0点的Taylor级数展开21展成幂级数的几种方法直接方法间接方法函数 f(z)=ar2122第四节 解析延拓解析延拓：已给某个区域b上的解析函数f(z),能否找到另一个函数F(z),它在含有区域b的一个较大的区域B上是解析函数，而且在区域b上等同于f(z)。简单地说，解析延拓就是解析函数定义域的扩大！22第四节 解析延拓解析延拓：已给某个区域b上的解析函数f(2223原则上讲，解析延拓都可以利用泰勒级数进行。具体地说，选取区域b的任一内点z0，在z0的领域上把解析函数f(z)展开为泰勒级数，如果这个泰勒级数的收敛圆有一部分超出b之外，解析函数f(z)的定义域就扩大了一步。这样一步又一步，定义域逐步扩大。解析延拓是唯一的！23原则上讲，解析延拓都可以利用泰勒级数进行。具体地说，选取2324第五节 Laurent级数表示n问题的提出已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|R内解析，Taylor定理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。问题是：当 f(z)在圆|z-z0|R2外收敛。如果R2R1，那么双边幂级数就在环状域 R2|z-z0|R1 内收敛，所以 R2|z-z0|R1给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。双边幂级数在收敛环内绝对一致收敛。26收敛环的确定设正幂部分的收敛半径为R1；而负幂部分在变换2627正幂部分负幂部分R1z0|z-z0|R1R2z0R2|z-z0|R2R1z0收敛环R2|z-z0|R127正幂部分负幂部分R1z0|z-z0|R1R2z0R22728n双边幂级数的性质R2R1z0B定理设双边幂级数 的收敛环B为R2|z-z0|R1，则(1)在B内连续；(2)在B内解析，且于B内可逐项可导；(3)在B内可逐项积分。28双边幂级数的性质R2R1z0B定理设双边幂级数 2829nLaurent定理设函数 f(z)在环状域 R2|z-z0|R1 的内部单值解析，则对于环内任一点z，f(z)可展开成zCR1CR2R2R1z0C29Laurent定理设函数 f(z)在环状域 R2|z2930(3)Laurent级数中的z0点可能是f(z)的奇点，也可能不是f(z)的奇点说明(2)Laurent级数展开的唯一性(1)与泰勒展开系数不同(4)与泰勒级数定理不一样，我们一般不利用洛朗级数定理计算洛朗级数展开怎么样求解洛朗级数展开呢？30(3)Laurent级数中的z0点可能是f(z)的奇点3031例1在z0=0的邻域上把(sin z)/z 展开解：函数 f(z)=(sin z)/z 在z0=0点没有定义，z0=0 为奇点。为避开奇点，从复数平面挖去原点.已知在挖去原点的复平面上用z遍除sin z即得 定义f(z)解析延拓31例1在z0=0的邻域上把(sin z)/z 展开解：函数3132函数 f(z)=1/(1-z2)分别在1|z|和 0|z-1|2内的Laurent级数展开11-11|z|例2中心为z=0，因此是要将f(z)展开成z的幂级数的定义域是（1）1|z|32函数 f(z)=1/(1-z2)分别在1|z|323321-10|z-1|2中心为z=1，因此是要将f(z)展开成(z1)的幂级数?负幂项（2）0|z-1|23321-10|z-1|2中心为z=1，因此是要将f(z3334在z=0的邻域上把 f(z)=e1/z 展开例3将z全换成1/z即得即已知34在z=0的邻域上把 f(z)=e1/z 展开例3将z全换3435洛朗级数求解总结35洛朗级数求解总结3536第六节 孤立奇点的分类n概念若函数 f(z)在某点z0在不可导，而在z0的任意邻域内除z0外连续可导，则称z0为f(z)的孤立奇点；若在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0以外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。举例孤立奇点的例子非孤立奇点的例子36第六节 孤立奇点的分类概念若函数 f(z)在某点z0在3637n孤立奇点的Laurent级数展开在区域 0|z-z0|R 内的单值解析函数 f(z)可展开成其中正幂部分是该级数的解析部分是该级数的主要部分负幂部分这里a-1具有特殊的作用，被称为f(z)在点z=z0处的留数37孤立奇点的Laurent级数展开在区域 0|z-z0|3738n孤立奇点的分类主要部分不存在即没有负幂项主要部分有m项即有m项负幂项主要部分有无穷多项即有无穷多项负幂项可去奇点：m阶极点：本性奇点：38孤立奇点的分类主要部分不存在即没有负幂项主要部分有m项即3839n孤立奇点的等价命题39孤立奇点的等价命题3940举例求下列函数的孤立奇点，并指出类型40举例求下列函数的孤立奇点，并指出类型40