第6章-窄带随机过程要点课件

上海大学通信学院第六章第六章窄带随机过程窄带随机过程一、窄带随机过程的定义一、窄带随机过程的定义很多无线电系统的通频带很多无线电系统的通频带是比较窄的，它们远小于是比较窄的，它们远小于其中心频率其中心频率，这种系统只允许输入信号靠近，这种系统只允许输入信号靠近附近的频附近的频率分量通过，故称为率分量通过，故称为窄带系统窄带系统。其满足：。其满足：,一般为高频载波。一般为高频载波。同理，可定义窄带随机过程，即：同理，可定义窄带随机过程，即：&若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波0 附近的一个较窄的频率范围附近的一个较窄的频率范围内，且满足内，且满足0时，则称该过程为时，则称该过程为窄带随机过程窄带随机过程。记为：。记为：Z(t)。第六章窄带随机过程一、窄带随机过程的定义1上海大学通信学院例：图例：图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数为以窄带随机过程的功率谱密度函数问题问题:对应于功率谱密度对应于功率谱密度GZ()的窄带随机过程的窄带随机过程Z(t)的表达的表达式为何？即式为何？即。例：图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数问题:对应于2上海大学通信学院1.由由可知可知:若若Gz()占的频带很窄，则占的频带很窄，则ZT()也一定占很窄的也一定占很窄的频带。频带。2.由频移特性由频移特性(信号与线性系统上册信号与线性系统上册P166-168)可知：可知：Gz()的谱特征实际上是一个具有幅度慢变化的谱特征实际上是一个具有幅度慢变化(窄窄)的随机过程谱特征的随机过程谱特征经移频变换的结果经移频变换的结果。即时域中的一个。即时域中的一个慢变化信号对一高频慢变化信号对一高频(0)信号的调幅变换。信号的调幅变换。因此，任一窄带随机过程因此，任一窄带随机过程Z(t)可用下式表示：可用下式表示：表达式表达式1：引入引入(t)是为了不失一般性的考虑。是为了不失一般性的考虑。式中式中B(t)与与(t)分别称为窄带随机过程分别称为窄带随机过程Z(t)的包络函数的包络函数与相位函数，且与相位函数，且B(t)和和(t)都是随时间都是随时间 t 慢变化的随机慢变化的随机过程。过程。Z(t)的一个实现（样本函数）如图的一个实现（样本函数）如图6.2所示。所示。1.由3上海大学通信学院表达式表达式2：其中：其中：由于由于与与正交，正交，故称故称X(t)为为Z(t)的同相分的同相分量量，Y(t)为为Z(t)的正交分量的正交分量。引入表达式。引入表达式2的目的是将的目的是将Z(t)分解成两个相互正交的分量，以便于分别分析。分解成两个相互正交的分量，以便于分别分析。表达式2：其中：由于与4上海大学通信学院表达式表达式1和表达式和表达式2两者间的几何关系：两者间的几何关系：表达式表达式1：表达式表达式2：表达式1和表达式2两者间的几何关系：5上海大学通信学院噪声通过窄带线性系统形成窄带随机过程的物理现象噪声通过窄带线性系统形成窄带随机过程的物理现象1.输出信号的振荡频率等于窄带系统的谐振频率输出信号的振荡频率等于窄带系统的谐振频率0；2.输出信号的振幅取决于输入脉冲信号的面积。由于输输出信号的振幅取决于输入脉冲信号的面积。由于输3.入脉冲信号的面积是随机的，故输出的振幅也是随机的；入脉冲信号的面积是随机的，故输出的振幅也是随机的；3.系统是有耗的，故输出信号是衰减振荡的。系统是有耗的，故输出信号是衰减振荡的。窄带系统的总体输出就是许多个不同时刻输出衰减振窄带系统的总体输出就是许多个不同时刻输出衰减振荡随机信号的和，荡随机信号的和，即可表示为即可表示为其中其中。噪声通过窄带线性系统形成窄带随机过程的物理现象6上海大学通信学院表达式表达式1：表达式表达式2：问题的提出：问题的提出：若已知若已知Z(t)的功率谱密度的功率谱密度或统计特性或统计特性（讨论平稳窄带过程），则其（讨论平稳窄带过程），则其B(t)与与(t)或或X(t)和和Y(t)的统计特性如何确定呢？的统计特性如何确定呢？表达式1：7上海大学通信学院二、解析信号与希尔伯特变换二、解析信号与希尔伯特变换*1解析信号的引入解析信号的引入时域实信号时域实信号S(t)满足共轭对称性，即，满足共轭对称性，即，由此可知：由此可知：时域实信号正、负频域的频谱可互求。时域实信号正、负频域的频谱可互求。二、解析信号与希尔伯特变换*1解析信号的引入时8上海大学通信学院从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是冗余从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是冗余的，所以只要保留正频域的频谱，记为的，所以只要保留正频域的频谱，记为，即可。，即可。若只取正频域频谱若只取正频域频谱，则，则，即，即不满不满足共轭对称性，且足共轭对称性，且时域复信号。时域复信号。复信号复信号=实部实部+虚部，虚部，传送二路信号不经济。传送二路信号不经济。信号传输：信号传输：实信号；实信号；信号处理：信号处理：复信号。复信号。问题：如何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号问题：如何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号?从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是9上海大学通信学院2解析信号的构造解析信号的构造 对给定的时域实信号对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为，设构造的时域复信号为其中，其中，为一由为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为，构造的信号，其构造方法可为，即，即，2解析信号的构造对给定的时域实信号s(t)，设构造的10上海大学通信学院H(f)的设计要求：的设计要求：1要满足使得要满足使得Z(f)只有正频域频谱；只有正频域频谱；2要使要使z(t)信号与信号与s(t)信号的总能量保持不变。信号的总能量保持不变。由此可得，由此可得，。故此，故此，H s(t)，称为称为Hilbert变换。变换。H(f)的设计要求：。故此，Hs(t)，称为Hi11上海大学通信学院H(f)或或h(t)称为称为Hilbert变换器。它不改变信号的幅频特性，变换器。它不改变信号的幅频特性，只改变信号的相频特性。只改变信号的相频特性。由此方法构造的复信号称为实信号由此方法构造的复信号称为实信号s(t)的的解析信号解析信号。写为。写为H。H(f)或h(t)称为Hilbert变换器。它不改变信号的12上海大学通信学院3Hilbert变换的性质变换的性质n性质性质1.H=。n性质性质2若若，则，则Hn性质性质3和和x(t)的能量及平均功率相等，即的能量及平均功率相等，即。3Hilbert变换的性质性质1.H13上海大学通信学院性质性质4.平稳随机过程平稳随机过程X(t)和其对应的和其对应的Hilbert变换变换的自相关函数满足：的自相关函数满足：，其中，其中，性性质5.平平稳随机随机过程程X(t)和其和其对应的的Hilbert变换的互相关函数的互相关函数满足：足：，性质4.平稳随机过程X(t)和其对应的Hilbert变14上海大学通信学院且且为奇函数。即为奇函数。即由此可知，由此可知，X(t)与与在同一时刻正交。在同一时刻正交。性质性质6.设具有有限带宽设具有有限带宽的信号的信号的傅氏变换的傅氏变换，假定，假定，则有则有HH且为奇函数。即由此可知，X(t)与在同一时刻正交。性15上海大学通信学院三、窄带随机过程的性质三、窄带随机过程的性质问题：若已知问题：若已知Z(t)的功率谱密度的功率谱密度或统计特性或统计特性（讨论平稳窄带过程），则其（讨论平稳窄带过程），则其和和或或和和的统计特性如何确定呢？的统计特性如何确定呢？若若Z(t)是任意的窄带、宽平稳、实随机过程，零均是任意的窄带、宽平稳、实随机过程，零均且功率谱密度满足：且功率谱密度满足：三、窄带随机过程的性质问题：若已知Z(t)的功率谱密度16上海大学通信学院则则X(t)和和Y(t)具有下列性质：具有下列性质：性质性质1X(t)和和Y(t)各自宽平稳且联合宽平稳。各自宽平稳且联合宽平稳。性性质2性质性质3性质性质4性质性质5性质性质6性质性质7则X(t)和Y(t)具有下列性质：性质1X(t)和Y17上海大学通信学院性质性质8性质性质9性质性质10性质性质11性质性质12其中，其中，Lp为求等效低通运算。即，令为求等效低通运算。即，令0=0性质8性质9性质10性质11性质1218上海大学通信学院窄带随机过程性质的证明，窄带随机过程性质的证明，p.165168。窄带随机过程的性质的证明与讨论：窄带随机过程的性质的证明与讨论：1.均值均值由由的条件，可知：的条件，可知：2.相关函数相关函数窄带随机过程性质的证明，p.165168。19上海大学通信学院由由Z(t)的平稳性：的平稳性：可知，可知，Z(t)的自相关函数应该与时间的自相关函数应该与时间t无关，而仅与无关，而仅与有有关。关。即即t可为任何值，而不影响可为任何值，而不影响。故，故，(1)令令t=0，可得：，可得：（2）令令t=/20，可得：，可得：结论一结论一:若若Z(t)是宽平稳的是宽平稳的,则则X(t)与与Y(t)也是宽平稳的。也是宽平稳的。由Z(t)的平稳性：可知，Z(t)的自相关函数应该20上海大学通信学院v、以及以及、的性质：的性质：性质性质1.窄带随机过程的同相和正交分量的自相关函数相等。窄带随机过程的同相和正交分量的自相关函数相等。由上述关系式（由上述关系式（2）-（1），可得），可得性质性质2.同相和正交分量的互相关函数为奇函数。同相和正交分量的互相关函数为奇函数。由式（由式（3）同理可得：）同理可得：由互相关函数性由互相关函数性质：，可得：，可得：、以及21上海大学通信学院性质性质3.同一时刻的同一时刻的X(t)与与Y(t)互不相关。互不相关。和和为奇函数为奇函数 性质性质3.零均窄带平稳随机过程零均窄带平稳随机过程Z(t)、X(t)、Y(t)的方差相同。的方差相同。由（由（1）和）和(2)式式,令令,可得可得:若窄带平稳随机过程的均值为零，则可得：若窄带平稳随机过程的均值为零，则可得：性质3.同一时刻的X(t)与Y(t)互不相关。和为奇函数22上海大学通信学院四四.窄带高斯随机过程窄带高斯随机过程Z(t)1.Z(t)的同相分量的同相分量X(t)和正交分量和正交分量Y(t)的概率分布的概率分布由由，可得：，可得：由由Z(t)为高斯的可知：为高斯的可知：X(t1)和和Y(t2)也是高斯随机变量。也是高斯随机变量。又因为高斯过程若是宽平稳的，则一定是严平稳的，而又因为高斯过程若是宽平稳的，则一定是严平稳的，而严平稳随机过程的概率密度函数与时间起点无关，即有：严平稳随机过程的概率密度函数与时间起点无关，即有：四.窄带高斯随机过程Z(t)1.Z(t)的同相分量X(23上海大学通信学院，t的任意性。的任意性。，t的任意性。的任意性。故，故，其中，其中，可替换为可替换为或或。，t的任意性。，t的任意性。故，其中，24上海大学通信学院结论二、零均窄带平稳高斯随机过程结论二、零均窄带平稳高斯随机过程Z(t)，其同相分量，其同相分量X(t)和正交分量和正交分量Y(t)同样是平稳高斯随机过程，且具有一般窄带同样是平稳高斯随机过程，且具有一般窄带平稳过程的性质。同时由平稳过程的性质。同时由可知：同时刻的可知：同时刻的X(t)与与Y(t)互不相关，互不相关，统计独立。统计独立。2Z(t)的包络的包络B(t)和相位和相位(t)的概率分布的概率分布若若Z(t)为零均窄带平稳高斯随机过程，则为零均窄带平稳高斯随机过程，则。结论二、零均窄带平稳高斯随机过程Z(t)，其同相分量X(t)25上海大学通信学院设设B(t)和和(t)的二维概率密度函数为：的二维概率密度函数为：其中：其中：则，则，。，。设B(t)和(t)的二维概率密度函数为：其中：则26上海大学通信学院由边缘分布可得由边缘分布可得(B(t)的包络的包络)，相位，相位(t)在在0，2上取值。上取值。由边缘分布可得(B(t)的包络)，相位(t)在0，227上海大学通信学院结论三、零均窄带平稳高斯随机过程：结论三、零均窄带平稳高斯随机过程：其包络其包络B(t)服从瑞利分布，相位服从瑞利分布，相位(t)服从均匀分布。服从均匀分布。且且B(t)与与(t)在同一时刻在同一时刻t是统计独立的。是统计独立的。有窄带过程，则必存在非窄带过程。因此，相对于窄有窄带过程，则必存在非窄带过程。因此，相对于窄带过程我们可以给非窄带过程下一个粗略的定义，即：带过程我们可以给非窄带过程下一个粗略的定义，即：功率谱分布的频率范围可与其所在的中心频率比拟的（或功率谱分布的频率范围可与其所在的中心频率比拟的（或不满足不满足ffo条件的）随机过程，称为非窄带过程。条件的）随机过程，称为非窄带过程。结论三、零均窄带平稳高斯随机过程：其包络B(t)服从瑞利分布28上海大学通信学院例：例：求求窄带高斯随机过程窄带高斯随机过程包络平方的概率分布。包络平方的概率分布。设包络的平方为：设包络的平方为：，已知：已知：。求。求。解：解：例：求窄带高斯随机过程包络平方的概率分布。，已知：。求。解29上海大学通信学院五、余弦波加窄带高斯过程五、余弦波加窄带高斯过程通信系统接收机前端模型通信系统接收机前端模型五、余弦波加窄带高斯过程通信系统接收机前端模型30上海大学通信学院其中：其中：是是0，2上均匀分布的随机变量。上均匀分布的随机变量。S(t)为随相余弦信号为随相余弦信号；。由此可见，研究余弦信号加窄带高斯过程的重要性。由此可见，研究余弦信号加窄带高斯过程的重要性。Z(t)为零均窄零均窄带高斯高斯过程，其程，其其其中，中，其中：是0，2上均匀分布的随机变量。S(t)为随相31上海大学通信学院设合成信号：设合成信号：其中：其中：为确知量，为确知量，是是0，2上均匀分布的随机变量。上均匀分布的随机变量。令：令：则（则（4）式可改写为：）式可改写为：其中：其中：。，设合成信号：其中：为确知量，是32上海大学通信学院B(t)为为R(t)的包络函数，的包络函数，(t)为为R(t)的相位函数。则的相位函数。则B(t)与与(t)在同一时刻在同一时刻t的包络和相位分别为的包络和相位分别为问题：余弦信号加窄带高斯过程之和问题：余弦信号加窄带高斯过程之和R(t)的包络函数的包络函数B(t)和相位函数和相位函数(t)的统计特征如何？的统计特征如何？1.包络函数包络函数B(t)的统计特征的统计特征若若给定（即给定（即为一确定值），则为一确定值），则B(t)为R(t)的包络函数，(t)为R(t)的相位函数。33上海大学通信学院同理，同理，在给定在给定的的条件下，条件下，X(t)和和Y(t)在任意时刻在任意时刻t，随机变量，随机变量Xt和和Yt的联合概率密度函数为：的联合概率密度函数为：利用（利用（5）式可得）式可得由此可求出由此可求出的表达式如下：的表达式如下：同理，在给定的条件下，X(t)和Y(t)在任意时刻t，34上海大学通信学院35上海大学通信学院包络的条件概率：包络的条件概率：上式与上式与无关，故可得：无关，故可得：包络的条件概率：上式与无关，故可得：36上海大学通信学院上式称为：上式称为：广义瑞利分布或莱斯密度函数广义瑞利分布或莱斯密度函数。若若a=0，则退化为瑞利分布，则退化为瑞利分布。其中，其中，是是零阶修正贝塞尔函数零阶修正贝塞尔函数。其级数形式为。其级数形式为。上式称为：广义瑞利分布或莱斯密度函数。其中，是零阶修正贝塞尔37上海大学通信学院a)当当x1时，时，有有因此当信噪比很大时，包络的概率密度为因此当信噪比很大时，包络的概率密度为其将其将趋于高斯分布。趋于高斯分布。当x1时，有38上海大学通信学院2.相位函数的统计特征相位函数的统计特征代入代入，并求并求积分可得：分可得：，故，故，相位分布积分较复杂。相位分布积分较复杂。2.相位函数的统计特征代入39上海大学通信学院小结：小结：Z(t)为零均窄带高斯过程，其为零均窄带高斯过程，其。1.由由可知，可知，X(t)和和Y(t)分别与分别与XN(t)和和YN(t)呈线性关系，而且呈线性关系，而且二者分别是均值为二者分别是均值为和和窄带高斯过程；窄带高斯过程；小结：Z(t)为零均窄带高斯过程，其。1.由可知，X(40上海大学通信学院2由由可知，可知，B(t)和和(t)与与X(t)和和Y(t)为非线性关系，令为非线性关系，令，则：，则：当当时，时，B(t)为瑞利分布；为瑞利分布；当当和和可比较时，可比较时，B(t)为广义瑞利分布；为广义瑞利分布；当当r较大时，较大时，B(t)趋于正态分布；趋于正态分布；相位相位(t)分布较复杂。当分布较复杂。当r从从0逐渐变大时，逐渐变大时，从均匀从均匀分布逐渐趋向于正态分布。分布逐渐趋向于正态分布。2由41上海大学通信学院例：例：余弦信号加窄带高斯随机包络平方的概率分布余弦信号加窄带高斯随机包络平方的概率分布设包包络的平方的平方为：已知：已知：求求。任意时刻任意时刻t的包络平方为：的包络平方为：，。解：解：例：余弦信号加窄带高斯随机包络平方的概率分布已知：求。任意42上海大学通信学院第6章-窄带随机过程要点课件43上海大学通信学院第六章第六章内容的基本要求：内容的基本要求：n基本要求：基本要求：掌握解析信号与希尔伯特变换；窄带随机过程的描掌握解析信号与希尔伯特变换；窄带随机过程的描述与性质，窄带高斯过程的包络和相位分布；余弦述与性质，窄带高斯过程的包络和相位分布；余弦加窄带高斯过程的包络和相位分布。加窄带高斯过程的包络和相位分布。n重点及难点：重点及难点：希尔伯特变换及其性质，窄带随机过程的描述与性希尔伯特变换及其性质，窄带随机过程的描述与性质，余弦加窄带高斯过程的包络和相位分布。质，余弦加窄带高斯过程的包络和相位分布。作业：作业：6.1，6.3，6.4，6.5，6.10，6.12。第六章内容的基本要求：基本要求：44