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勾勾 股股 定定 理理CBA数形结合之美湘教版湘教版 八年级数学（下册）八年级数学（下册）勾勾 股股 定定 理理CBA数形结合之美湘教版数形结合之美湘教版 八年级数学八年级数学这个会徽的设计基础这个会徽的设计基础是是17001700多年前，中国古代多年前，中国古代数学家赵爽的弦图，是为数学家赵爽的弦图，是为了证明勾股定理而绘制的。了证明勾股定理而绘制的。经过设计变化成为含义丰经过设计变化成为含义丰富的富的20022002年国际数学家大年国际数学家大会的会标。会的会标。这个会徽的设计基础是这个会徽的设计基础是1700多年前，中国古代数学家赵爽的多年前，中国古代数学家赵爽的在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 勾勾，下半部分称为，下半部分称为 股股。我国古代学者把直角三角形。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为较短的直角边称为“勾勾”，较长的直角边称为，较长的直角边称为“股股”，斜边称为斜边称为“弦弦”.勾勾股股在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为勾勾，下半，下半 相传相传2500年前，毕达哥拉斯有一年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，通过朋友家地次在朋友家里做客时，通过朋友家地面上铺的地板砖中发现了直角三角形面上铺的地板砖中发现了直角三角形三边的某种数量关系三边的某种数量关系 我们也来观察右我们也来观察右图中的地面，看看有图中的地面，看看有什么发现？什么发现？相传相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里A AB BC C填表：若小方格的边长填表：若小方格的边长为为1.1.图甲图甲图甲图甲 图乙图乙A的面积的面积B的面积的面积C的面积的面积C CABC思考：正方形思考：正方形A A、B B、C C的面积有什么关系？的面积有什么关系？4 44 48 89 916162525图乙图乙S SA A+S+SB B=S=SC CABC填表：若小方格的边长为填表：若小方格的边长为1.图甲图甲图乙图甲图甲图乙A的面积的面积B的面积的面积A AB B图乙图乙S SA A+S+SB B=S=SC CA AB BC C图甲图甲a ab bc ca ab bc cC C猜想猜想:a、b、c 之间的关系？之间的关系？a2+b2=c2问题：边长为问题：边长为任意长度任意长度的直的直角三角形还成立吗？角三角形还成立吗？AB图乙图乙SA+SB=SCABC图甲图甲abcabcC猜想猜想:a、b3.3.猜想猜想:a、b、c 之间的关系？之间的关系？a2+b2=c2A AB BC CC C图乙图乙SA+SB=SCSA+SB=SC图甲图甲abcabc4.4.思考：任意三边的直角三角形也成立吗？思考：任意三边的直角三角形也成立吗？3.猜想猜想:a、b、c 之间的关系？之间的关系？a2+b2=c2ABC3.3.猜想猜想:a、b、c 之间的关系？之间的关系？a2+b2=c23.猜想猜想:a、b、c 之间的关系？之间的关系？a2+b2=c24.4.验证验证:a、b、c 之间的关系？之间的关系？a2+b2=c24.验证验证:a、b、c 之间的关系？之间的关系？a2+b2=c2a用拼图法证明用拼图法证明4.4.验证验证:a、b、c 之间的关系？之间的关系？a2+b2=c2bca用拼图法证明用拼图法证明4.验证验证:a、b、c 之间的关系？之间的关系？a2+b2用拼图法证明用拼图法证明4.4.验证验证:a、b、c 之间的关系？之间的关系？a2+b2=c2abc用拼图法证明用拼图法证明4.验证验证:a、b、c 之间的关系？之间的关系？a2+b2 S大正方形大正方形=c c2 S大正方形大正方形=4=4S直角三角形直角三角形+S小正方形小正方形 =4 =4 ab+(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b24.4.验证验证:a、b、c 之间的关系？之间的关系？a2+b2=c2abc用拼图法证明用拼图法证明a2+b2=c c2 S大正方形大正方形=c24.验证验证:a、b、c 之间的关系？之间的关系？a2+勾股定理 如果直角三角形两直角边分如果直角三角形两直角边分别为别为a，b，斜边为，斜边为c，那么，那么 即直角三角形两直角边的平方和等于即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方斜边的平方.ac勾勾弦弦b股股归纳定理：归纳定理：勾勾股股强调：勾股定理反映了直角三角形的强调：勾股定理反映了直角三角形的三边关系。三边关系。(毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理)勾股定理勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a，abcabcabc c2=a2+b2abc确定斜边确定斜边b2=c2-a2a2=c2-b2a2+b2=c2灵活运灵活运用公式用公式？变式运用：变式运用：a2+c2=b2b2+c2=a2abcabcabc c2=a2+b2abc?确定斜边确定斜边b 例：在例：在RtABC中，中，=90.=90.(1)已知：已知：a=6，=8，求，求c；(2)已知：已知：a=40，c=41，求，求b；(3)已知：已知：c=13，b=5，求，求a；(4)已知已知:a:b=3:4,c=15,求求a、b.例题分析例题分析在直角三角形中在直角三角形中,已知两边已知两边,可求第三边可求第三边;方法方法小结小结 例：在例：在Rt ABC中，中，=90.例题分析在直角三角形中例题分析在直角三角形中DABDABDABDAB90 90 90 90 在在在在RtABDRtABDRtABDRtABD中，中，中，中，BDBDBDBD2 2 2 2ADADADAD2 2 2 2ABABABAB2 2 2 2 3 3 3 32 2 2 24 4 4 42 2 2 2 25252525 BD BD BD BD5 5 5 5 同理可得同理可得同理可得同理可得 DCDCDCDC13131313解：解：解：解：运用勾股定理可解决直角三角形中边的计算或证明已知：四边形已知：四边形已知：四边形已知：四边形ABCDABCDABCDABCD中，中，中，中，DABDABDABDABDBCDBCDBCDBC90909090ADADADAD3 3 3 3，ABABABAB4 4 4 4，BCBCBCBC12121212求：求：求：求：DCDCDCDC的长。的长。的长。的长。例例2 2B BC CD DA A DAB90 解：运用勾股定理可解决直角三角形中边的计解：运用勾股定理可解决直角三角形中边的计1、已知：已知：RtABC中，中，AB，AC,则则BC的长为的长为 .5 或或 试一试试一试:43CAB？43ACB？1、已知：、已知：Rt ABC中，中，AB，AC,则则BC的长为的长为 试一试试一试:2、如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形、如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是7cm，求正方形求正方形A、B、C、D的面积之和。的面积之和。试一试试一试:2、如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是、如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是我知道了我知道了 我感受了我感受了 我探索了我探索了 c2=a2+b2 收获无处不在我知道了收获无处不在我知道了 我感受了我感受了 我探索了我探索了 勾数形勾数形 两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票。年希腊曾经发行了一枚纪念票。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955勾勾 股股 史史 话话国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前国家之一。早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。希腊曾经发行了一枚纪念邮票。国家之一。早在三千多年前国家之一。早在三千多年前 我国是最早了解勾股定理的我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被记，它被记载于我国古代著名的数学著作载于我国古代著名的数学著作周髀算经周髀算经中。比毕达哥拉斯中。比毕达哥拉斯要早了五百多年。要早了五百多年。两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首斯学派，他们首勾股定理是几何学中的明珠，所以它勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，充满魅力，千百年来，1940年出版过年出版过一本名为一本名为毕达哥拉斯命题毕达哥拉斯命题的勾股的勾股定理的证明专辑，其中收集了定理的证明专辑，其中收集了367种种不同的证明方法。这是任何定理无法不同的证明方法。这是任何定理无法比拟的。勾股定理是人类最伟大的十比拟的。勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一个科学发现之一。勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，1940一一、总总统统证证法法aabbcc美国第美国第20任总统任总统-伽菲尔德伽菲尔德一、总统证法一、总统证法aabbcc美国第美国第20任总统任总统-伽菲尔德伽菲尔德二、二、出入出入相补相补刘徽刘徽（生（生于于公元三公元三世纪世纪）三國魏三國魏晋时代晋时代人。人。魏魏景元四年（即景元四年（即 263 263 年）年）为古籍为古籍九章九章算术算术作作注注释释。在注作中，提出以出入在注作中，提出以出入相相补补的原理的原理来证明来证明勾勾股定理。股定理。后后人人称该图为称该图为青朱入出青朱入出图图。二、出入相补刘徽（生于公元三世纪）三國魏晋时代人。二、出入相补刘徽（生于公元三世纪）三國魏晋时代人。数学来源于生活，服务于生活！数学来源于生活，服务于生活！数学来源于生活，服务于生活！2、查阅有关勾股定理的历史资料，及、查阅有关勾股定理的历史资料，及证明方法，与同学交流。证明方法，与同学交流。1、课堂作业：、课堂作业：课本课本16页，页，A组第组第1、3题；题；2、查阅有关勾股定理的历史资料，及证明方法，与同学交流。、查阅有关勾股定理的历史资料，及证明方法，与同学交流。
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