第4章-给水排水管网模型讲义课件

第第4章章 给水排水管网模型给水排水管网模型柯尼斯堡七桥问题柯尼斯堡七桥问题o18世纪初在普鲁士柯尼世纪初在普鲁士柯尼斯堡镇（今苏联加里宁斯堡镇（今苏联加里宁格勒）流传一个问题。格勒）流传一个问题。这问题是城内一条河的这问题是城内一条河的两支流绕过一个岛，有两支流绕过一个岛，有七座桥横跨这两支流。七座桥横跨这两支流。问一个散步者能否走过问一个散步者能否走过每一座桥，而每座桥却每一座桥，而每座桥却只走过一次。只走过一次。欧拉在欧拉在1736年圆满地解决了这一问题，证明这种方法并年圆满地解决了这一问题，证明这种方法并不存在。他在圣彼得堡科学院发表了图论史上第一篇重要不存在。他在圣彼得堡科学院发表了图论史上第一篇重要文献。欧拉把实际的抽象问题简化为平面上的点与线组合，文献。欧拉把实际的抽象问题简化为平面上的点与线组合，每一座桥视为一条线，桥所连接的地区视为点。这样若从每一座桥视为一条线，桥所连接的地区视为点。这样若从某点出发后最后再回到这点，则这一点的线数必须是偶数某点出发后最后再回到这点，则这一点的线数必须是偶数。第第4章给水排水管网模型章给水排水管网模型o4.1 给水排水管网模型方法给水排水管网模型方法 管网模型：将给水排水管网工程实体简化和抽象为用管网模型：将给水排水管网工程实体简化和抽象为用管段和节点两类元素的图形和数据表达的系统，称为给管段和节点两类元素的图形和数据表达的系统，称为给水排水管网模型。水排水管网模型。管网模型分类：拓扑模型、水力模型、水质模型、运管网模型分类：拓扑模型、水力模型、水质模型、运行管理模型。行管理模型。4.1.1给水排水管网简化给水排水管网简化o（1）简化原则）简化原则 1）宏观等效原则。保持其功能，各元素之间的关系不变。）宏观等效原则。保持其功能，各元素之间的关系不变。2）小误差原则。简化模型与实际系统的误差在一定允许范围，满）小误差原则。简化模型与实际系统的误差在一定允许范围，满足工程上的要求。足工程上的要求。（2）管线简化方法）管线简化方法 1）删除次要管线，保留主干管线和干管线。）删除次要管线，保留主干管线和干管线。2）相近交叉点合并，减少管线的数目。）相近交叉点合并，减少管线的数目。3）删除全开阀门，保留调节阀、减压阀等。）删除全开阀门，保留调节阀、减压阀等。4）串联、并联管线水力等效合并。）串联、并联管线水力等效合并。5）大系统拆分为多个小系统，分别计算。）大系统拆分为多个小系统，分别计算。（3）附属设施简化方法）附属设施简化方法 给水排水管网附属设施包括泵站、调节构筑物（水池、水塔等）、给水排水管网附属设施包括泵站、调节构筑物（水池、水塔等）、消火栓、减压阀、跌水井、雨水口、检查井等，进行简化的具体方法消火栓、减压阀、跌水井、雨水口、检查井等，进行简化的具体方法为：为：1）删除不影响全局水力特性的设施，如全开的闸阀、排气阀、）删除不影响全局水力特性的设施，如全开的闸阀、排气阀、泄水阀、消火栓等。泄水阀、消火栓等。2）将同一处的多个相同设施合并，如同一处的多个水量调节设）将同一处的多个相同设施合并，如同一处的多个水量调节设施（清水池、水塔、均和调节池等）合并，并联或串联工作的水泵或施（清水池、水塔、均和调节池等）合并，并联或串联工作的水泵或泵站合并等。泵站合并等。管网图简化管网图简化4.1.2给水排水管网模型元素给水排水管网模型元素给水排水管网经过简化成为仅由管段和节点两类元素组成的管网模型，管段给水排水管网经过简化成为仅由管段和节点两类元素组成的管网模型，管段与节点相互关联，即管段的两端为节点，节点之间通过管段连通。与节点相互关联，即管段的两端为节点，节点之间通过管段连通。（1）管段）管段 管段是管线和泵站等简化后的抽象形式，它只能输送水量，管段中间不管段是管线和泵站等简化后的抽象形式，它只能输送水量，管段中间不允许有流量输入或输出，但水流经管段后可产生能量改变。允许有流量输入或输出，但水流经管段后可产生能量改变。当管线中间有较大的集中流量时，无论是流出或流入，应在集中流量点当管线中间有较大的集中流量时，无论是流出或流入，应在集中流量点处设置节点，避免造成较大的水力计算误差。处设置节点，避免造成较大的水力计算误差。泵站、减压阀、跌水井、非全开阀门等则应设于管段上，因为它们的功泵站、减压阀、跌水井、非全开阀门等则应设于管段上，因为它们的功能与管段类似，只引起水的能量变化而没有流量的增加或者损失。能与管段类似，只引起水的能量变化而没有流量的增加或者损失。（2）节点）节点 节点是管线交叉点、端点或大流量出入点的抽象形式。节点只能传递能节点是管线交叉点、端点或大流量出入点的抽象形式。节点只能传递能量，不能改变能量，但节点可以有流量的输入或输出。量，不能改变能量，但节点可以有流量的输入或输出。4.1.2给水排水管网模型元素（续）给水排水管网模型元素（续）（3）管段和节点的属性管段和节点的属性包括构造属性、拓扑属性和水力属）管段和节点的属性管段和节点的属性包括构造属性、拓扑属性和水力属性三个方面。构造属性是拓扑属性和水力属性的基础，水力属性是管段和节性三个方面。构造属性是拓扑属性和水力属性的基础，水力属性是管段和节点在系统中的水力特征的表现，拓扑属性是管段与节点之间的关联关系。管点在系统中的水力特征的表现，拓扑属性是管段与节点之间的关联关系。管段属性段属性:管段构造属性：管段构造属性：1）管段长度；）管段长度；2）管段直径；）管段直径；3）管段粗糙系数。）管段粗糙系数。管段拓扑属性：管段拓扑属性：1）管段方向；）管段方向；2）起端节点，简称起点；）起端节点，简称起点；3）终端节点，）终端节点，简称终点。简称终点。管段水力属性：管段水力属性：1）管段流量；）管段流量；2）管段流速；）管段流速；3）管段扬程，能量增加值；）管段扬程，能量增加值；4）管段摩阻；）管段摩阻；5）管段压降。）管段压降。节点属性节点属性:节点构造属性：节点构造属性：1）节点高程；）节点高程；2）节点位置（）节点位置（x,y）。）。节点拓扑属性：节点拓扑属性：1）与节点关联的管段及其方向；）与节点关联的管段及其方向；2）节点的度，即与节点）节点的度，即与节点关联的管段数。关联的管段数。节点水力属性：节点水力属性：1）节点流量；）节点流量；2）节点水头，对于非满流，节点水头即管）节点水头，对于非满流，节点水头即管渠内水面高程；渠内水面高程；3）自由水头。）自由水头。4.1.3管网模型的标识管网模型的标识将给水排水管网优化和将给水排水管网优化和抽象为管网模型后，应抽象为管网模型后，应该对其进行标识，以便该对其进行标识，以便于以后的分析和计算。于以后的分析和计算。标识的内容包括：节点标识的内容包括：节点与管段的命名或编号；与管段的命名或编号；管段方向与节点流量的管段方向与节点流量的方向与设定。方向与设定。（1）节点和管段编号节点和管段命名。）节点和管段编号节点和管段命名。节点编号：（节点编号：（1），（），（2），（），（3），），；管段编号：管段编号：1，2，3，。（2）管段方向设定）管段方向设定 管段的一些属性具有方向性，如流量、流速、压降等，方向与管段的管段的一些属性具有方向性，如流量、流速、压降等，方向与管段的设定方向相同，总是从起点指向终点。设定方向相同，总是从起点指向终点。管段设定方向不一定等于管段中水的流向，如果实际流向与设定方向管段设定方向不一定等于管段中水的流向，如果实际流向与设定方向不一致，则采用负值表示。不一致，则采用负值表示。（3）节点流量方向设定节点流量的方向，总是假定以流出节点为正，在管网）节点流量方向设定节点流量的方向，总是假定以流出节点为正，在管网模型中通常以一个离开节点的箭头标示。如果节点流量实际上为流入节点，模型中通常以一个离开节点的箭头标示。如果节点流量实际上为流入节点，则认为节点流量为负值。如给水管网的水源供水节点，或排水管网中的大多则认为节点流量为负值。如给水管网的水源供水节点，或排水管网中的大多数节点，它们的节点流量都为负。数节点，它们的节点流量都为负。4.2 管网模型的拓扑特性管网模型的拓扑特性拓扑学拓扑学(topology)是研究几何是研究几何图形或空形或空间在在连续改改变形状后形状后还能保持不能保持不变的一的一些性些性质的学科。它只考的学科。它只考虑物体物体间的位置关系而不考的位置关系而不考虑它它们的形状和大小。拓的形状和大小。拓扑英文名是扑英文名是Topology，直，直译是地志学，最早指研究地形、地貌相是地志学，最早指研究地形、地貌相类似的有关似的有关学科。学科。公元公元1858年，德国数学家莫比乌斯（年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，17901868）和约翰）和约翰李斯李斯丁发现：把一根纸条扭转丁发现：把一根纸条扭转180后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可的性质。普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带莫比乌斯带”。（也就是说，。（也就是说，它的曲面只有一个）它的曲面只有一个）莫比乌斯带是一种拓展图形，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形莫比乌斯带是一种拓展图形，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下保持不变，只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，又不产下保持不变，只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，又不产生新点。换句话说，这种变换的条件是：在原来图形的点与变换了图形的点生新点。换句话说，这种变换的条件是：在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻近的点。这样的变换叫做之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻近的点。这样的变换叫做拓扑变换。拓扑变换。4.2 管网模型的拓扑特性管网模型的拓扑特性 管网模型用于描述、模拟或表达给水排水管网的拓扑特性和水力特性。管网模型用于描述、模拟或表达给水排水管网的拓扑特性和水力特性。管网模型的拓扑特性即为节点与管段的关联关系（图论方法）。其分析方法管网模型的拓扑特性即为节点与管段的关联关系（图论方法）。其分析方法采用数学中的图论方法。采用数学中的图论方法。4.2.14.2.1管网图的基本概念管网图的基本概念 图论（图论（Graph Theory）：数学分支，用于表达和研究事物之间关联关系，）：数学分支，用于表达和研究事物之间关联关系，其方法是将一个系统抽象为由点和边两类元素构成的图，点表示事物，边表其方法是将一个系统抽象为由点和边两类元素构成的图，点表示事物，边表示事物之间的联系。示事物之间的联系。图论应用：具有网络结构特征的系统分析和计算，如物流组织、交通运输、图论应用：具有网络结构特征的系统分析和计算，如物流组织、交通运输、工程规划等问题。工程规划等问题。管网图论：用图论方法分析和计算给水排水管网模型，管网中的节点和管段管网图论：用图论方法分析和计算给水排水管网模型，管网中的节点和管段分别与图论中的点和边相对应，构成管网的构造元素，作为管网的主要研究分别与图论中的点和边相对应，构成管网的构造元素，作为管网的主要研究对象。对象。（1）管网图的表示方法）管网图的表示方法1）几何表示法：在平面上画上点，表示节点，在相联系的节点之间画上直线）几何表示法：在平面上画上点，表示节点，在相联系的节点之间画上直线段或曲线段表示管段，所构成的图形表示一个管网图。改变点的位置或改变段或曲线段表示管段，所构成的图形表示一个管网图。改变点的位置或改变线段的长度与形状等，均不改变管网图。线段的长度与形状等，均不改变管网图。枝状管网示意图枝状管网示意图环状管网示意图环状管网示意图2）图的集合表示节点集合：）图的集合表示节点集合：V=v1,v2,v3,vn；管段集合：；管段集合：E=e1,e2,e3,em；记为；记为G(V,E)。管段。管段ek=(vi,vj)与节点与节点vi或或vj相相互关联，节点互关联，节点vi与与vj为相邻节点。为相邻节点。例：如枝状管网示意图所示管网图例：如枝状管网示意图所示管网图G(V,E)，节点集合：节点集合：V1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)；管段集合：管段集合：E=(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(8,3),(9,10),(10,5),(11,12),(12,10)。图的节点数为图的节点数为N(G)=12，管段数，管段数M(G)=11。关联集：与节点关联集：与节点v相关联的管段组成的集合称为节点相关联的管段组成的集合称为节点v的关联集，记为的关联集，记为S(v)，表达节点与管段的关联关系。如环状网示意图所示图中，各节点关联集为：表达节点与管段的关联关系。如环状网示意图所示图中，各节点关联集为：S1=1、S2=1,2,4、S3=2,3,5、S4=3,6、S5=4,7、S6=5,7,8、S7=6,8。（2）有向图）有向图在管网图在管网图G(V,E)中，管段中，管段ek=(vi,vj)E的两个节点的两个节点viV和和vjV有序，即有序，即ek=(vi,vj)(vj,vi)，图，图G为有向图，节点为有向图，节点vi称为起点，节点称为起点，节点vj称为终点。称为终点。图中：图中：V1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12；E=(12),(23),(34),(45),(56),(67),(83),(910),(105),(1112),(1210)。起点集合，记为起点集合，记为F：F=1,2,3,4,5,6,8,9,10,11,12；终点集合，记为终点集合，记为T：T=2,3,4,5,6,7,3,10,5,12,10。（3）管网图的连通性）管网图的连通性 连通图和非连通图：若图连通图和非连通图：若图G(V,E)中任意两个顶点均通过一系列边及顶点中任意两个顶点均通过一系列边及顶点相连通，即从一个顶点出发，经过一系列相关联的边和顶点，可以到达其余相连通，即从一个顶点出发，经过一系列相关联的边和顶点，可以到达其余任一顶点，则称图任一顶点，则称图G为连通图，否则称图为连通图，否则称图G为非连通图。为非连通图。一个非连通图一个非连通图G(V,E)总可以分为若干个连通图，称为图总可以分为若干个连通图，称为图G的连通分支，的连通分支，记为记为P。显然，对于连通图。显然，对于连通图G，P=1。如下图所示为非连通图，且。如下图所示为非连通图，且P=3。管管网图一般都是连通图，但有时为了进行特定的分析处理，可能删除一些管段，网图一般都是连通图，但有时为了进行特定的分析处理，可能删除一些管段，成为非连通图。成为非连通图。连通图连通图非连通图非连通图4.2.2 环状管网与树状管网环状管网与树状管网（1）路径与回路：）路径与回路：图图G(V,E)中，从节点中，从节点v0到到vk的一个节点与管段交替的有限非零序的一个节点与管段交替的有限非零序v0e1v1e1ekvk,，称为行走，如果行走不含重复的节点，称为路径。管段，称为行走，如果行走不含重复的节点，称为路径。管段数数k为路径的长度，为路径的长度，v0与与vk分别为路径的起点和终点。分别为路径的起点和终点。如所示图中，从起点如所示图中，从起点1到终点到终点7的一条路径为的一条路径为R1,7=1,4,7,8。在管网图在管网图G(V,E)中，起点与终点重合的的路径称为回路，在管网中称为环，中，起点与终点重合的的路径称为回路，在管网中称为环，记为记为RK，k为环的编号，环的方向一般设定为为环的编号，环的方向一般设定为顺时针方向为正顺时针方向为正，逆时针方向逆时针方向为负为负。含有不同管段的环的集合称为完全环，不包围任何节点或管段的环称。含有不同管段的环的集合称为完全环，不包围任何节点或管段的环称为基本环或自然环。为基本环或自然环。如所示图中，如所示图中，R1=2,5,7,4、R2=2,3,6,8,7,4、R3=3,6,8,5的的集合为完全环，其中集合为完全环，其中R1、R3称为基本环或自然环。称为基本环或自然环。（2）环状管网）环状管网含有一个及以上环的管网称之为环状管网。对于一个环状管网图，设节点数含有一个及以上环的管网称之为环状管网。对于一个环状管网图，设节点数为为N，管段数为，管段数为M，连通分支数为，连通分支数为P，内环数为，内环数为L，则它们之间存在一个固定，则它们之间存在一个固定的关系，用欧拉公式表示：的关系，用欧拉公式表示：L+N=M+P 特别地，对于一个连通的管网图，欧拉公式为：特别地，对于一个连通的管网图，欧拉公式为：M=L+N-1（3）树状管网无回路且连通的管网）树状管网无回路且连通的管网图图G(V,E)定义为树状管网，用符号定义为树状管网，用符号T(V,G)表示，组成树状管网的管段表示，组成树状管网的管段称为树枝。排水管网和小型的给水管称为树枝。排水管网和小型的给水管网通常采用树状管网，如图所示。网通常采用树状管网，如图所示。树状管网性质：树状管网性质：1）在树状管网中，任意删除一条管段，将使管网图成为非连通图。）在树状管网中，任意删除一条管段，将使管网图成为非连通图。2）在树状管网中，任意两个节点之间必然存在且仅存在一条路径。）在树状管网中，任意两个节点之间必然存在且仅存在一条路径。3）在树状管网的任意两个不相同的节点间加上一条管段，则出现一个回）在树状管网的任意两个不相同的节点间加上一条管段，则出现一个回路。路。4）由于不含回路（）由于不含回路（L=0），树状管网的节点数），树状管网的节点数N与树枝数与树枝数M关系为：关系为：M=N-1 生成树：如果从连通的管网图生成树：如果从连通的管网图G(V,E)中删除中删除若干条管段后，使之成为树状管网，则该树状若干条管段后，使之成为树状管网，则该树状管网称为原管网图管网称为原管网图G的生成树。生成树包含连的生成树。生成树包含连通管网图的全部节点和部分管段。被保留的管通管网图的全部节点和部分管段。被保留的管段称为树枝，被删除的管段称为连枝，其连枝段称为树枝，被删除的管段称为连枝，其连枝数等于环数数等于环数L。4.2.3 关联矩阵和回路矩阵关联矩阵和回路矩阵矩阵：在数学中，矩阵（矩阵：在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国世纪英国数学家凯利首先提出。数学家凯利首先提出。X1+2X2=52X1+X2=44.2.3 关联矩阵和回路矩阵关联矩阵和回路矩阵（1）关联矩阵）关联矩阵-表达节点和管段的连接关系。设管网图表达节点和管段的连接关系。设管网图G(V,E)有有N个节点和个节点和M条管段，令：条管段，令：某给水管网模型某给水管网模型关联矩阵关联矩阵关联矩阵特征：关联矩阵特征：1）由于矩阵中列代表管段与节点的关联关系，而每条管段仅可能有起点、终点）由于矩阵中列代表管段与节点的关联关系，而每条管段仅可能有起点、终点两个端点，因此每列中非零元素个数必为两个端点，因此每列中非零元素个数必为2，且非零元素符号相反。，且非零元素符号相反。2）矩阵中存在大量为）矩阵中存在大量为0的元素，图的规模越大，非零元素所占比例越小，这时的元素，图的规模越大，非零元素所占比例越小，这时所形成的矩阵称之为大型稀疏矩阵。所形成的矩阵称之为大型稀疏矩阵。（2）回路矩阵）回路矩阵1）完全回路矩阵：设有）完全回路矩阵：设有N条管段的管网图条管段的管网图G中，所有中，所有L个含有不同管段的回个含有不同管段的回路，称为图路，称为图G的完全回路，存在回路矩阵的完全回路，存在回路矩阵完全回路矩阵完全回路矩阵官网图的回路官网图的回路2）基本回路矩阵：）基本回路矩阵：对应于图对应于图G中一棵生成树和其对应的连枝所构成的回路称为图中一棵生成树和其对应的连枝所构成的回路称为图G的基本回路，的基本回路，基本回路数等于连枝数。存在基本回路矩阵基本回路数等于连枝数。存在基本回路矩阵如图所示，对应于连枝如图所示，对应于连枝7和和8的基本回路矩阵为的基本回路矩阵为管网图的回路管网图的回路基本回路是相互独立的回路，亦可基本回路是相互独立的回路，亦可称为自然回路。称为自然回路。3）有向图基本回路矩阵：在有向图中，回路矩阵的矩阵元素应带有方向，一）有向图基本回路矩阵：在有向图中，回路矩阵的矩阵元素应带有方向，一般用般用“1”表示正方向，用表示正方向，用“-1”表示负方向。依图中的管段方向，且规定顺表示负方向。依图中的管段方向，且规定顺时针分析为正，逆时针分析为负。上述基本回路矩阵可写成有向图的基本回路时针分析为正，逆时针分析为负。上述基本回路矩阵可写成有向图的基本回路矩阵：矩阵：4.3管网模型的水力特性管网模型的水力特性4.3.1节点流量方程组节点流量方程组 在管网模型中，所有节点都与若干管段相关联。根据质量守恒规律，流在管网模型中，所有节点都与若干管段相关联。根据质量守恒规律，流入节点的流量之和应等于流出节点的流量之和，表示为：入节点的流量之和应等于流出节点的流量之和，表示为：式中：式中：qi管段流量；管段流量；Qj节点流量；节点流量；Sj节点关联集；节点关联集；N 节点总数。节点总数。该方程称为节点的流量连续性方程，简称节点流量方程。管网模型中所该方程称为节点的流量连续性方程，简称节点流量方程。管网模型中所有有N个节点方程联立，组成节点流量方程组，简称节点方程组。个节点方程联立，组成节点流量方程组，简称节点方程组。-q1+q2+q5+Q1=0-q2+q3+q6+Q2=0-q3-q4+q7+Q3=0 -q5+q8+Q4=0-q6-q8+q9+Q5=0 -q7-q9+Q6=0 q1+Q7=0 q4+Q8=0给水管网模型图给水管网模型图节点流量方程组节点流量方程组以图以图4.10所示给水管网，节点流量方程组的矩阵形式如下：所示给水管网，节点流量方程组的矩阵形式如下：可以简写为：可以简写为：4.3.2管段压降方程组管段压降方程组在管网模型中，所有管段都与两个节点关联，管段两端节点水头差称为管段在管网模型中，所有管段都与两个节点关联，管段两端节点水头差称为管段压降，表示为：压降，表示为：式中式中 Fi,HFi管段起点编号和节点水头；管段起点编号和节点水头；Ti,H Ti,HTi管段终点编号和节点水头；管段终点编号和节点水头；hi管段压降；管段压降；M管网中的管段总数。管网中的管段总数。该方程称为管段的压降方程。管网模型中所有该方程称为管段的压降方程。管网模型中所有M条管段压降方程联立，条管段压降方程联立，组成管段压降方程组。组成管段压降方程组。管段压降方程组管段压降方程组以上图所示给水管网，节点压降方程组的矩阵形式如下：以上图所示给水管网，节点压降方程组的矩阵形式如下：可以简写为：可以简写为：4.3.3环能量方程组环能量方程组在管网模型中，规定回路中的管段流量和水头损失的方向以顺时针为正，逆在管网模型中，规定回路中的管段流量和水头损失的方向以顺时针为正，逆时针为负，则各管段的水头损失的代数和等于时针为负，则各管段的水头损失的代数和等于0。表示为：。表示为：式中式中k管网中的环的编号；管网中的环的编号；i第第k环中的管段编号。环中的管段编号。该方程称为环能量方程。所有该方程称为环能量方程。所有L个环的能量方程联立，组成环能量方程组，简个环的能量方程联立，组成环能量方程组，简称环方程组。如图，可列出环能量方程组：称环方程组。如图，可列出环能量方程组：以图以图4.10所示给水管网，环能量方程组的矩阵形式如下：所示给水管网，环能量方程组的矩阵形式如下：可以简写为：可以简写为：第第4章结束章结束