资源描述
本节用波德（Bode）和香农（Shannon）提出的白化的方法求解维纳霍夫方程，得到系统函数 随机信号都可以看成是由一白色噪声w1(n)激励一个物理可实现的系统或模型的响应，如图8.2所示 图8.2 s(n)的信号模型 本节用波德（Bode）和香农（Shannon）提出的 由于x(n)=s(n)+w(n)，在图8.2的基础上给出x(n)的信号模型，图8.3所示。把这两个模型合并最后得到维纳滤波器的信号模型，图8.4所示，其中传递函数用B（z）表示。图8.3 x的信号模型 图8.4 维纳滤波器的输入信号模型 由于x(n)=s(n)+w(n)，在图8.2的基础上 (8-22)对式（822）进行Z变换得到系统函数和相关函数的z变换之间的关系：(8-23)同样，对图8.4进行z变换得 (8-24)n白噪声的自相关函数为Rw1w1(m)=w12(m),它的z变换就等于w12。图8.2中输出信号的自相关函数为Rss(m)，根据卷积性质有 (8-图8.4中利用卷积性质还可以找到互相关函数之间的关系：如果已知观测信号的自相关函数，求它的z变换，然后找到该函数的成对零点、极点，取其中在单位圆内的那一半零点、极点构成B(z),另外在单位圆外的零、极点构成B(z-1)，这样就保证了B(z)是因果的，并且是最小相位系统图8.4中利用卷积性质还可以找到互相关函数之间的关系：从图8.4可得 (8-26)由于系统函数B(z)的零点和极点都在单位圆内，即是一个物理可实现的最小相位系统，则1/B(z)也是一个物理可实现的最小相移网络函数。我们就可以利用式（826）对x(n)进行白化，即把x(n)当作输入，w1(n)当作输出,1/B(z)是系统传递函数。从图8.4可得 将图8.1重新给出，待求的问题就是最小均方误差下的最佳H(z)，如图8.5（a）所示，为了便于求这个Hopt(z)，将图8.5（a）的滤波器分解成两个级联的滤波器：1/B(z)和G(z)，如图8.5（b）所示，则 (8-27)图8.5 利用白化方法求解模型（a）（b）将图8.1重新给出，待求的问题就是最小均方误差下的最白化法求解维纳霍夫方程步骤如下：）对观测信号x(n)的自相关函数Rxx(m),求z变换得到Rxx(z)）利用等式,找到最小相位系统B(z)）利用均方误差最小原则求解因果的G(z)），即得到维纳霍夫方程的系统函数解白化法求解维纳霍夫方程步骤如下：步骤3:G(z)的求解过程 按图8.5（b）有(8-28)均方误差为步骤3:G(z)的求解过程 由于 代入上式，并且进行配方得 (8-29)均方误差最小也就是上式的中间一项最小，所以 (8-30)由于 代入上式，并且进行配方得均方误差最小也就注意，这里的g(m)是因果的。对该式求单边z变换，得到 (8-31)所以维纳霍夫方程的系统函数解表示为所以维纳霍夫方程的系统函数解表示为由式(8-32)因果的维纳滤波器的最小均方误差为：(8-33)利用帕塞伐尔定理，上式可用z域来表示 (8-34)围线积分可以取单位圆由式围线积分可以取单位圆【例8-2】已知图8.1中，x(n)=s(n)+w(n),且s(n)与w(n)统计独立，其中s(n)的自相关序列为Rss(m)=0.8|m|，w(n)是方差为1的单位白噪声，试设计一个物理可实现的维纳滤波器来估计s(n)，并求最小均方误差。解：依题意，已知【例8-2】已知图8.1中，x(n)=s(n)+w(n),步骤1步骤2由于 ，容易找到最小相位系统和白噪声方差步骤1步骤2步骤3利用式对括号里面求反变换，注意括号内的收敛域为0.8|z|2，取因果部分，也就是第一项，所以步骤3取因果部分，也就是第一项，所以步骤4最小均方误差为：取单位圆为积分围线，有两个单位圆内的极点0.8和0.5，求它们的留数和取单位圆为积分围线，有两个单位圆内的极点0.8和0.5，求它
展开阅读全文