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第二章第二章 数字信号处理基础数字信号处理基础（1）信号的定义信号的定义：信号是信息的载体，以某个物理量的变化形式出现。信号的数学表示：函数 y=x(t)，y某个物理量，t自变量，如时间。第二章 数字信号处理基础（1）信号的定义：信号是信息的载体1离散信号：取样信号（在离散的时间点上出现），数字信号（对取样信号的值数字化表示）x(n)nx(t)t （2）信号的分类信号的分类：模拟信号：连续时间信号(在连续的时间范围内出现）对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为TnT代表的是前后顺序。为简化，采样间隔可以不写，形成x(n)信号，x(n)可以称为序列。这里n取整数，非整数时无定义，在数值上它等于信号的采样值，即 x(n)=xa(nT)离散信号：取样信号（在离散的时间点上出现），x(n)nx(t2信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表示。如果x(n)是通过观测得到的一组离散数据，则其可以用集合符号表示，例如：x(n)=1,2.1,3.2,9,0,4.5 1.单位采样序列(n)1，n=0 0，n0 单位采样序列也可以称为单位脉冲序列，特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数(t)，但不同的是(t)在t=0时，取值无穷大，t0时取值为零，对时间t的积分为1。单位采样序列和单位冲激信号如下图所示。常用的典型序列(a)单位采样序列；(b)单位冲激信号 信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表示。如果x(32.单位阶跃序列u(n)1,n00,n0 单位阶跃序列类似于模拟信号中的单位阶跃函数u(t)。(n)与u(n)之间的关系如下式所示：单位阶跃序列 2.单位阶跃序列u(n)单位阶跃序列 43.矩形序列RN(n)1,0nN-10,其它n上式中N称为矩形序列的长度。矩形序列可用单位阶跃序列表示：RN(n)=u(n)-u(n-N)RN(n)=矩形序列 3.矩形序列RN(n)RN(n)=54.实指数序列 x(n)=anu(n)，a为实数如果|a|1，则称为发散序列。实指数序列 4.实指数序列 65.正弦序列x(n)=sin(n)式中称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的，那么 xa(t)=sin(t)xa(t)|t=nT=sin(nT)x(n)=sin(n)因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此得到数字频率与模拟角频率之间的关系为 =T上式具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率与序列的数字域频率成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数，也可以表示成下式：5.正弦序列77.周期序列 如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：x(n)=x(n+N),-n则称序列x(n)为周期性序列，周期为N，注意N要取整数。如：的数字频率是/4，由于n取整数，可以写成下式：正弦序列 7.周期序列正弦序列 8对于任意序列，常用单位采样序列的移位加权和表示，即式中 用单位采样序列移位加权和表示序列 x(n)=-2(n+2)+0.5(n+1)+2(n)+(n-1)+1.5(n-2)-(n-4)+2(n-5)+(n-6)对于任意序列，常用单位采样序列的移位加权和表示，即式中 用单9 （3）信号形式的变换：信号形式的变换：模拟信号取样信号数字信号平滑滤波抽样A/D变换量化D/A变换x(t)txnnx(n)n（数字量16位2进制PCM码表示，如）1011011110101011 （3）信号形式的变换：模拟信号取样信号数字信号平滑滤10（1）信号处理系统的定义信号处理系统的定义：能反映输入信号 x(t)和输出信号y(t)的因果关系的设备或运算称为信号处理系统。表示为：y(t)=f x(t)或 x(t)y(t)，x yTT信号处理系统信号处理系统：设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T表示，输出与输入之间关系用下式表示：y(n)=Tx(n)（1）信号处理系统的定义：能反映输入信号 x(t)和输出信号11线性系统 设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列，其输出分别用y1(n)和y2(n)表示 y1(n)=Tx1(n)，y2(n)=Tx2(n)那么线性系统一定满足下面两个公式：Tx1(n)+x2(n)=y1(n)+y2(n)Tax1(n)=ay1(n)y(n)=Tax1(n)+bx2(n)=ay1(n)+by2(n)线性系统 12时不变系统 如果系统对输入信号的运算关系T在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下：y(n)=Tx(n)y(n-n0)=Tx(n-n0)时不变系统13线性时不变系统输入与输出之间的关系 设系统的输入x(n)=(n)，系统输出y(n)的初始状态为零，定义这种条件下系统输出称为系统的单位取样响应，用h(n)表示。换句话说，单位取样响应即是系统对于(n)的零状态响应。用公式表示为 h(n)=T(n)h(n)和模拟系统中的h(t)单位冲激响应相类似，都代表系统的时域特征。线性时不变系统输入与输出之间的关系14根据线性系统的叠加性质又根据时不变性质 设系统的输入用x(n)表示，表示成单位采样序列移位加权和为 式中的符号“*”代表卷积运算，上式表示线性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位取样响应的卷积。根据线性系统的叠加性质又根据时不变性质 设系统的输入用x(n15例设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。线性卷积 例 设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)16卷积的结合律和分配律 卷积的结合律和分配律 171）系统的因果性和稳定性 如果系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式：h(n)=0，n 2 2倍的信号最高频率倍的信号最高频率Adequately sampledAdequately sampledAliased due to undersamplingAliased due to undersamplingA/D 采样频率Nyquist 采样定理 采样率 224纳奎斯特（纳奎斯特（NyquistNyquist）定理）定理采样后的数字信号必须要能精确的描述原来的模拟信号。如果采样率太采样后的数字信号必须要能精确的描述原来的模拟信号。如果采样率太低会造成数字信号失真。低会造成数字信号失真。纳奎斯特定理要求最小采样频率应该是原始模拟信号的最高频率纳奎斯特定理要求最小采样频率应该是原始模拟信号的最高频率f fmaxmax的的两倍。即两倍。即f fnyquistnyquist=2 =2 f fmaxmax例：例：ECGECG信号的频率范围是信号的频率范围是0.5-100Hz0.5-100Hz，那么它的最低采样频率应是：，那么它的最低采样频率应是：f fnyquistnyquist=2 =2 100Hz=200 100Hz=200 次采样次采样/秒。秒。纳奎斯特（Nyquist）定理采样后的数字信号必须要能精确的25A/D A/D 分辨率（采样精度）分辨率（采样精度）Code widthCode width=ADAD的输入范围的输入范围2 2n n 16-16-bit ADCbit ADC3-3-bit ADCbit ADCAmplitudeAmplitudecode widthcode widthc cTimeTime0 0202010010012012014014040406060808010.0010.009.759.757.507.506.256.255.005.003.753.752.502.501.251.250 01111111101101001000110110100100010010000001010位精度的位精度的ADCADC能将幅值划分为能将幅值划分为2 21010=1024=1024级，用幅值级，用幅值A A的百分数表示，则精的百分数表示，则精度大约可达度大约可达0.1%0.1%。ADCADC采样精度为采样精度为8 8位（位（2 28 8=256=256级）称为级）称为8 8位位ADCADC。当然。当然1 1位位ADCADC只能确定信号的有无。绝大多数生物信号用只能确定信号的有无。绝大多数生物信号用6 61212位位ADCADC就已足够；就已足够；1212位位ADCADC意味着能达到意味着能达到1/40961/4096（小于（小于0.025%0.025%）的精度，这将远远超过信号传）的精度，这将远远超过信号传感器所能达到的信噪比。感器所能达到的信噪比。A/D 分辨率（采样精度）Code width=AD的输入范26“频率频率频率频率”的概念的概念的概念的概念简单地说，简单地说，“频率频率”是信号在单位时间内的振荡次数，是描述振荡快是信号在单位时间内的振荡次数，是描述振荡快慢的物理量。慢的物理量。“频率”的概念简单地说，“频率”是信号在单位时间内的振荡次数27时域表示频域表示傅里叶变换：信号在时域、频域之间转换时域表示频域表示傅里叶变换：信号在时域、频域之间转换28
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