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一元二次方程1一元二次方一元二次方程程一般形式一般形式解法解法根的判别式：根的判别式：根与系数的关系：根与系数的关系：应用应用配方法求最值问题配方法求最值问题实际应用实际应用思想方法思想方法转化思想；转化思想；配方法、换元法配方法、换元法直接开平方法直接开平方法配方法配方法公式法公式法因式分解法因式分解法ax2+bx+c=0（a0）知识结构知识结构一元二次方程一般形式解法根的判别式：根与系数的关系：应用配方2定义及一般形式定义及一般形式:n只含有只含有 一个一个 未知数未知数,且未知数的最高次且未知数的最高次数为数为2 的的 整式整式 方程叫做一元二次方程方程叫做一元二次方程.n一元二次方程的一般形式是一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0 (a0);其中其中a是是 二次项系数二次项系数,b是是一次项系数一次项系数,c是是 常数项常数项.定义及一般形式:只含有 一个 未知数,且未知数的最高次数为31、判断下面哪些方程是一元二次方程、判断下面哪些方程是一元二次方程 1、判断下面哪些方程是一元二次方程 42、把方程（、把方程（1-x x)(2-x x)=3-x x2 化为一化为一般形式是：般形式是：_,其二次项系其二次项系数是数是_,一次项系数是一次项系数是_,常数项是常数项是_.3、方程（、方程（m-2)x x|m|+3mx x-4=0是关于是关于x的一元二次方程，则的一元二次方程，则（）A.m=2 B.m=2 C.m=-2 D.m 2A.m=2 B.m=2 C.m=-2 D.m 2 2x x2-3x x-1=02 2-3-1C C2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形式是：5解一元二次方程的方法有几种解一元二次方程的方法有几种?(1)配方法(2)公式法(3)因式分解法解一元二次方程的方法6 例例:解下列方程解下列方程n、用直接开平方法、用直接开平方法：(x+2)2=n2、用配方法解方程、用配方法解方程4x2-8x-5=0 解解:两边开平方两边开平方,得得:x+2=3 x=-23 x1=1,x2=-5解解:移项移项,整理整理,得得:4(x x2-2x x)=5配方配方,得得:4(x x2-2x x+12)=5+4124(x x-1)2=9 即即(x x-1)2=x x-1=x x1 1=,x x2 2=右边开平方右边开平方后，根号前后，根号前取取“”。移项要变号移项要变号两边加上这一项两边加上这一项 例:解下列方程、用直接开平方法：(x+2)2=解:两边7 解解:移项移项,得得:3x2-4x-7=0 a=3 b=-4 c=-7 b2-4ac=(-4)2-43(-7)=1000 x1=x2=解解:原方程化为原方程化为 （y+2)23（y+2）=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或或 y-1=0 y1=-2 y2=1先变为一般先变为一般形式，代入形式，代入时注意符号。时注意符号。把把y+2y+2看作一个看作一个未知数，变成未知数，变成(ax+b)(cx+d)=(ax+b)(cx+d)=0 0形式。形式。3 3、用公式法解方程、用公式法解方程 3x 3x2 2=4x+7=4x+74 4、用分解因式法解方程：（、用分解因式法解方程：（y+2)y+2)2 2=3(y+2=3(y+2）-1 解:移项,得:3x2-4x-7=0 8实例讲解实例讲解解：注：注：常数项绝对值较大不宜分解因式，也不常数项绝对值较大不宜分解因式，也不易用公式法求解，却易易用公式法求解，却易配方配方，从而用配方法。，从而用配方法。实例讲解解：注：常数项绝对值较大不宜分解因式，也不易9实例讲解实例讲解解：注：注：可见，化简繁，但左边两式形式相似，故考虑换元换元。实例讲解解：注：可见，化简繁，但左边两式形式相似，故10n配方法步骤配方法步骤:二次项系数化为二次项系数化为1；移项；移项；两边加上一次项系数一半的平方；两边加上一次项系数一半的平方；直接开平方。直接开平方。n公式法步骤：公式法步骤：先化为一般形式；先化为一般形式；确定确定a、b、c,求求b2-4ac；当当 b2-4ac 0时时,代入公式代入公式:若若b2-4ac0,方程没有实数根。方程没有实数根。n分解因式法步骤分解因式法步骤:右边化为右边化为0,左边化成两个因式的积；左边化成两个因式的积；分别令两个因式为分别令两个因式为0，求解。，求解。步骤归纳步骤归纳配方法步骤:步骤归纳11用配方法证明用配方法证明：例例1.关于关于x的方程（的方程（2m-12m+37）x +3mx+1=0，无论无论m取何值，此方程都是一元二次方程取何值，此方程都是一元二次方程例例2.代数式代数式2x2-8x+9何时能取得最小值，何时能取得最小值，最小值是多少？最小值是多少？配方法的应用配方法的应用用配方法证明：例2.代数式2x2-8x+9何时能取得最小值，121.(2005福州中考福州中考)解方程解方程:(x+1)(x+2)=62.(2005北京中考北京中考)已知已知:(a2+b2)(a2+b2-3)=10 求求a2+b2 的值。的值。3.(2004武汉中考武汉中考)试证明关于试证明关于x的方程的方程(a2-a+2)x2+ax+2=0无论无论a取何值取何值,该方程都是一元二次方程该方程都是一元二次方程.中考直击中考直击思考思考1.(2005福州中考)中考直击思考13练一练：练一练：n1、对于任意实数、对于任意实数x，多项式，多项式x25x+7的值是的值是 ()nA.负数负数 B.非正数非正数 C.正数正数 D.无法确定正负的数无法确定正负的数n2、m为何值时，代数式为何值时，代数式3(m2)21的值比的值比2m+1的值大的值大2?n3、已知、已知2x2+5xy7y2=0，且，且y0，求，求x y。C练一练：1、对于任意实数x，多项式x25x+7的值是 14练一练：练一练：n1、若、若(x+)2 =，试用配方法求，试用配方法求(x-)2 的的值。值。n2、已知等腰三角形的底边长为已知等腰三角形的底边长为8，腰长是方程，腰长是方程x2-9x+20=0的一个根，求等腰三角形的周长。的一个根，求等腰三角形的周长。n4、解方程：、解方程：x2-5 x-6=0练一练：1、若(x+)2 =，15拓展练习拓展练习:n请同学们认真阅读下面的一段文字材料，然后解答题目中提出的有关问题.n为解方程(x21)25(x21)+4=0，我们可以将x21视为一个整体，然后设x21=y，则原方程可化为y25y+4=0 n解得y1=1,y2=4.n当y=1时，x21=1，x2=2，x=.当y=4时，x21=4，x2=5，x=.原方程的解为x1=，x2=，x3=，x4=.解答问题：n(1)填空：在由原方程得到方程的过程中，利用_法达到了降次的目的，体现了_的数学思想.n(2)解方程x4x26=0拓展练习:请同学们认真阅读下面的一段文字材料，然后解答题目中16课堂小结：n一元二次方程有三个特征：n（1）只含有一个未知数；n（2）未知数的最高次数为2；n（3）是整式方程。n如果方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，那么a0.n解一元二次方程时应注意方程的特征，选择恰当的方法课堂小结：一元二次方程有三个特征：17
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