CH04-拉普拉斯变换课件

第四章第四章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 u1第四章 拉普拉斯变换 u1优点优点：求解比较简单，特别是对系统的微分方程进求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。普遍。缺点缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。物理概念不如傅氏变换那样清楚。2优点：2本章内容及学习方法本章内容及学习方法 本章首先由本章首先由傅氏傅氏变换引出变换引出拉氏拉氏变换，然后对拉氏变换，然后对拉氏正正变换、拉氏变换、拉氏反反变换及拉氏变换的变换及拉氏变换的性质性质进行讨论。进行讨论。本章本章重点重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频复频域分析域分析。最后介绍最后介绍系统函数系统函数以及以及H(s)零极点零极点概念，并根据它概念，并根据它们的分布研究们的分布研究系统特性系统特性，分析，分析频率响应频率响应，还要简略介绍，还要简略介绍系统系统稳定性稳定性问题。问题。注意与傅氏变换的注意与傅氏变换的对比对比，便于理解与记忆。，便于理解与记忆。3本章内容及学习方法 本章首先由傅氏变换引出拉氏变一从傅里叶变换到拉普拉斯变换一从傅里叶变换到拉普拉斯变换则则1拉普拉斯正变换4一从傅里叶变换到拉普拉斯变换则1拉普拉斯正变换42拉氏逆变换52拉氏逆变换53拉氏变换对63拉氏变换对6二拉氏变换的收敛二拉氏变换的收敛 收敛域：收敛域：使使F(s)存在的存在的s的区域称为收敛域。的区域称为收敛域。记为：记为：ROC(region of convergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；实际上就是拉氏变换存在的条件；7二拉氏变换的收敛 收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收u部分部分部分部分s s s s平面收敛的情况：平面收敛的情况：平面收敛的情况：平面收敛的情况：8u部分s平面收敛的情况：8u9u91010例例4 时限信号的拉氏变换时限信号的拉氏变换(如门信号如门信号)。整个整个整个整个s s s s平面收敛的情况：平面收敛的情况：平面收敛的情况：平面收敛的情况：这里只要这里只要 不是无穷大，上式的分子就不等于无穷大，不是无穷大，上式的分子就不等于无穷大，拉氏变换就存在。故其收敛域为整个拉氏变换就存在。故其收敛域为整个 s 平面。平面。例例5 下列信号的拉氏变换：下列信号的拉氏变换：，故在整个，故在整个 s 平面都不收敛。平面都不收敛。整个整个整个整个s s s s平面都不收敛的情况：平面都不收敛的情况：平面都不收敛的情况：平面都不收敛的情况：11例4 时限信号的拉氏变换(如门信号)。整个s平面收敛的情况uuuuuu:12uuuuuu:121313一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。14一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。14三一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.指数函数全全s域平面收敛域平面收敛 3.单位冲激信号15三一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.指数函数全s域平面4tnu(t)164tnu(t)165.复指数函数175.复指数函数174.3 拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质u184.3 拉氏变换的基本性质u18uuuuuu19uuuuuu19“周期信号周期信号”的拉氏变的拉氏变换换第一周期的拉氏变换时移特性无穷级数求和20“周期信号”的拉氏变换第一周期的拉氏变换时移特性无穷级数求和时移特性例题时移特性例题【例【例1】已知已知【例【例2】21时移特性例题【例1】已知【例2】21用时移性质求单边信号抽样后的拉氏变换用时移性质求单边信号抽样后的拉氏变换22用时移性质求单边信号抽样后的拉氏变换222323复频移特性举例复频移特性举例24复频移特性举例242525例：例：两边取拉氏变换两边取拉氏变换：整理得整理得：26例：两边取拉氏变换：整理得：26电感元件的电感元件的s域模型域模型电感元件的电感元件的s模型模型应用原函数微分性质应用原函数微分性质设设27电感元件的s域模型电感元件的s模型应用原函数微分性质设272828电容元件的电容元件的s域模型域模型电容元件的电容元件的s模型模型29电容元件的s域模型电容元件的s模型29303031313232初值定理初值定理33初值定理33终值存在的条件终值存在的条件:证明：证明：根据初值定理证明时得到的公式根据初值定理证明时得到的公式终值定理终值定理34终值存在的条件:证明：根据初值定理证明时得到的公式终值定理3初值定理举例初值定理举例 即单位阶跃信号的初始值为即单位阶跃信号的初始值为1。例例2例例135初值定理举例 即单位阶跃信号的初始值为1。例2例1354.4 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换 由象函数求原函数的三种方法由象函数求原函数的三种方法 部分分式法求拉氏逆变换部分分式法求拉氏逆变换 两种特殊情况两种特殊情况364.4 拉普拉斯逆变换 由象函数求原函数的三种方法36F(s)的一般形式的一般形式ai,bi为实数，为实数，m,n为正整数。为正整数。分解分解零点零点极点极点37F(s)的一般形式ai,bi为实数，m,n为正整数。分解零点拉氏逆变换的过程拉氏逆变换的过程38拉氏逆变换的过程38部分分式展开法部分分式展开法(mn)1.第一种情况：单阶实数极点2.第二种情况：极点为共轭复数3.第三种情况：有重根存在39部分分式展开法(mn)1.第一种情况：单阶实数极点2.第第一种情况：单阶实数极点(1)找极点找极点(2)展成部分分式展成部分分式(3)逆变换逆变换求系数求系数40第一种情况：单阶实数极点(1)找极点(2)展成部分分式(3)如何求系数如何求系数k1,k2,k3？41如何求系数k1,k2,k3？41第二种情况：极点为共轭复数第二种情况：极点为共轭复数共轭极点出现在共轭极点出现在42第二种情况：极点为共轭复数共轭极点出现在42求f(t)43求f(t)43例题例题44例题44F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法具有共轭极点，不必用部分分式展开法求下示函数求下示函数F(s)的逆变换的逆变换f(t)：解：解：求得求得另一种方法另一种方法45F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法求下示函数F(s)3.第三种情况：有重根存在第三种情况：有重根存在如何求如何求k2?463.第三种情况：有重根存在如何求k2?46如何求如何求k2?设法使部分分式只保留设法使部分分式只保留k2，其他分式为，其他分式为047如何求k2?设法使部分分式只保留k2，其他分式为047逆变换逆变换48逆变换48一般情况一般情况求求k11，方法同第一种情况，方法同第一种情况：求其他系数，要用下式求其他系数，要用下式 49一般情况求k11，方法同第一种情况：求其他系数，要用下式 F(s)的两种特殊情况非真分式非真分式 化为真分式多项式化为真分式多项式50F(s)的两种特殊情况非真分式 化为真分式多项式501.1.非真分式非真分式真分式多项式真分式多项式作长除法作长除法511.非真分式真分式多项式作长除法512.2.含含e-s的非有理式的非有理式522.含e-s的非有理式522 2*.已知某已知某已知某已知某LTILTI系统的微分方程为系统的微分方程为系统的微分方程为系统的微分方程为 若输入若输入若输入若输入 ，求该，求该，求该，求该系统的零状态响应、零状态响应及全响应。系统的零状态响应、零状态响应及全响应。系统的零状态响应、零状态响应及全响应。系统的零状态响应、零状态响应及全响应。系统频域分析课堂练习：系统频域分析课堂练习：1.1.已知某已知某已知某已知某LTILTI系统的阶跃响应系统的阶跃响应系统的阶跃响应系统的阶跃响应 ，若，若，若，若输入输入输入输入 ，求该系统的零状态响应。，求该系统的零状态响应。，求该系统的零状态响应。，求该系统的零状态响应。532*.已知某LTI系统的微分方程为系统频域分析课堂练习4.5 用拉氏变换法分析电路、用拉氏变换法分析电路、s s域元件模型域元件模型主要内容：主要内容：用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤 微分方程的拉氏变换微分方程的拉氏变换 利用元件的利用元件的s域模型分析求解瞬态电路域模型分析求解瞬态电路544.5 用拉氏变换法分析电路、s域元件模型主要内容：54一、用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤一、用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤一、用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤一、用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤列列列列s s域方程域方程域方程域方程(可以从两方面入手可以从两方面入手可以从两方面入手可以从两方面入手)列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换 直接按电路的直接按电路的直接按电路的直接按电路的s s域模型建立代数方程域模型建立代数方程域模型建立代数方程域模型建立代数方程 求解求解s域方程域方程 ，得到时域解答，得到时域解答55一、用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤列s域方程(可以从两方面入二、微分方程的拉氏变换二、微分方程的拉氏变换二、微分方程的拉氏变换二、微分方程的拉氏变换 若采用若采用若采用若采用 0-0-系统，求拉氏变换时减去的是信系统，求拉氏变换时减去的是信系统，求拉氏变换时减去的是信系统，求拉氏变换时减去的是信号在号在号在号在0-0-时刻的值；时刻的值；时刻的值；时刻的值；若采用若采用若采用若采用 0+0+系统，求拉氏变换时减去的是信系统，求拉氏变换时减去的是信系统，求拉氏变换时减去的是信系统，求拉氏变换时减去的是信号在号在号在号在0+0+时刻的值时刻的值时刻的值时刻的值。56二、微分方程的拉氏变换 若采用 0-例例例例4-4 4-4 电路在电路在电路在电路在t=0t=0时开关闭合，求输出信号时开关闭合，求输出信号时开关闭合，求输出信号时开关闭合，求输出信号Vc(t)Vc(t)。两边取拉氏变换：两边取拉氏变换：列写微分方程：列写微分方程：解得：解得：求拉氏反变换：求拉氏反变换：RCESVc(t)+-i(t)57例4-4 电路在t=0时开关闭合，求输出信号Vc(t)。两1313581358595960606161结论：结论：结论：结论：分析电路时，采用分析电路时，采用分析电路时，采用分析电路时，采用 0-0-系统系统系统系统求解瞬态电路更求解瞬态电路更为简便，只要知道起始状态，就可以利用元件为简便，只要知道起始状态，就可以利用元件值和元件起始状态，求出元件的值和元件起始状态，求出元件的 s 域模型。域模型。62结论：分析电路时，采用 0-系统求解瞬态电路更为简便，只要三、利用元件的三、利用元件的三、利用元件的三、利用元件的 s s 域模型分析瞬态电路域模型分析瞬态电路域模型分析瞬态电路域模型分析瞬态电路求响应的步骤：求响应的步骤：求响应的步骤：求响应的步骤：画画画画0-0-等效电路，求起始状态；等效电路，求起始状态；等效电路，求起始状态；等效电路，求起始状态；电路元件的电路元件的电路元件的电路元件的s s域模型域模型域模型域模型电路的电路的电路的电路的 s s 域等效模型；域等效模型；域等效模型；域等效模型；采用采用采用采用KVLKVL和和和和KCLKCL，列出，列出，列出，列出 s s 域方程域方程域方程域方程(代数方程代数方程代数方程代数方程)；解解解解 s s 域方程，求出响应的拉氏变换域方程，求出响应的拉氏变换域方程，求出响应的拉氏变换域方程，求出响应的拉氏变换U(s)U(s)或或或或I(s)I(s)；拉氏反变换求拉氏反变换求拉氏反变换求拉氏反变换求u(t)u(t)或或或或i(t)i(t)。63三、利用元件的 s 域模型分析瞬态电路求响应的步骤：63元件的元件的元件的元件的 s s 域模型：域模型：域模型：域模型：64元件的 s 域模型：646565 以上是以上是电路定理的推广电路定理的推广电路定理的推广电路定理的推广，对于线性稳态电，对于线性稳态电路分析的各种方法都适用。路分析的各种方法都适用。66 以上是电路定理的推广，对于线性稳态电路分析【例【例4-5-1】如图所示，】如图所示，t0开关开关S处于处于1的位置的位置而且已经达到稳态；当而且已经达到稳态；当t=0时时,S由由1转向转向2。RCe(t)=-Ee(t)=Eic(t)i(t)S2167【例4-5-1】如图所示，t0开关S处于1的位置而且已经达5-25-21685-2168696970707171例4-5-272例4-5-272（4）求反变换）求反变换73（4）求反变换73求采用采用0 0-系统系统采用采用0 0+系统系统两种方法结果一致。两种方法结果一致。使用使用0-系统使分析各过程简化。系统使分析各过程简化。74求采用0-系统采用0+系统两种方法结果一致。74(3)对微分方程两边取拉氏变换对微分方程两边取拉氏变换 采用0-系统75(3)对微分方程两边取拉氏变换 采用0-系统75采用0+系统(4)原方程取拉氏变换原方程取拉氏变换76采用0+系统(4)原方程取拉氏变换764.6 系统函数系统函数774.6 系统函数7778787979808081818282838384848585系统函数课堂练习：系统函数课堂练习：某级联系统如下图所示，已知某级联系统如下图所示，已知某级联系统如下图所示，已知某级联系统如下图所示，已知 ，试求，试求，试求，试求 、级联系统的系统函数、级联系统的系统函数、级联系统的系统函数、级联系统的系统函数 及单位冲激及单位冲激及单位冲激及单位冲激 响应响应响应响应 。86系统函数课堂练习：某级联系统如下图所示，已知4.7 4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性由系统函数零、极点分布决定时域特性 冲激响应冲激响应h(t)与系统函数与系统函数H(s)从时域和变换域从时域和变换域两方面表征了同一系统的两方面表征了同一系统的本性本性。在在s域域分析中，借助系统函数在分析中，借助系统函数在s平面平面零点与极零点与极点点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的的许多规律。系统的时域、频域特性时域、频域特性集中地以其集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。系统函数的零、极点分布表现出来。主要优点：主要优点：1可以预言系统的时域特性可以预言系统的时域特性2便于划分系统的各个分量便于划分系统的各个分量 (自由自由/强迫，瞬态强迫，瞬态/稳态稳态)3可以用来说明系统的正弦稳态特性可以用来说明系统的正弦稳态特性874.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性 冲在在s平面上，画出平面上，画出H(s)的零极点图：的零极点图：极点：用极点：用表示表示，零点：用零点：用表示表示1系统函数的零、极点H(s)零、极点与零、极点与h(t)波形特征的对应波形特征的对应88在s平面上，画出H(s)的零极点图：1系统函数的零、极点H8989909091919292极点在左极点在左半平面半平面见教材见教材P223结论结论93极点在左半平面见教材P223结论939494瞬态响应瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，随着出现的有关成分，随着t 增大，将消失。增大，将消失。稳态响应稳态响应完全响应瞬态响应完全响应瞬态响应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。22595瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，例例4-7-2，教材习题教材习题2-6(1)给定系统微分方程给定系统微分方程试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量。响应分量。解：解：方程两端取拉氏变换方程两端取拉氏变换96例4-7-2，教材习题2-6(1)给定系统微分方程试分别求它零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应则则 97零输入响应零状态响应则 97稳态响应暂态响应，自由响应强迫响应稳态响应暂态响应，自由响应强迫响应极点位于虚轴极点位于虚轴暂态响应暂态响应稳态响应稳态响应H(s)的极点的极点E(s)的极点的极点自由响应自由响应强迫响应强迫响应极点位于极点位于s s左半平面左半平面教材教材P22798稳态响应暂态响应，自由响应强迫响应极点位于虚轴暂态响应稳4.8 由系统函数零、极点分布决定频域特性由系统函数零、极点分布决定频域特性994.8 由系统函数零、极点分布决定频域特性99H(s)和频响特性的关系和频响特性的关系频响特性频响特性系统的稳态响应系统的稳态响应幅频特性幅频特性相相频特性（相移特性）频特性（相移特性）虚轴上虚轴上的拉氏的拉氏变换就变换就是傅氏是傅氏变换变换100H(s)和频响特性的关系频响特性系统的稳态响应幅频特性几种常见的滤波器几种常见的滤波器101几种常见的滤波器101102102103103104104讨论讨论H(s)的几点位于的几点位于s平面实轴的情况平面实轴的情况一阶系统一阶系统 只含有一类储能元件。转移函数仅一个极点且位于实轴，一般形式为 或 。二阶系统二阶系统 只含有两类储能元件。转移函数的两个极点都位于实轴。重点讨论105讨论H(s)的几点位于s平面实轴的情况一阶系统重点讨论105例例4-8-14-8-1确定图示系统的频响特性。确定图示系统的频响特性。106例4-8-1确定图示系统的频响特性。106频响特性分析频响特性分析X高通滤波器的截止频率点107频响特性分析X高通滤波器的截止频率点107例例4-8-2研究右图所示研究右图所示RCRC低通滤波网络低通滤波网络的频响特性的频响特性。写出网络转移函数表达式写出网络转移函数表达式:108例4-8-2研究右图所示RC低通滤波网络写出网络转移函数表达频响特性频响特性109频响特性1094.11 线性系统的稳定性线性系统的稳定性一个稳定系统对于有界激励信号产生一个稳定系统对于有界激励信号产生有界的响应函数有界的响应函数稳定性是系统自身的性质之一，系统稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励情况无关是否稳定与激励情况无关系统冲激响应和系统函数能表征系统系统冲激响应和系统函数能表征系统的稳定性的稳定性1104.11 线性系统的稳定性一个稳定系统对于有界激励信号产生有可忽略可忽略可忽略可忽略111可忽略111112112113113114114115115116116117117极点均极点均极点均极点均在左半在左半在左半在左半开平开平开平开平面118极点均在左半开平面1181191191201204.13 拉氏变换和傅氏变换的关系拉氏变换和傅氏变换的关系s s的实部的实部的实部的实部1214.13 拉氏变换和傅氏变换的关系s的实部12112212212312312412412512512612629，求其傅氏变换。，求其傅氏变换。，求其傅氏变换。，求其傅氏变换。12729，求其傅氏变换。127以上两种方法的结果完全相同以上两种方法的结果完全相同以上两种方法的结果完全相同以上两种方法的结果完全相同128以上两种方法的结果完全相同1281291291301303013130131132132电路电路 s 域分析课堂练习域分析课堂练习1：求解下图所示电路的回路电流，已知电感上求解下图所示电路的回路电流，已知电感上求解下图所示电路的回路电流，已知电感上求解下图所示电路的回路电流，已知电感上的初始储能的初始储能的初始储能的初始储能为为 ，激励信号，激励信号，激励信号，激励信号 ，。R+-i(t)L133电路 s 域分析课堂练习1：求解下图所示电路的回路电路电路 s 域分析课堂练习域分析课堂练习2：求解下图所示电路的回路电流，已知电容上求解下图所示电路的回路电流，已知电容上求解下图所示电路的回路电流，已知电容上求解下图所示电路的回路电流，已知电容上的初始储能为的初始储能为的初始储能为的初始储能为 ，电感上的初始储能，电感上的初始储能，电感上的初始储能，电感上的初始储能为为 ，激励信号，激励信号，激励信号，激励信号 ，。R+-i(t)LC134电路 s 域分析课堂练习2：求解下图所示电路的回路