鲜大权概率论与数理统计第13讲课件

西南科技大学理学院西南科技大学理学院西南科技大学理学院西南科技大学理学院 鲜鲜 大大 权权概率论与数理统计概率论与数理统计第第1313讲讲纲要纲要1、参数点估计复习、参数点估计复习2、置信区间与置信度、置信区间与置信度 3、正态总体均值与方差的区间估计、正态总体均值与方差的区间估计4、单侧置信区间、单侧置信区间5、(0-1)分布参数的区间估计分布参数的区间估计6、小结、小结11、两种点估计法纲要、两种点估计法纲要:矩估计法：矩估计法：求矩、替换、解参数求矩、替换、解参数最大似然估计法：最大似然估计法：似然函数、取对数、求最值似然函数、取对数、求最值 在统计问题中常先使用最大似然估计法在统计问题中常先使用最大似然估计法,在在最大似然估计法使用不方便时再用矩估计法最大似然估计法使用不方便时再用矩估计法。参数点估计参数点估计2引言引言 从前面可看到从前面可看到,对于同一个参数对于同一个参数,用不同用不同的估计方法求出的估计量可能不相同的估计方法求出的估计量可能不相同,原则上原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量。任何统计量都可以作为未知参数的估计量。问题问题(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么评价估计量的标准是什么?下面介绍几个常用标准。下面介绍几个常用标准。二、估计量的评选标准二、估计量的评选标准(Evaluation Rule of Estimator)(Evaluation Rule of Estimator)31.无偏性无偏性(Unbiased)无偏估计的实际意义无偏估计的实际意义:无系统误差。无系统误差。4证证例例10.5特别的特别的:不论总体不论总体 X 服从什么分布服从什么分布,只要它的数学期望存在只要它的数学期望存在,6证证.例例11.7(该方法称为该方法称为无偏化无偏化)。82.最小方差性和有效性最小方差性和有效性(Minimum Variance and efficiency)由于方差是随机变量取值与其数学期望的由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度偏离程度,所以无偏估计以方差小者为好。所以无偏估计以方差小者为好。9例例12.(2006数学一数学一)设总体设总体X X的概率密度为的概率密度为:其中 是未知参数 ，为来自总体 的简单随机样本，记 为样本值 中小于1的个数，求 的最大似然估计。例例13.(2004数学一数学一)设总体设总体X X的分布函数为的分布函数为:其中未知参数 ，为来自总体 的简单随机样本，求：（I）的矩估计量；（II）的最大似然估计量。10例例1.(2006年年12月期终考试，月期终考试，10分分)设设总体总体 为它的一个样本，问下列统计量哪些是为它的一个样本，问下列统计量哪些是 的无偏统计量？哪个无偏统计量更有效？的无偏统计量？哪个无偏统计量更有效？113、相合性 相合性相合性(或称一致性或称一致性)是对估计量的一个基本是对估计量的一个基本要求要求,不具备相合性的估计量是不予以考虑的。不具备相合性的估计量是不予以考虑的。122、评价估计量的三个标准、评价估计量的三个标准无偏性无偏性有效性有效性相合性相合性 由最大似然估计法得到的估计量由最大似然估计法得到的估计量,在一定条件下在一定条件下也具相合性，而估计量相合性只有当样本容量相当大也具相合性，而估计量相合性只有当样本容量相当大时才显出优越性时才显出优越性,这在实际中常难以做到这在实际中常难以做到,因此在工程因此在工程中常只使用无偏性和有效性两标准。中常只使用无偏性和有效性两标准。13 引言引言 为弥补点估计这一缺陷为弥补点估计这一缺陷。20世纪世纪30年代，统计学家年代，统计学家Neyman奈曼引入了一种估计方法。奈曼引入了一种估计方法。该参数估计法称为该参数估计法称为区间估计区间估计，也称为也称为置信区间法置信区间法估计估计。14一、置信区间与置信度一、置信区间与置信度 1、定义、定义.置信区间置信区间置信度置信度。分别称为置信下限和置信上限。分别称为置信下限和置信上限。15一旦有了样本，就把一旦有了样本，就把 估计在区间估计在区间 内。内。对参数对参数 作区间估计，是要设法找出两个只依赖于样作区间估计，是要设法找出两个只依赖于样本的界限本的界限(两个统计量两个统计量)q(X1,Xn)(X1,Xn)两点要求两点要求要求要求 以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间 内，内，即概率即概率 要尽可能大要尽可能大.1可靠性：可靠性：2精确性：精确性：要求估计的精确度尽可能高，要求估计的精确度尽可能高，即区间长度即区间长度 尽可能短。尽可能短。这是一对矛盾，一般是在保证可这是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精确度。靠度的条件下尽可能提高精确度。2、置信度和置信区间的意义、置信度和置信区间的意义163、说明、说明174、一般步骤、一般步骤(P163):18二、正态总体均值与方差的区间估计二、正态总体均值与方差的区间估计单个总体单个总体 的情况的情况两个总体两个总体 的情的情况况19(一一)单正态总体单正态总体 的情况的情况并设并设 为来自总体的为来自总体的 样本样本,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差.均值均值 的置信区间的置信区间为已知为已知可得到可得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间为的置信区间为或或20例例1(P63)：解：解：分分三步完成三步完成2122为未知为未知可得到可得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间的置信区间为为此分布不依赖于此分布不依赖于任何未知参数任何未知参数由由或或23例例2.解：解：分分三步完成三步完成2425 例例3.有一大批糖果有一大批糖果.现从中随机取现从中随机取 16 袋袋,称得重量称得重量(以克计以克计)如下如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果重量近似服从正态分布设袋装糖果重量近似服从正态分布,试求总体均值试求总体均值 的置的置信水平为信水平为0.95的置信区间。的置信区间。解解.于是得到于是得到 的的置信水平为置信水平为0.95的置信区间为的置信区间为即即26方差方差 的置信区间的置信区间可得到可得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间的置信区间为为可得到标准差可得到标准差 的的置信水平为置信水平为 的置信区间的置信区间为为27例例4.解：解：28 例例5.有一大批糖果有一大批糖果.现从中随机地取现从中随机地取 16 袋袋,称得重量称得重量(以以克计克计)如下如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体标准差试求总体标准差 的的置信水平置信水平0.95为的置信区间为的置信区间.解解于是得到于是得到 的的置信水平为置信水平为0.95的置信区间为的置信区间为29区间估计纲要信号:定统计量定统计量,查分位点查分位点,算区间。算区间。30(二二)双正态总体双正态总体 的情况的情况设已给定置信水平为设已给定置信水平为 ,并并设设 是来自第一个总体的样本是来自第一个总体的样本,是来自第二是来自第二个总体的样本个总体的样本,这两个样本相互独立这两个样本相互独立.且设且设 分分别别为第一、二个总体的样本均值为第一、二个总体的样本均值,为第一、二为第一、二个总体的样本方差个总体的样本方差.两个总体均值差两个总体均值差 的置信区间的置信区间为已知为已知31因为因为 相互独立相互独立,所以所以 相互独立相互独立.故故或或则得则得 的的置信水平为置信水平为 的置信区间为的置信区间为32为已知为已知其中其中于是得到于是得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间为的置信区间为其中其中33 例例6.为比较为比较 I,两种型号步枪子弹的枪口速两种型号步枪子弹的枪口速度度,随机地取随机地取 I 型子弹型子弹 10 发发,得到枪口速度的平得到枪口速度的平 均值均值 为为 标准差标准差 随随机地取机地取 型子弹型子弹 20 发发,得到枪口速度的平均值为得到枪口速度的平均值为 标准差标准差 假设两总假设两总体都可认为近似地服从正态分布体都可认为近似地服从正态分布.且生产过程可认且生产过程可认为方差相等为方差相等.求两总体均值差求两总体均值差 的的置信水平为置信水平为 0.95 的置信区间的置信区间.34解解 依题意依题意,可认为分别来自两总体的样本可认为分别来自两总体的样本是相互独立的是相互独立的.又因为由假设两总体的又因为由假设两总体的方差相等方差相等,但但数值未知数值未知,故两总体均值差故两总体均值差 的的置信水平为置信水平为的置信区间的置信区间为为其中其中35这里这里故两总体均值差故两总体均值差 的的置信水平为置信水平为0.95 的置信区的置信区间间为为即即 (3.07,4.93).36两个总体方差比两个总体方差比 的置信区间的置信区间(为已知为已知)由由即即则得则得 的的置信水平为置信水平为 的置信区间为的置信区间为37 例例7.研究由机器研究由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管的内径生产的钢管的内径,随机地抽取机器随机地抽取机器 A生产的钢管生产的钢管18只只,测得样本方差测得样本方差 随机地取机器随机地取机器 B 生产的钢管生产的钢管13只只,测得样本方差测得样本方差 设两样本相互独立设两样本相互独立,且设由机器且设由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管的内径分别服从生产的钢管的内径分别服从正态分布正态分布 这里这里 (i=1,2)均未知均未知.试求方差比试求方差比 的的置信水平为置信水平为 0.90 的置的置信区间。信区间。38即即 (0.45,2.79).解解.故两总体方差比故两总体方差比 的的置信水平为置信水平为0.90 的置信区的置信区间间为为394041三、单侧置信区间三、单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限。如元件使用寿命过长人们关心的只是参数在一个方向的界限。如元件使用寿命过长没问题，过短就有问题了。这时可将置信上限取为没问题，过短就有问题了。这时可将置信上限取为+，只考虑，只考虑置信下限，这样的置信区间叫单侧置信区间。置信下限，这样的置信区间叫单侧置信区间。单侧置信区间和置信限的定义：单侧置信区间和置信限的定义：满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的统计量确定的统计量则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的单侧置信区间的单侧置信区间.称为单侧置信下限称为单侧置信下限.若统计量若统计量 满足满足则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的单侧置信区间的单侧置信区间.称为单侧置信上限称为单侧置信上限.42四、四、(0-1)(0-1)分布参数的区间估计分布参数的区间估计设设总体总体X服从服从(0-1)分布分布,求参数求参数p的置信水平为的置信水平为1-的置信区间的置信区间.设设X1,X2,Xn是是一个样本一个样本(n较大较大),由中心极限定理由中心极限定理有有P168例例43五、考题选讲五、考题选讲1、(1993数学三)设总体X的方差为1，据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则 的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 。2、(1996数学三)由来自正态总体 ，容量为9的简单随机样本，若得到样本均值 则未知参数 的置信度0.95的置信区间是 。(注：)44 3、一批零件的长度服从正态分布 ，其中 均未知.现从中随机抽取16个零件，测得样本均值 ，样本标准差 ，则 的置信度为0.90的置信区间是 。45六、小六、小 结结要求：要求：1)理解理解区间估计的概念，置信度与置信区间的概念区间估计的概念，置信度与置信区间的概念。2)会会求单正态求单正态总体的均值与方差的总体的均值与方差的置信区间。置信区间。纲要信号：构造统计量、查分位点值、解参数区间。纲要信号：构造统计量、查分位点值、解参数区间。46近五年本章考题近五年本章考题、估计量的评价标准、估计量的评价标准474849、参数估计、参数估计505152再见！53