高等数学C教学课件

2013高 等 数 学 苏州大学出版社苏州大学出版社 2019 2013C1.函数与向量函数与向量C2.极限与连续极限与连续C4.中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用C5.定积分与不定积分定积分与不定积分C3.导数与微分导数与微分主要内容主要内容C8.微分方程微分方程C6.二重积分与曲线积分二重积分与曲线积分C7.无穷级数无穷级数C9.概率论基础概率论基础2013第二章极限与连续第三节第三节 函数连续性及其在闭域上的性质函数连续性及其在闭域上的性质第一节第一节 数列极限数列极限 函数极限函数极限 第二节第二节 函数极限的运算函数极限的运算习题课习题课2013 2.1 数列极限数列极限 函数极限函数极限一、数列极限一、数列极限二、一元函数极限二、一元函数极限 三、无穷大与无穷小三、无穷大与无穷小四、多元函数极限四、多元函数极限 2013一、数列极限一、数列极限定义定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).若数列及常数 a 有下列关系:当 n N 时,总有记作或则称该数列的极限为 a,即此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:2013例如例如,趋势不定收 敛发 散2013例例1.已知证明数列的极限为1.证证:欲使即只要因此,取则当时,就有故2013例例2.设证明等比数列证证:欲使只要即亦即因此,取,则当 n N 时,就有故的极限为 0.2013数列极限的性质数列极限的性质:1.收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.2.收敛数列一定有界收敛数列一定有界.说明说明:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.数列3.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.4.收敛数列的保号性收敛数列的保号性.(见以后函数极限性质)若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，发散!则原数列一定发散.说明说明:2013二、一元函数极限二、一元函数极限1.时函数极限的定义时函数极限的定义定义定义2.设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,记作A 为函数几何解释几何解释:2013例例3.证明证证:取因此注注:就有故欲使即2013直线 y=A 仍是曲线 y=f(x)的渐近线.两种特殊情况两种特殊情况:当时,有当时,有几何意义几何意义:例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，20132.时函数极限的定义时函数极限的定义定义定义3.设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数 A 为函数当时的极限,或即当时,有若记作极限存在函数局部有界这表明:2013几何解释几何解释:函数极限的性质与数列极限的性质类似,有唯一性、局部有界性，还有下面的（局部）保号性。若且 A 0,则存在(A 0)保号性保号性若则存在使当时,有推论推论:2013例例4.利用函数的直观意义理解下列极限，并用定义证明选择（选择（3）证）证:欲使取则当时,必有因此只要2013例例5.证明:当证证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证.必有2013左极限与右极限左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有定理定理1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2013例例6.设函数讨论 时的极限是否存在.解解:利用左右极限关系性质，.因为显然所以不存在.2013当三、三、无穷小与无穷大无穷小与无穷大定义定义4.若时,函数则称函数例如:函数 当时为无穷小;函数 时为无穷小;函数 当为时的无穷小无穷小.时为无穷小.2013其中 为时的无穷小量.定理定理 2.(无穷小与函数极限的关系)证证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.2013定义定义5.若一切满足不等式的 x,总有则称函数当时为无穷大，使对若在定义中将 非零条件改为则记作记作非零，且是的无穷小，恒正，（恒负）据此定义,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.说明说明:2013注意注意:1.很大的常数不是无穷大.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如例如,函数当但所以时,不是无穷大!容易证明若 则直线为曲线的铅直渐近线.说明说明:2013无穷小运算性质：无穷小运算性质：1.有限个无穷小的和还是无穷小.说明说明:无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小!2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.例例7.求解解:可知y=0 是的渐近线.2013四、多元函数的极限四、多元函数的极限定义定义6.设 n 元函数点,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n=2 时,记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚若存在常数 A,对一记作都有对任意正数 ,总存在正数,切2013例例8.设求证：证证:故总有要证 2013 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例例9.讨论函数函数2013仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限不同不同.如果它们都存在,则三者相等.例如例如,显然与累次极限但由例9 知它在(0,0)点二重极限不存在.2013 2.2 函数极限的运算函数极限的运算一、极限的四则运算与复合运算一、极限的四则运算与复合运算二、极限存在的准则与两个重要极限二、极限存在的准则与两个重要极限三、无穷小的比较三、无穷小的比较2013一、一、极限的四则运算法则与复合运算极限的四则运算法则与复合运算则有定理定理 1.若(1)(2)推论推论:若且则说明说明:定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形.推论推论 1.(C 为常数)推论推论 2.(n 为正整数)2013(3).(B0)定理定理1.若则有提示提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理 可由定理1 直接得出结论.2013例例2.设 n 次多项式试证证证:例例3.设有分式函数其中都是多项式,试证:证证:说明说明:若不能直接用商的运算法则.若2013 x=3 时分母为 0!例例4.求下列极限：解解:x=1 时分母=0,分子0,但因2013解解:分子分母同除以则 原式一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数)2013定理定理2.设且 x 满足时,又则有 说明说明:若定理中若定理中则类似可得例如：例如：2013二、二、函数极限存在准则与两个重要极限函数极限存在准则与两个重要极限准则准则 I且(准则I 对其他的变量过程也成立)（夹逼准则）2013圆扇形AOB的面积当即时，AOB 的面积AOD的面积故有亦即显然有先来给出几个常用不等式：先来给出几个常用不等式：2013例例5.证明：证证:(1)由得故(2)当时2013由(以上证明过程都用到了夹逼准则方法）2013例例6.求下列极限：解解:解解:令则因此原式2013解解:原式=说明说明:计算中注意利用2013准则准则II准则II 包含：(1)若 单调增加且有上界，则 必有极限(2)若 单调增加且有上界，则 必有极限 单调有界数列必有极限 可讨论一个特殊的数列 是单调递增的且有上界，由准则II，必有极限存在，设为常数e,可证其为一无理数，近似值为2.7182818284590452013例例7.证明：证证:当时,设则2013当则从而有故说明说明:此极限也可写为时,令2013例例8.求下列极限：解解:(1)原式(2)原式=思考：思考：填空题填空题2013三、无穷小的比较三、无穷小的比较定义定义.若则称 是比 高阶高阶的无穷小,若若设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;若若或则称 是关于 的 k 阶阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小,记作2013例如例如,当时又如又如，故时是关于 x 的二阶无穷小,且思考：思考：如何 证明:当时,更一般地，2013定理定理3.设且存在,则证证:例如例如,2013例例9.求下列极限：解解:原式 解解:2013 2.3 函数连续性及其在闭域上的性质函数连续性及其在闭域上的性质一、函数连续与间断的概念一、函数连续与间断的概念二、连续函数的运算、初等函数的连续性二、连续函数的运算、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性2013可见,函数在点一、一、函数连续与间断的概念函数连续与间断的概念定义定义1在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;2013若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数连续函数.例如例如,在上连续.(有理整函数)又如又如,有理分式函数在其定义域内连续.在闭区间上的连续函数的集合记作又可证函数在内连续.2013对自变量的增量有函数的增量左连续右连续当时,有函数在点连续有下列等价命题:2013在在(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但 不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数 f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点间断点.在无定义;定义定义22013间断点分类间断点分类:第一类间断点第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点无穷间断点.为振荡间断点振荡间断点.2013为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如例如:2013显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.2013例例1.确定函数间断点的类型.解解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.2013定理定理2.连续单调递增 函数的反函数在其定义域内连续二、连续函数的运算、初等函数的连续性二、连续函数的运算、初等函数的连续性定理定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如例如,例如例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在 1,1 上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调2013定理定理3.连续函数的复合函数是连续的.在上连续 单调 递增,其反函数在上也连续单调递增.证证:设函数于是故复合函数又如又如,且即2013例例2.设均在上连续,证明函数也在上连续.证证:根据连续函数运算法则,可知也在上连续.2013初等函数的连续性初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而2013例例3.求求解解:原式说明说明:若则有2013注意注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.三三、闭区间（域）上连续函数的性质、闭区间（域）上连续函数的性质最值定理最值定理.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点,2013推论推论.由定理 1 可知有证证:设上有界.介值定理介值定理(零点定理)至少有一点且使(证明略)在闭区间上连续的函数在该区间上有界.2013(介值定理)设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点证证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即推论推论:使至少有在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值.2013例例4.证明方程一个根.证证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法二分法在区间内至少有则则2013四四、多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3.设 n 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称 n 元函数连续.连续,2013例如例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.2013定理定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:2013解解:原式例例5.求例例6.求函数的连续域.解解:2013P59 1(2)(4),3,7(2),8,9(1)(3),10(1)(3)(5);作业作业P60 11,12(1)(2)(4),13(1)(3);P61 16,17,19,21,22;谢谢！谢谢！72