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第三节第三节 函数的极限函数的极限12.另两种情形另两种情形:2例例1证证342.几何解释几何解释:注意：注意：5例例4证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.6例例5证证73.单侧极限单侧极限:例如例如,8左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例6证证9函数极限的性质1.有界性有界性2.唯一性唯一性103 3、定理、定理(保号性保号性)推论推论114.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定理定理12证证13例例7证证14二者不相等二者不相等,15小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)16过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 17思考题思考题18思考题解答思考题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.19第四节第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大一一、无穷小、无穷小1.定义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.20例如例如,注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.212.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性充分性充分性22意义意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷无穷小小);3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.证证23注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.24定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证25推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.26二、无穷大极限值无限增大的变量称为极限值无限增大的变量称为无穷大无穷大.27特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.28不是无穷大不是无穷大无界无界29证证30三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证证31意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.32小结几点注意几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.33第五节第五节 极限运算法则极限运算法则定理定理证证由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得3435推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2有界，有界，36例例1 1解解37小结小结:38解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 239解解例例3 3(消去零因子法消去零因子法)40例例4 4解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)41小结小结:无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.42例例5 5解解先变形再求极限先变形再求极限.43例例6 6解解44例例7 7解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,45小结小结1.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.461.夹逼准则(两边夹定理）证第六节 极限存在准则 两个重要极限47上两式同时成立上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限48注意注意:准则准则 和和准则准则 称为称为夹逼准则夹逼准则.49例1解由夹逼准则得由夹逼准则得502.单调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:51证(舍去舍去).)n例2(的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列52两个重要极限1、5354例3 （1 1）解 （2 2）552、定义定义5657类似地类似地,58例4解例5解59思考题求极限求极限60思考题解答思考题解答61第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较例如例如,极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.不可比不可比.观观察察各各极极限限62定义定义:63例例1 1解解例例2 2解解64常用等价无穷小常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如例如,65定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)证证66例例3 3解解不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意注意67例例4 4解解解解错错68例例5 5解解69小结1.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换等价无穷小的替换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法,注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小;等价无穷小等价无穷小;无穷小的阶无穷小的阶.70第八节第八节 函数的连续与间断函数的连续与间断1.函数的增量函数的增量712.连续的定义连续的定义7273例例1 1证证由定义由定义2知知743.单侧连续单侧连续定理定理75例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续,76例例3 3证证77二、函数的间断点781.跳跃间断点跳跃间断点例例4 4解解792.可去间断点可去间断点例例5 580解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.81如例如例5中中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点特点823.第二类间断点第二类间断点例例6 6解解83例例7 7解解注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.84例例8 8解解85小结小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)86可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx87思考题思考题88思考题解答思考题解答且且89但反之不成立但反之不成立.例例但但90第九节连续函数的运算与性质第九节连续函数的运算与性质一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性定理定理1 1例如例如,91二、反函数与复合函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.例如例如,92定理定理3 3证证93将上两步合起来将上两步合起来:94意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;例例1 1解解95例例2 2解解同理可得同理可得96定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,97三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.98定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.(均在其定义域内连续均在其定义域内连续)定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.991.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如,这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.注意注意注意注意2.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.100例例3 3例例4 4解解解解101四、闭区间上连续函数的性质定义定义:例如例如,102定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.103定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界.证证104介值定理定义定义:105几何解释几何解释:106几何解释几何解释:MBCAmab证证由零点定理由零点定理,107推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值.例例1 1证证由零点定理由零点定理,108例例2 2证证由零点定理由零点定理,109
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