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上一页上一页下一页下一页返回返回一、对弧长的曲线积分的概念一、对弧长的曲线积分的概念1.定义定义上一页上一页下一页下一页返回返回被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量上一页上一页下一页下一页返回返回2.存在条件：存在条件：3.推广推广上一页上一页下一页下一页返回返回注意：注意：上一页上一页下一页下一页返回返回二、对弧长的曲线积分的性质上一页上一页下一页下一页返回返回三、对坐标的曲线积分的概念1.定义定义上一页上一页下一页下一页返回返回类似地定义类似地定义上一页上一页下一页下一页返回返回2.存在条件：存在条件：3.组合形式组合形式上一页上一页下一页下一页返回返回4.4.推广推广上一页上一页下一页下一页返回返回即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.四、对坐标的曲线积分的性质上一页上一页下一页下一页返回返回五、对面积的曲面积分的定义1.定义上一页上一页下一页下一页返回返回六、对面积的曲面积分的性质上一页上一页下一页下一页返回返回基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧上一页上一页下一页下一页返回返回曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面上一页上一页下一页下一页返回返回莫比乌斯带典型单侧曲面:播放上一页上一页下一页下一页返回返回曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:上一页上一页下一页下一页返回返回七、对坐标的曲面积分的定义上一页上一页下一页下一页返回返回被积函数积分曲面类似可定义上一页上一页下一页下一页返回返回存在条件:组合形式:物理意义:上一页上一页下一页下一页返回返回八、对坐标的曲面积分的性质上一页上一页下一页下一页返回返回九、曲线积分的计算法九、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)选择积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终上一页上一页下一页下一页返回返回对弧长曲线积分的计算定理定理上一页上一页下一页下一页返回返回注意注意:特殊情形特殊情形上一页上一页下一页下一页返回返回推广推广:上一页上一页下一页下一页返回返回例例1解解上一页上一页下一页下一页返回返回例例2解解例例3解解上一页上一页下一页下一页返回返回例例4解解 由对称性由对称性,知知上一页上一页下一页下一页返回返回对坐标的曲线积分的计算定理定理上一页上一页下一页下一页返回返回特殊情形特殊情形上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回 例5 计算其中L为摆线上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.提示提示:上一页上一页下一页下一页返回返回 例 6 计算其中 由平面 y=z 截球面提示提示:因在 上有故原式=从 z 轴正向看沿逆时针方向.上一页上一页下一页下一页返回返回十、曲面积分的计算法十、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)选择积分变量 代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面上一页上一页下一页下一页返回返回定理定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在 上连续,存在,且有对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分上一页上一页下一页下一页返回返回例7解上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回 若则有 若则有(前正后负)(右正左负)对坐标的曲面积分计算对坐标的曲面积分计算:一投、二代、三定号一投、二代、三定号(上正下负)则有 若上一页上一页下一页下一页返回返回解解:把 分为上下两部分根据对称性 思考思考:下述解法是否正确:例例8.计算曲面积分其中 为球面外侧在第一和第五卦限部分.上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回例例9解解上一页上一页下一页下一页返回返回谢谢！谢谢！4243
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