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返回返回上页上页下页下页目录目录一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法若若定理定理 1 正项级数正项级数收敛收敛部分和序列部分和序列有界有界.若若收敛收敛,部分和数列部分和数列有界有界,故故从而从而又已知又已知故有界故有界.则称则称为为正项级数正项级数.单调递增单调递增,收敛收敛,也收敛也收敛.证证:“”“”(Interrogate of positive term series)7/29/20241返回返回上页上页下页下页目录目录都有都有设设且存在且存在对一切对一切有有(1)若强级数若强级数则弱级数则弱级数(2)若弱级数若弱级数则强级数则强级数证证:设对一切设对一切则有则有收敛收敛,也收敛也收敛;发散发散,也发散也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和分别表示弱级数和强级数的部分和,则有则有是两个正项级数是两个正项级数,(常数常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨故不妨定理定理2(比较审敛法比较审敛法)7/29/20242返回返回上页上页下页下页目录目录(1)若若强强级数级数则有则有因此对一切因此对一切有有由定理由定理 1 可知可知,则有则有(2)若若弱弱级数级数因此因此这说明这说明强强级数级数也发散也发散.也收敛也收敛.发散发散,收敛收敛,弱弱级数级数7/29/20243返回返回上页上页下页下页目录目录则有则有两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散;(2)当当 l=0(3)当当 l=证证:据极限定义据极限定义,设两正项级数设两正项级数满足满足(1)当当 0 l 时时,定理定理3(比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式)7/29/20244返回返回上页上页下页下页目录目录由定理由定理 2 可知可知同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散;(3)当当l=时时,即即由定理由定理2可知可知,若若发散发散,(1)当当0 l 0)的敛散性的敛散性.解解:1)若若因为对一切因为对一切而调和级数而调和级数由比较审敛法可知由比较审敛法可知 p 级数级数发散发散.发散发散,例例3 讨论讨论 p 级数级数7/29/20248返回返回上页上页下页下页目录目录因为当因为当故故考虑强级数考虑强级数的部分和的部分和故强级数收敛故强级数收敛,由比较审敛法知由比较审敛法知 p 级数收敛级数收敛.时时,2)若若7/29/20249返回返回上页上页下页下页目录目录7/29/202410返回返回上页上页下页下页目录目录7/29/202411返回返回上页上页下页下页目录目录7/29/202412返回返回上页上页下页下页目录目录7/29/202413返回返回上页上页下页下页目录目录设设 为正项级数为正项级数,且且则则(1)当当(2)当当证证:(1)收敛收敛,时时,级数收敛级数收敛;或或时时,级数发散级数发散.由比较审敛法可知由比较审敛法可知定理定理4 比值审敛法比值审敛法(D Alembert 判别法判别法)7/29/202414返回返回上页上页下页下页目录目录因此因此所以级数发散所以级数发散.时时说明说明:当当时时,级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散.例如例如,p 级数级数但但级数收敛级数收敛;级数发散级数发散.从而从而(2)当当7/29/202415返回返回上页上页下页下页目录目录7/29/202416返回返回上页上页下页下页目录目录7/29/202417返回返回上页上页下页下页目录目录对任意给定的正数对任意给定的正数 设设 为正项级为正项级则则证明提示证明提示:即即分别利用上述不等式的左分别利用上述不等式的左,右部分右部分,可推出结论正确可推出结论正确.数数,且且定理定理5 根值审敛法根值审敛法(Cauchy判别法判别法)7/29/202418返回返回上页上页下页下页目录目录时时,级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散.例如例如,p 级数级数 但但级数收敛级数收敛;级数发散级数发散.说明说明:7/29/202419返回返回上页上页下页下页目录目录7/29/202420返回返回上页上页下页下页目录目录二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数则各项符号正负相间的级数称为称为交错级数交错级数.定理定理6 (Leibnitz 判别法判别法)若交错级数满足条件若交错级数满足条件:则级数则级数收敛收敛,且其和且其和 其余项满足其余项满足(Interrogate of staggered series)7/29/202421返回返回上页上页下页下页目录目录证证:是单调递增有界数列是单调递增有界数列,又又故级数收敛于故级数收敛于S,且且故故7/29/202422返回返回上页上页下页下页目录目录收敛收敛收敛收敛收敛收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散发散收敛收敛收敛收敛用用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:7/29/202423返回返回上页上页下页下页目录目录三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定义定义 对任意项级数对任意项级数若若若原级数收敛若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散但取绝对值以后的级数发散,则称原级则称原级收敛收敛,数数为条件收敛为条件收敛.均为绝对收敛均为绝对收敛.例如例如：绝对收敛绝对收敛；则称原级则称原级数数条件收敛条件收敛.(Absolute convergence and conditional convergence)7/29/202424返回返回上页上页下页下页目录目录证证:设设根据比较审敛法根据比较审敛法显然显然收敛收敛,收敛收敛也收敛也收敛且且收敛收敛,令令定理定理7 绝对收敛的级数一定收敛绝对收敛的级数一定收敛.7/29/202425返回返回上页上页下页下页目录目录证证:(1)而而收敛收敛,收敛收敛因此因此绝对收敛绝对收敛.例例11 证明下列级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛:（补充题）（补充题）7/29/202426返回返回上页上页下页下页目录目录(2)令令因此因此收敛收敛,绝对收敛绝对收敛.（自学课本（自学课本 例例13、14）7/29/202427返回返回上页上页下页下页目录目录7/29/202428返回返回上页上页下页下页目录目录其和分别为其和分别为*定理定理8 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.*定理定理9(绝对收敛级数的乘法绝对收敛级数的乘法)则对所有乘积则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛也绝对收敛,设级数设级数与与都绝对收敛都绝对收敛,其和为其和为绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.说明说明:条件收敛级数不具有这两条性质条件收敛级数不具有这两条性质.7/29/202429返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法利用正项级数审敛法必要条件必要条件不满足不满足发发 散散满足满足比值审敛法比值审敛法根值审敛法根值审敛法收收 敛敛发发 散散不定不定 比较审敛法比较审敛法用它法判别用它法判别积分判别法积分判别法部分和极限部分和极限7/29/202430返回返回上页上页下页下页目录目录为收敛级数为收敛级数Leibniz判别法判别法:则交错级数则交错级数收敛收敛概念概念:绝对收敛绝对收敛条件收敛条件收敛3.任意项级数审敛法任意项级数审敛法7/29/202431返回返回上页上页下页下页目录目录课外练习课外练习习题习题102 1（1）（）（2）（）（4）；）；2（奇数题）（奇数题）；3（3）（）（4）（）（6）；）；4（2）（）（3）（）（5）（）（7）；）；5思考练习思考练习1、设正项级数设正项级数收敛收敛,能否推出能否推出收敛收敛?提示提示:由由比较判敛法比较判敛法可知可知收敛收敛.注意注意:反之不成立反之不成立.例如例如,收敛收敛,发散发散.7/29/202432返回返回上页上页下页下页目录目录则级数则级数(A)发散发散;(B)绝对收敛绝对收敛;(C)条件收敛条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定收敛性根据条件不能确定.分析分析:(B)错错;又又C2.7/29/202433谢谢！谢谢！3435
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