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和和我们知道求由我们知道求由 所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积 A 须经过以下四个步骤：须经过以下四个步骤：（2）近似代替：）近似代替：（4）取极限：）取极限：（3）求和：）求和：分成分成n个小区间，个小区间，（1）分割）分割:把把设第设第 i 个小曲边梯形的面积为个小曲边梯形的面积为则：则：定积分的元素法定积分的元素法3-5 定积分的若干应用定积分的若干应用（2）A对于区间对于区间a,b具有可加性，即整个曲边梯形的面积等于具有可加性，即整个曲边梯形的面积等于 所有小曲边梯形面积的和。所有小曲边梯形面积的和。在上面的问题中，所求的量面积在上面的问题中，所求的量面积A有如下性质：有如下性质：（1）A是一个与变量是一个与变量x的区间的区间a,b有关的量；有关的量；即：即：A的精确值，的精确值，近似代替部分量近似代替部分量时，它们只相差一比时，它们只相差一比高阶的无穷小，因此和式高阶的无穷小，因此和式的极限就是的极限就是（3）以）以（3）写出）写出A的积分表达式，即：的积分表达式，即：求求A的积分表达式的步骤可简化如下：的积分表达式的步骤可简化如下：（1）确定积分变量）确定积分变量x及积分区间及积分区间a，b；以以作为作为的近似值。的近似值。（2）在）在a,b上任取小区间上任取小区间叫做面积元素叫做面积元素,记为记为即：即：具体步骤是具体步骤是：那么这个量就可以用积分来表示。那么这个量就可以用积分来表示。（3）写出）写出 U 的积分表达式，即：的积分表达式，即：（1）根据具体问题，选取一个变量例如）根据具体问题，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定为积分变量，并确定 它的变化区间它的变化区间a,b；（叫做叫做积分元素积分元素）（2）在）在a,b上任取小区间上任取小区间 x,x+dx，求出，求出 U 在这个小区间上在这个小区间上的近似表达式的近似表达式这种方法叫做这种方法叫做 定积分的元素法定积分的元素法.一般地，如果某一实际问题中的所求量一般地，如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件：符合下列条件：（1）U是与一个变量是与一个变量x的变化区间的变化区间a，b有关的量；有关的量；（2）U对于区间对于区间a，b具有可加性；具有可加性；的近似值可表示为的近似值可表示为（3）部分量）部分量首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页1.平面曲线的弧长平面曲线的弧长定义定义:若在弧 AB 上任意作内接折线,当折线段的最大边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧 AB 的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)则称首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长积分区间为积分区间为首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(3)曲线弧由极坐标方程给出:首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页 平面极坐标系：平面极坐标系：oAp（极点）（极点）（极（极轴）轴）xy或直角坐标系圆的方程：极坐标系圆的方程：直角坐标与极坐标的关系:首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):(自己验证)首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例1 计算旋轮线一拱的弧长.解解首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例2 求椭圆周的弧长.解解上半椭圆周的方程为弧微分为则首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页椭圆积分椭圆积分.它无论在应用上还是在数学基础理论研究中，椭圆积分都有重要价值.旋转体旋转体由一个平面图形绕同平面内一条直由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体这条直线叫做线旋转一周而成的立体这条直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台2.2.旋转体的体积旋转体的体积旋转体的体积公式旋转体的体积公式积分区间为积分区间为首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例3解解分别绕y轴旋转所形成的旋转体体积之差.yxo首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页yx-11oyx-11o1首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页 补例补例 计算下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：xy0-11解解首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页解解首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页 3.旋转体的侧面积旋转体的侧面积设平面光滑曲线求积分后得旋转体的侧面积它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.积分区间为积分区间为a,b,则侧则侧面积元素为：面积元素为：首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页侧面积元素的线性主部.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积S 的 注意注意:侧面积为 曲线弧由极坐标方程曲线弧由极坐标方程给出时给出时,旋转体的側面积为旋转体的側面积为首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例4 计算圆周x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S.解解 对曲线弧应用公式得当球台高 h2R 时,得球的表面积公式.曲线弧的质心与转动惯量曲线弧的质心与转动惯量若平面上的一条光滑曲线弧，其参数方程是若平面上的一条光滑曲线弧，其参数方程是线密度为，线密度为，弧弧 的质量近似为的质量近似为这段弧关于和轴的静力矩分别是：这段弧关于和轴的静力矩分别是：弧微分弧微分其总质量为其总质量为所以整个曲线弧的质心的坐标为所以整个曲线弧的质心的坐标为质量为的质点绕一固定轴旋转的转动惯量为质量为的质点绕一固定轴旋转的转动惯量为其中是质点到固定轴的距离，所以其中是质点到固定轴的距离，所以因此，整个弧对因此，整个弧对x 轴与轴与y轴的转动惯量分别是轴的转动惯量分别是首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页5.平面图形的面积平面图形的面积平面直角坐标下图形的面积平面直角坐标下图形的面积(1)由曲线与直线及 x 轴所围曲边梯形面积为 A.其中被积表达式f(x)dx就是直角坐标下的面积元素,它表示高为f(x)、底为dx的一个矩形面积.首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页 (2)由曲线由曲线 ,直线直线y=c,y=d(cd)及及y轴轴轴所围成的曲边梯形的面积(3)求下列曲线所围成的面积求下列曲线所围成的面积Axy0ababxy0首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例1.计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解解:由得交点首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例2.计算抛物线与直线的面积.解解:由得交点所围图形为简便计算,选取 y 作积分变量,则有首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页 平面极坐标系：平面极坐标系：极坐标与直角坐标的关系：oAp（极点）（极点）（极（极轴）轴）xy或直角坐标系圆的方程：极坐标系圆的方程：曲边扇形面积元素曲边扇形面积元素曲边扇形的面积公式曲边扇形的面积公式 平面极坐标下图形的面积平面极坐标下图形的面积首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例6.计算心形线所围图形的面积.解解:(利用对称性)首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x)作用下沿 x 轴从 xa 移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.在其上所作的功元素为因此变力F(x)在区间 上所作的功为首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页补例补例1体,求移动过程中气体压力所解解:由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处(如图),作的功.建立坐标系如图.由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比,即功元素为故作用在活塞上的所求功为力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页补例补例2为3m,试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解解:建立坐标系如图.在任一小区间上的一薄层水的重力为这薄层水吸出桶外所作的功(功元素功元素)为故所求功为(KJ)设水的密度为(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m,底圆半径为首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页面积为 A 的平板 液体侧压力液体侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强:当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页小窄条上各点的压强补例补例3 的液体,求桶的一个端面所受的侧压力.解解:建立坐标系如图.所论半圆的利用对称性,侧压力元素端面所受侧压力为方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页说明说明:当桶内充满液体时,小窄条上的压强为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数奇函数首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页习题习题3-5 1,3,6,89,11,15,16,19,22,28,32.第三章总练习题第三章总练习题 3,5,(提示提示:令令x+ht=u；应用积分中值定理）；应用积分中值定理）,7,8.(2),(4),10,13,20,21,23.27.
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