高等数学下-第2版课件

第九章第九章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉氏变换的概念拉氏变换的基本性质拉氏逆变换的求法拉氏变换应用举例高等数学（下）第高等数学（下）第2版版v书名：高等数学（下）书名：高等数学（下）第第2版版v书号：书号：978-7-111-49498-0v作者：陶金瑞作者：陶金瑞v出版社：机械工业出版出版社：机械工业出版社社第一节 拉氏变换的概念重点：1.拉氏变换的定义2.简单函数拉氏变换的求法难点：拉氏变换的计算一 拉普拉斯变换的定义拉氏变换通常用符号 表示，即 若是 的拉氏变换，则称 是 函数，拉氏变换是可逆的积分变换，称 的像是的像原函数，或逆变换。设函数 的定义域为,且当 时，若积分 对于 在某一范围内的值收敛，则此积分就确定了一个参数的函数，记为，即，函数 称为 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。说明：说明：1.在很多实际问题中，以时间 为自变量的函数，当 时是无意义或者无需考虑的，故对本章中出现的任何函数，总假定当 时，且常常将 简记为;2.积分 中的 一般情况下为复数，但我们只讨论 是实数的情况。3.函数 的拉氏变换，当且仅当积分 时才存在，但一般说来，科技、生产中常用函数的拉氏变换总是存在的。说明：说明：1.在很多实际问题中，以时间 例1:求函数 的拉氏变换。解：由公式，得函数 的拉氏变换为 所以，例2：求函数 的拉氏变换（其中 为实数）。解：由公式可得：,例3：求函数 的拉氏变换。解：当 时，两次使用分布积分，得 由此可得 同理可算得余弦函数的拉氏变换 二 两个重要函数1.单位阶梯函数 单位阶梯函数 由例1知，它的拉氏变换的图像如下页左图所示，将 的图像向右平移个单位，即得 设，则 其图像如下页右图所示。2.狄拉克函数定义：设 当 时，函数序列 的极限 称为狄拉克函数或单位脉冲函数，记为 函数。由此可见，是这样一个函数：的图形如图所示。显然，对任何，有 所以，我们规定 有些工程书上将 函数用一个长度等于1的有向线段来表示（如图），这个线段的长度表示函数的积分，称为 函数的强度。根据拉氏变换的定义，可以得到 的拉氏变换 第二节拉氏变换的性质v重点：拉氏变换的性质v难点：拉氏变换的性质1.线性性质：若,则对于任意常数 和有例1：求双曲正弦函数 的拉氏变换。解：例2：求函数 的拉氏变换。解：由于，所以 2.平移性质：若，则 例3：求函数 和 的拉氏变换.解：由平移性质及 及可得:3.延滞性质：若，则()例4 求狄拉克函数 的拉氏变换。解：由 及 可得：同理可得：4 微分性质：若，且 及直至 的拉氏变换都存在，则 一般有 特别的，如果 则(),例5 证明:证明：设 ，注意到 及,由，有 而即得 所以，例6 利用微分性质求 解：由,故5.积分性质:,()，且 连续，则 性质5表明，一个函数积分后取拉氏变换，等于这个函数的拉氏变换除以参数.性质5可以推广到有限次积分的情形：()序号 的像原函数 像函数 123 （为正整数）456 例7 查表求 解：令，则由表中序号4得：或第三节拉氏逆变换的运算v重点：拉氏逆变换的求法v难点：拉氏逆变换的求法一 拉氏逆变换的定义：若 存在，则称 为 的拉氏变换，记为 此时也称 为 的拉氏逆变换，记为 2.若，则(1)(2)(5)(4)(3)()例1 求下列各像函数的拉氏逆变换(1)(3)(4)(2)解：（1）由性质及表（序号11），得：（2）由性质及表（序号2，3），得：（3）由性质及表（序号4，5），得：（4）由性质及表（序号13，14），得：例2 求 的拉氏逆变换。解：先将 分解为两个简单分式之和，其中 为待定的常数，上式两边同乘以，得 令，得，又令，得。所以于是，例3 求 的拉氏逆变换。解：设（因分母有一个因式 为二次式，所以它的分式要写成一次式形式），由上式得 比较两边的系数，得 解方程组，得,所以 第四节拉氏变换的应用 重点：.用拉氏变换解微分方程 .传递函数难点：.用拉氏变换解微分方程.传递函数一 解微分方程用拉氏变换解微分方程 的一般步骤为：(1)对方程两边分别 求拉氏变换；(2)解出未知函数 的拉氏变换；(3)求出像函数的拉氏 逆变换，解出未知 函数。例1 求解，已知,解：第一步 对方程两边取拉氏变换，并设 因,故上式变为,第二步 解出 第三步 求像函数 的逆变换。例2 求微分方程 满足初始条件：,的解。解：对方程两边求拉氏变换，并设，得 将,代入，得 解得再对上式取拉氏逆变换，得 这就是所求微分方程的解。例3 一个 欧姆的电阻，亨利的电感和一个 伏的电源连同开关串联起来（如图），在 时开关闭合，此时电流。若（1），（2）（3），求 时的电流 解：根据基尔霍夫定律，有（1）令(1)若，对（1）取拉氏变换，并代入初始条件，得 取逆变换，得到电流（2）若，则 取逆变换，得到电流（3）若，则 取逆变换，得到电流 例4 给定如图所示的电网络中，若初始电流是零，求各个支路中电流的变化规律。解 由基尔霍夫定律，得 其中，,令,对方程组取拉氏变换，并代入初始条件,得二 传递函数定义：一个具有零初始条件的线性系统（或部件、或基本环节、或网络），它的输出 的拉氏变换 与输入 的拉氏变换 之比 称为该系统的传递函数，记为，即，或者 系统的传递函数表达了该系统本身的特性，而与系统的拉氏变换就可求出输出的拉氏变换。输入无关，即如果一个系统的传递函数已知，则由输入的一个系统如由多个基本环节串联而成，则该系统的传递函数是所有基本环节的传递函数之积。整理，得 解方程组，得 取逆变换，得到电流的变化规律,.例5 求如图所示电路的传递函数，这里输入是电压,输出是电压,并求当输入电压 时的输出电压。解：设电路的左网孔的电流为 由回路电压法，得，对此方程组取拉氏变换，得 由（2）式，得。代入（1）得 写在最后写在最后成功的基成功的基础在于好的学在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits43 结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日