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5 二重积分 4 二重积分的计算：D是矩形区域 含“复习 2，图19：平行截面面积为已知的立体的体积”5 二重积分的计算：D是曲线梯形区域 6 二重积分计算的两种积分顺序3多元函数积分学概况12 曲顶柱体的体积789 10 将二重积分化成二次积分.D:x+y=1,xy=1，x=0所围11 将二重积分化成二次积分D:由四条直线:x=3，x=5,3x 2y+4=0,主主 目目 录录(1 25)(1 25)与 3x 2y+1=0 共同围成的区域 16 利用极坐标计算二重积分 17 怎样用极坐标计算二重积分 (1)极点不在区域 D 的内部 18 怎样用极坐标计算二重积分 (2)极点位于区域 D 的内部 14（练习）将二重积分化成二次积分15 为什么引用极坐标计算二重积分19212012 将二重积分换序：13 将二重积分换序：.2223.24 将积分换序25 将积分化为极坐标形式（按积分区域分类）（按积分区域分类）（按积分区域分类）（按积分区域分类）积分区域积分区域积分区域积分区域定积分定积分二重积分二重积分三重积分三重积分D曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分一型：对弧长一型：对弧长二型：对坐标二型：对坐标一型：对面积一型：对面积二型：对坐标二型：对坐标Stokes 公式公式高斯公式高斯公式格林公式格林公式1.1.多元函数积分学概况多元函数积分学概况多元函数积分学概况多元函数积分学概况推推 广广推推 广广推推 广广推推 广广x0z y DSS:z=f(x,y)元素法元素法元素法元素法1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零2 以平代曲以平代曲2.2.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 ix0z yDS:z=f(x,y)3 积零为整积零为整2 以平代曲以平代曲元素法元素法元素法元素法1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零2.2.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积.ix0z yDS:z=f(x,y)3 积零为整积零为整4 取极限取极限令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细 i2 以平代曲以平代曲元素法元素法元素法元素法1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零2.2.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积.V=x0z yDS:z=f(x,y)3 积零为整积零为整4 取极限取极限令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细2 以平代曲以平代曲元素法元素法元素法元素法1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零2.2.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积.V=x0z yS:z=f(x,y)3 积零为整积零为整4 取极限取极限令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细V2 以平代曲以平代曲元素法元素法元素法元素法1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零.2.2.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积.V=0y x112x+y=1x+y 1由二重积分的性质由二重积分的性质更确切的更确切的I1 I23.3.比较大小比较大小4.4.二重积分的计算二重积分的计算(D是矩形是矩形区域区域)复习22：平行截面面积为已知的立体的体积y0 xz yabcdDD是矩形是矩形区域区域 a,b;c,d z=f(x,y)y0 xz yabcdDD是矩形是矩形区域区域 a,b;c,d z=f(x,y)问题：问题：Q(y)是什么图形？是什么图形？Q(y)=是曲边梯形。是曲边梯形。.4.二重积分的计算二重积分的计算(D是矩形是矩形区域区域).I0 xz yyabcdD.Q(y)=I同理，也可以先对同理，也可以先对 y 积分积分.z=f(x,y)D是矩形是矩形区域区域 a,b;c,d 4.二重积分的计算二重积分的计算(D是矩形是矩形区域区域)0 xz ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y)yD:(y)x (y)c y d 5.5.二重积分的计算二重积分的计算（D是是曲线梯曲线梯形形区域区域）0 xz ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y).y问题：问题：Q(y)是什么图形？是什么图形？D:(y)x (y)c y d也是曲边梯形也是曲边梯形!.Q(y)=I=5.5.二重积分的计算二重积分的计算（D是是曲线梯曲线梯形形区域区域）.0 xz yx=(y)ycdD.D:(y)x (y)c y d.Q(y)=I=z=f(x,y)x=(y)5.5.二重积分的计算二重积分的计算（D是是曲线梯曲线梯形形区域区域）D:x1(y)x x2(y)c y dI=0y x x2(y)x1(y)cdy 6.6.二重积分计算的两种积分顺序二重积分计算的两种积分顺序D0y xcdyD x2(y)x1(y)I=6.6.二重积分计算的两种积分顺序二重积分计算的两种积分顺序.D:x1(y)x x2(y)c y d0y xcdyDD:y1(x)y y2(x)a x b0y xI=ab y1(x)y2(x)D x2(y)x1(y)xI=6.6.二重积分计算的两种积分顺序二重积分计算的两种积分顺序.D:x1(y)x x2(y)c y d0y xcdyD0y xI=ab y1(x)y2(x)D x2(y)x1(y)x6.6.二重积分计算的两种积分顺序二重积分计算的两种积分顺序.I=D:x1(y)x x2(y)c y dD:y1(x)y y2(x)a x b0y xcdyD0y xI=ab y1(x)y2(x)D x2(y)x1(y)x6.6.二重积分计算的两种积分顺序二重积分计算的两种积分顺序.I=D:x1(y)x x2(y)c y dD:y1(x)y y2(x)a x b0y x113y=xx=y 2D.7.7.计算计算11y=x20y xD2 先对先对 y 积分（从下到上）积分（从下到上）1 画出区域画出区域 D 图形图形3 先对先对 x 积分（从左到右）积分（从左到右）.y=x.8.8.用两种顺序计算用两种顺序计算x0z yab1D1（定积分三角代换）（定积分三角代换）.瓦里斯公式瓦里斯公式9.9.=0y x D:x+y=1,x y=1，x=0 所围所围111先对先对 y 积分积分.y=1 xy=x 1.10.10.将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分0y xD:x+y=1,x y=1，x=0 所围所围111先对先对 y 积分积分.先对先对 x 积分积分D1D2.x=1 yx=y+1（不分块儿行吗？）（不分块儿行吗？）10.10.将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分.D:由四条直线由四条直线:x=3，x=5,3x 2y+4=0,3x 2y+1=0 共同围成的区域共同围成的区域 oxy35583x 2y+4=03x 2y+1=0D.D1D2D3先对先对y积分积分先对先对x积分积分.（需分块）（需分块）（需分块）（需分块）.（需分块）（需分块）（需分块）（需分块）11.11.将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分 D:.0y x11y=xy=x2.12.12.将二重积分换序将二重积分换序D:.0y xaa.x=y13.13.将二重积分换序将二重积分换序一一一一 先对先对先对先对x x积分积分积分积分yxoabDyxoabDyxoabD.14.14.(练习练习)将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分二二二二 先对先对先对先对 y y 积分积分积分积分yxoabyxoabyxoabDDD.14.14.(练习练习)将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分.15.15.为什么为什么引用极坐标计算二重积分引用极坐标计算二重积分引用极坐标计算二重积分引用极坐标计算二重积分21D0y xD1D2D3D4D:.怎么计算？怎么计算？需使用需使用极坐标系！极坐标系！极坐标系！极坐标系！此题用直角系算麻烦此题用直角系算麻烦必须把必须把D分块儿分块儿!极坐标系下的面积元素极坐标系下的面积元素将将变换到变换到极坐标系极坐标系极坐标系极坐标系0D用用坐标线坐标线坐标线坐标线:=常数常数；r r r r =常数常数常数常数 分割区域分割区域 D iriri+1.16.16.利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分 i i i+iI=rir.17.17.怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(1)(1)极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 0ABFE DD:rr17.17.怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(1)(1)0ABFE DD:.极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 r17.17.怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(1)(1)0ABFE DD:.步骤：步骤：1 从从D的图形找出的图形找出 r,上、下限；上、下限；2 化被积函数为极坐标形式；化被积函数为极坐标形式；3 面积元素面积元素dxdy化为化为rdrd.极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 r极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 0 DrD:18.18.怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(2)(2)r D:D018.18.怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(2)(2).极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 r D:.D0 步骤：步骤：1 从从D的图形找出的图形找出 r,上、下限；上、下限；2 化被积函数为极坐标形式；化被积函数为极坐标形式；3 面积元素面积元素dxdy化为化为rdrd 18.18.怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(2)(2).极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 r0y x2a.解解19.19.此题用直角系算麻烦，此题用直角系算麻烦，需使用需使用极坐标系！极坐标系！极坐标系！极坐标系！21D0y xD:变换到变换到极坐标系极坐标系极坐标系极坐标系.20.20.计算计算D:=1和和 =2 围成围成2R区域区域边界：边界：x=0.0y x 即即 r=2Rsin r=2Rsin 21.21.0y x12 y=xD.22.22.0y x4r=4 cos r=8 cos 8D 1 223.23.计算计算y=2xx=y0y xr=8 cos D48.r=4 cos 2 123.23.计算计算I=0y x2a2a24.24.将积分换序将积分换序aD:解解0 x 2aD1D2D3.还有别的方法吗？还有别的方法吗？0y x2a2aaD:解解0 x 2aD1D2.24.24.将积分换序将积分换序.注：注：这种方法要求这种方法要求 f(x,y)在在D2上有定义以至连续上有定义以至连续25.25.将积分化为将积分化为极坐标形式极坐标形式r=Ry=R xD1D2.R0y xD.arctanR.I=I=谢谢谢谢使使用用返返回回首首页页.xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为已知平行截面面积为 A(x)的立体的立体.aV复习复习22 图图1919：平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积b返回原页附附 瓦里斯公式里斯公式返回原页
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